2021-2022学年上海市静安区九年级上学期期末数学试卷（一模）(word解析版)

2021-2022学年上海市静安区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
下列实数中，有理数是
A. B. C. D.
计算的结果是
A. B. C. D.
已知点、分别在的边、的反向延长线上，且，如果：：，，那么边的长是
A. B. C. D.
将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标是
A. B. C. D.
如果锐角的度数是，那么下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
下列说法错误的是
A. 任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形
B. 任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形
C. 任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形
D. 任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
的绝对值是______．
如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是______．
已知，那么的值是______．
已知线段，点是的黄金分割点，且，那么的长度是______结果保留根号
如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最______点．填“高”或“低”
已知反比例函数的图象上的三点、、，判断，，的大小关系：______用“”连接
如果抛物线的顶点在轴上，那么常数的值是______．
如果在点处观察点的仰角为，那么在点处观察点的俯角为______用含的式子表示
如图，在中，，，点在边上，，那么的长是______．
在中，，交边、分别于点、，如果与四边形的面积相等，那么：的值为______．
如图，在中，中线、相交于点，如果，，那么______用含向量、的式子表示
如图，正方形中，将边绕着点旋转，当点落在边的垂直平分线上的点处时，的度数为______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
计算：．
如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，求、的长．
我们将平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义：如果将图形绕点顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形关于点的“垂直图形”．
已知点的坐标为，点的坐标为，关于原点的“垂直图形”记为，点、的对应点分别为点、，
请写出：点的坐标为______；点的坐标为______；
请求出经过点、、的二次函数解析式；
请直接写出经过点、、的抛物线的表达式为______．
据说，在距今多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶的影子落在地面上的点处．金字塔底部可看作方正形，测得正方形边长长为米，点在正方形的中心，与金字塔底部一边垂直于点与此同时，直立地面上的一根标杆留下的影子是射向地面的太阳光线可看作平行线此时测得标杆长为米，影子长为米，长为米．求金字塔的高度及斜坡的坡度结果均保留四个有效数字．
如图，边长为的正方形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，交线段于点，，交于点．
求证：∽；
当等于时，求的值．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为点．
求直线的表达式；
求的值；
设线段与轴交于点，如果点在轴上，且与相似，求点的坐标．
如图，四边形中，的平分线交边于点，已知，，，且．
求证：；
如果，求四边形的面积；
如图，延长、交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是无理数，不符合题意；
B、是无理数，不符合题意；
C、，是有理数，符合题意；
D、是无理数，不符合题意．
故选：．
利用有理数的定义判断即可．
此题考查了实数，以及有理数，整数和分数统称为有理数．
2.【答案】
【解析】解：原式
，
故选：．
根据整式的除法法则计算即可得出答案．
本题考查了整式的除法，掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：如图，
，
∽，
，
，，
，
，
．
故选：．
根据相似三角形的判定定理得出∽，根据相似三角形的性质求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出∽是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
抛物线的顶点坐标是，则其向左平移个单位，再向上平移个单位后的顶点坐标是．
故选：．
根据二次函数图象的平移规律左加右减，上加下减进行解答即可．
本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
5.【答案】
【解析】解：，
，
故A符合题意；
B.，
，
故B不符合题意；
C.，
，
故C不符合题意；
D.，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据的三角函数值，以及锐角三角函数的增减性判断即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、任意一个直角三角形被斜边的中线分割成两个等腰三角形，说法正确；
B、有的等腰三角形不能分割成两个等腰三角形，说法错误；
C、任意一个直角三角形可以被斜边的高分割成两个直角三角形，说法正确；
D、任意一个等腰三角形可以被底边上的高分割成两个直角三角形，说法正确；
故选：．
根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质判断即可．
此题考查三角形，关键是根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质解答．
7.【答案】
【解析】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得．
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
解题的关键是掌握绝对值的性质．
8.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设，
，，
，
故答案为：．
利用设法即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段，
则．
故答案为：．
根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长度．
本题主要考查了理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值进行计算，难度适中．
11.【答案】低
【解析】解：中，
抛物线开口向上，
抛物线有最低点．
故答案为：低．
由可得抛物线开口向上，有最低点．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
12.【答案】
【解析】解：点、、是反比例函数的图象上的三点，
，，，
、、的大小关系是，
故答案为：．
先根据反比例函数的图象上的三点、、，求得三个点的纵坐标，再比较大小．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，
即，
解得．
故答案为：．
由抛物线顶点在轴上可得判别式，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与轴交点个数与之间的关系．
14.【答案】
【解析】解：如图：、两点的水平线分别为、，
由题意得：，，
，
如果在点处观察点的仰角为，那么在点处观察点的俯角为，
故答案为：．
根据题目的已知条件画出图形即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件画出图形去分析是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质得到，，则，于是可判断∽，然后利用相似比计算出的长，最后计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，灵活利用相似比进行几何计算．也考查了等腰三角形的性质．
16.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
与四边形的面积相等，
，
，
．
故答案为：．
先证明∽，利用相似三角形的性质得到，则，然后利用比例的性质得到的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，灵活利用相似比进行几何计算．
17.【答案】
【解析】解：在中，中线、相交于点，
点为的重心，
，，
，
．
故答案为：．
由重心的性质可得，，利用三角形法则，即可求得的长，又由中线的性质，即可求得答案．
此题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
18.【答案】或
【解析】解：如图，当点在的上方时，连接
是的垂直平分线，四边形是正方形，
垂直平分，
，
将边绕着点旋转，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
当点在的下方时，
同理可得是等边三角形，
，，
，
，
，
，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得是等边三角形，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20.【答案】解：过作于，则，
，
，
，
是的中线，
，
，
，
，
，
设，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
即，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
即，．
【解析】过作于，求出，求出解直角三角形求出，求出，再根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了解直角三角形，三角形的面积，勾股定理等知识点，能求出的长是解此题的关键．
21.【答案】
【解析】解：如图，
由旋转可得，，
点坐标为，点坐标为．
故答案为：，．
设抛物线解析式为，
将，，代入得，
解得，
．
设抛物线解析式为，
将，，代入得，
解得，
．
故答案为：．
由旋转可得，，进而求解．
通过待定系数法求解．
通过待定系数法求解．
本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握图形旋转的性质，掌握待定系数法求函数解析式．
22.【答案】解：由题意得：米，
米，
射向地面的太阳光线看作平行线，
，即，
解得：，
斜坡的坡度，
答：高度约为米，斜坡的坡度约为．
【解析】根据题意求出，进而求出，根据平行投影列出比例式计算求出，根据坡度的概念求出斜坡的坡度．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题、平行投影，掌握坡度的概念是解题的关键．
23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，，，
，，
，
，
，
，
，
∽；
解：由可得∽，
，
，
，
，
，，
设为，
则，，
在中，，
，
，
，，
，
，
．
【解析】利用正方形的性质可得，，根据已知，利用同角的余角相等可得，即可解答；
由可得∽，从而可得，根据已知可得，设为，然后在中，表示出，，从而在中求出，进而求出，然后进行计算即可解答．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
24.【答案】解：将代入，
，
，
，
将代入，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
；
，
，
，，，
，
是直角三角形，
；
设直线的解析式为，
，
，
，
令，则，
，
设，
如图，当时，∽，
过点作轴交于点，
，
，
，
；
当点与点重合时，≌，
此时；
综上所述：点坐标为或．
【解析】将代入，求出抛物线解析式，再将代入，求出的值，然后用待定系数法求直线的解析式即可；
利用勾股定理判定是直角三角形，即可求解；
求出点坐标，设，当时，∽，过点作轴交于点，则，求出，即可求；当点与点重合时，≌，即可求点坐标．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键．
25.【答案】证明：如图，平分，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
∽，
，
；
解：如图，过点作，
，
是等腰三角形，
为的中点，
由可得、也是等腰三角形，
，，，
，，，，
≌，
在中，，
，
∽且相似比为：，
：：，
，
；
解：如图，由知：∽，
，
，，，，，
，
，
由知：，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
即，
，
关于的函数解析式为，定义域为．
【解析】先证明∽，可得，再由平行线性质可推出，进而证得∽，根据相似三角形性质可证得结论；
如图，过点作，运用等腰三角形性质可得为的中点，进而可证得≌，再求得，根据∽且相似比为：，可求得，由可求得答案；
由∽，可求得：，进而得出，再利用∽，可得：，再利用，可得∽，进而求得：，再结合题意得出答案．
本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
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