浙江省杭州市公益中学2021-2022学年八年级下学期开学数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·杭州开学考）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3）
C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-3）.
故答案为：A.
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案.
2．（2022八下·杭州开学考）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．3a＞3b D．﹣3a＞﹣3b
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，
∴a+3＞b+3，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴a-3＞b-3，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴3a＞3b，故C符合题意；
D、∵a＞b，
∴-3a＜-3b，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质1，在不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变，可对A，B作出判断；利用不等式的性质2，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，可对C作出判断；利用不等式的性质3，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可对D作出判断.
3．（2022八下·杭州开学考）如图所示图象表示的两个变量间的关系中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、此图象中的y是x的函数，故A不符合题意；
B、此图象中的y是x的函数，故B不符合题意；
C、此图象中的y是x的函数，故C不符合题意；
D、此图象中的y不是x的函数，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，观察函数图象，可得到y不是x的函数图象的选项.
4．（2022八下·杭州开学考）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B． C．x2﹣1＝0 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、此方程是一元一次方程，故A不符合题意；
B、此方程是分式方程，故B不符合题意；
C、此方程是一元二次方程，故C符合题意；
D、此方程是分式方程，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】一元二次方程满足的条件：1、含有一个未知数；2、含未知数项的最高次数是2次；3、是整式方程；再对各选项逐一判断.
5．（2022八下·杭州开学考）如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，连接AD，若AD=AC，∠B＝27°，则∠BAC的度数为（ ）
A．115° B．99° C．95° D．90°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=27°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=∠B+∠BAD=27°+27°=54°；
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACD=180°-27°-54°=99°.
故答案为：B.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得AD=BD，利用等边对等角可求出∠BAD的度数，同时可证得∠ADC=∠ACD，利用三角形的外角的性质可求出∠ACD的度数；然后利用三角形的外角的性质可求出∠BAC的度数.
6．（2022八下·杭州开学考）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；无理数的绝对值
【解析】【解答】解：由数轴可知a＞0，a-b＞0
∴.
故答案为：A.
【分析】观察数轴可知a＞0，a-b＞0，利用二次根式的性质可将代数式转化为|a|+|a-b|，再化简绝对值，然后合并同类项.
7．（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
8．（2022八下·杭州开学考）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x支球队参加篮球比赛，根据题意得
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可知此比赛是单循环，由此列方程即可.
9．（2022八下·杭州开学考）已知关于x的不等式组 的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得：x＞a，
由②得x＜；
∵不等式组有解，
∴此不等式组的解集为：
∵此不等式组的整数解有5个，这5个整数解为-3，-2，-1，0，1
∴a的取值范围为﹣4≤a＜﹣3.
故答案为：B.
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，根据不等式组有解可得到不等式组的解集为；再根据此不等式组的整数解有5个，这5个整数解为-3，-2，-1，0，1，由此可得到a的取值范围.
10．（2022八下·杭州开学考）A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②乙出发4h后追上甲；③甲比乙晚到 h；④甲车行驶8h或9 h，甲，乙两车相距80km；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度为：60÷1＝60km/h，
∵甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，
∴3（v乙 60）＝60，
解之：v乙＝80km/h，
∴乙车行驶的速度是80km/h，故①正确；
②∵当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲，
∴乙出发4-1=3h后追上甲，故②错误；
③由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km，
∴甲比乙晚到100÷60＝h，故③正确；
④由图可得，当60t＋80＝80（t 1）时，
解得t＝8；
当60t＋80＝640时，
解得t＝，
∴甲车行驶8h或h，甲，乙两车相距80km，故④正确；
正确结论的个数有3个.
故答案为：C.
【分析】利用图形可知甲1小时行驶60千米，可求出甲车行驶的速度，再根据甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，可求出乙的速度，可对①作出判断；利用图象可知当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲，可对作出判断；由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km，可求出甲比乙晚到的时间，可对③作出判断；然后根据甲，乙两车相距80km，分情况建立关于t的方程，解方程求出t的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八下·杭州开学考）已知一次函数y＝（2m﹣6）x+5，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜3.
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数y＝（2m﹣6）x+5，y随着x的增大而减小，
∴2m-6＜0
解之：m＜3.
故答案为：m＜3.
【分析】直线y=kx+b，当k>0时y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x增大而减小，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
12．（2017·盘锦）若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x＞﹣
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：2x+3＞0．
解得x＞﹣ ．
故答案是：x＞﹣ ．
【分析】根据根号里的式子要大于或等于0，即根式里的式子为非负数且分母不能为0，得到2x+3＞0，解不等式即可.
13．（2022八下·杭州开学考）化简 的结果为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴x＜0
∴.
故答案为：.
【分析】利用已知可得到x＜0，再利用二次根式的性质进行化简.
14．（2022八下·杭州开学考）若方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m2﹣m+5＝ ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，
∴m2﹣m﹣1＝0
∴m2﹣m=1
∴m2﹣m+5＝1+5=6
故答案为：6.
【分析】将x=m代入方程，可得到m2﹣m=1；再整体代入可求出此代数式的值.
15．（2022八下·杭州开学考）如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC，点C的坐标为（-2，-1），则点A坐标为 ，点B坐标为 ．
【答案】（-1，2）；（-3，1）
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作MB⊥CE于点M，交x轴于点G，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
∵正方形ABCD，
∴∠AOC=90°，AO=CO
∴∠AOF+∠CON=90°，∠COE+∠CON=90°，
∴∠AOF=∠COE，
∵点C（-2，-1），
∴OE=1，CE=2
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE=OF=1，CE=AF=2，
∴点A（-1，2）；
同理可证△BCM≌△COE，
∴CM=OE=1，BM=CE=2，
∴BG=2-1=1，OG=EM=2+1=3，
∴点B（-3，1）.
故答案为：（-1，2），（-3，1）.
【分析】过点A作AF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作MB⊥CE于点M，交x轴于点G，利用正方形的性质可证得∠AOC=90°，AO=CO，利用余角的性质可证得∠AOF=∠COE，利用点C的坐标可求出OE，CE的长；再利用AAS证明△AOF≌△COE，利用全等三角形的对应边相等，可求出OE，CE的长，即可得到点C的坐标；同理可证△BCM≌△COE，利用全等三角形的性质可求出CM，BM的长，由此可求出BG，OG的长，从而可求出点B的坐标.
16．（2020八上·包河期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在直线AC上，且△OMC的面积是△OAC的面积的 ，则点M的坐标为 ．
【答案】（1，5）或（-1，7）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图
设直线AC的解析式为：
，解得：
直线AC的解析式为：
B点的坐标为：
M在直线AC上
设M点坐标
在 中，OC=6，M到OC的距离
在 中，OC=6，A到OC的距离
或
的坐标为（1，5）或（-1，7）．
故答案为：（1，5）或（-1，7）．
【分析】根据待定系数法求得直线AC的解析式，当 △OMC的面积是△OAC的面积的 时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标。
三、解答题（共7题，66分）
17．（2022八下·杭州开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法法则先算乘方运算，同时将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式.
（2）利用二次根式的乘法法则先去括号，同时将二次根式化成最简二次根式；再合并同类二次根式.
18．（2022八下·杭州开学考）解下列方程与不等式组：
（1）
3x2﹣8x﹣3＝0；
（2） ．
【答案】（1）解：3x2﹣8x﹣3＝0，
（3x+1）（x-3）=0
∴3x+1=0或x-3=0
∴x1=，x2=3.
（2）解： ．
由①得：x＞-6；
由②得：6x≤3x+2
解之：x≤，
∴此不等式组的解集为：-6＜x≤.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：左边可以分解因式，右边为0，因此利用因式分解法求出方程的解.
（2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
19．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，求证：AB=AD．
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF，
即∠BAC=∠DAE，
∵∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，
∴∠E=∠C，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AB=AD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由∠2=∠3推出∠E=∠C，由∠1=∠2推出∠BAC=∠DAE，根据AAS证△ABC≌△ADE即可
20．（2022八下·杭州开学考）
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 ，AB=3 ，求Rt△ABC的周长和面积．
（2）已知a＝ ，b＝ ，求a2﹣ab+b2的值．
【答案】（1）解：如图，
∵ ∠C＝90°，AC＝2 ，AB=3 ，
∴，
∴△ABC的周长为；
∴；
（2）解：， ，
a2﹣ab+b2=（a+b）2-3ab=.
【知识点】二次根式的混合运算；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长，从而可求出△ABC的周长和面积.
（2）分别求出a+b和ab的值，再将代数式转化为（a+b）2-3ab，然后整体代入求值.
21．（2022八下·杭州开学考）已知关于x、y的方程组 的解都为非负数．
（1）
求a的取值范围；
（2）
已知2a﹣b＝1，求a+b的取值范围；
（3）
已知a﹣b＝m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）解：
由①×2+②得
5x=5a-10，
解之：x=a-2；
由①-②×2得
y=2a-3，
∵方程组的解为非负数，
∴
解之：
∴a的取值范围是a≥2；
（2）解：∵2a-b=1
∴
∵a≥2
∴
解之：b≥3，
∴a+b≥5.
（3）解：∵a-b=m，b≤1
∴m+b=a即m+b≥2
∴2-m≤b≤1
同理可得2≤a≤1+m，
∴6-m≤2a+b≤3+2m
∴2a+b最大值为3+2m.
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先求出方程组的解，再根据方程组的解为非负数，可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（2）利用已知可得到，根据a≥2，可求出b的取值范围，即可求出a+b的取值范围.
（3）利用已知可推出2-m≤b≤1，同理可知2≤a≤1+m，再求出2a+b的取值范围，即可得到2a+b最大值.
22．（2022八下·杭州开学考）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元，该商店计刻一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元，
（1）求y与x的关系式：
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？
（3）
若限定商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润能否为13600元？若能，请求出此时该商店购进A型电脑的台数；若不能，请求出这100台电脑销售总利润的范围.
【答案】（1）解：由题意得
y=120x+140（100-x）=-20x+14000，
∴y与x的关系式为y=-20x+14000，
（2）解：∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
∴100-x≤3x
解之：x≥25，
∴25≤x≤100
∵k=-20＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=25时y最大，
∴100-25=75，
答： 该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台，才能使销售利润最大.
（3）解：不能
∵当y=13600时-20x+14000=1360
解之：x=20
∵25≤x≤100，
∴这100台电脑的销售总利润能不能为13600元；
∵当x=60时y=-20×60+14000=12800
当x=25时y=-20×25+14000=13500
∴y的取值范围为12800≤y≤13500.
∴这100台电脑的销售总利润不为13600元， 这100台电脑销售总利润的范围为12800≤y≤13500.
【知识点】一次函数的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元该商店计刻一次购进两种型号的电脑共100台，列式可得到y与x之间的函数解析式.
（2）根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，可求出x的取值范围，再利用一次函数的增减性，可求出结果.
（3）将x=60和x=40代入函数解析式，可得到y的取值范围，由此可作出判断.
23．（2022八下·杭州开学考）如图，在直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（2，0），连接BC.
（1）
判断△ABC是不是等腰直角三角形，并说明理由：
（2）
若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），连接AP，作AP的垂直平分线交y轴于点E，垂足为D，分别连接EA，EP；
①当点P在运动时，∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP的度数；
②若点P从点C出发，运动速度为每秒1个单位长度，设△AOE的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.
【答案】（1）解：∵y＝x＋2，
当x=0时y=2，当y=0时x=-2
∴A（ 2，0），B（0，2），C（2，0）．
∴OA＝OB＝OC＝2，AC＝4，
∴△AOB和△COB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CBO＝∠BCO＝45°，
∴∠ABC＝90°
∴△ABC为等腰直角三角形．
（2）解：①∠AEP的度数不变化；
如图2，连接EC，
∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
∴EA＝EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA＝EP，
∴EA＝EP＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ECP＝∠EPC；
∵∠BCA＝45°，即∠ACP＝∠ECA＋∠ECP＝∠BAC＋∠ABC＝135°，
∴∠EAC＋∠EPC＝135°，
∴∠EAC＋∠EPC＋∠ACP＝270°，
故∠AEP＝360° 270°＝90°，
∴∠AEP的度数不会发生变化，为定值90°；
②如图3，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N，
由（2）知：△CEP是等腰三角形，则
CM＝MP＝CP＝；
∴；
在Rt△BEM中，∠MBE＝45°，则有：
；
∴；
∴．
∴S关于t之间的函数解析式为
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用函数解析式可求出点A，B的坐标，可证得OA＝OB＝OC＝2，AC＝4，可证得△AOB和△COB是等腰直角三角形；再证明∠ABC=90°，同时可证得AB=BC，即可判断出△ABC的形状.
（2）①连接EC，易证E点在线段AC的垂直平分线上，利用 垂直平分线的性质可证得EA＝EP＝EC，利用等边对等角可证得∠EAC＝∠ECA，∠ECP＝∠EPC；再求出∠ACP的度数，即可求出∠EAC＋∠EPC＋∠ACP＝270°，然后利用四边形的内角和定理求出∠AEP的度数；②如图3，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N，利用等腰直角三角形的性质和点P的运动速度，可表示出CM，PM的长，从而可表示出MB的长；利用勾股定理表示出BE的长，根据OE=BE-OB，可表示出OE的长；然后利用三角形的面积公式可得到S关于t的函数关系式.
1 / 1浙江省杭州市公益中学2021-2022学年八年级下学期开学数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·杭州开学考）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3）
C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
2．（2022八下·杭州开学考）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．3a＞3b D．﹣3a＞﹣3b
3．（2022八下·杭州开学考）如图所示图象表示的两个变量间的关系中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022八下·杭州开学考）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B． C．x2﹣1＝0 D．
5．（2022八下·杭州开学考）如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，连接AD，若AD=AC，∠B＝27°，则∠BAC的度数为（ ）
A．115° B．99° C．95° D．90°
6．（2022八下·杭州开学考）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b
7．（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2022八下·杭州开学考）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
9．（2022八下·杭州开学考）已知关于x的不等式组 的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．
10．（2022八下·杭州开学考）A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②乙出发4h后追上甲；③甲比乙晚到 h；④甲车行驶8h或9 h，甲，乙两车相距80km；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八下·杭州开学考）已知一次函数y＝（2m﹣6）x+5，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
12．（2017·盘锦）若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
13．（2022八下·杭州开学考）化简 的结果为 ．
14．（2022八下·杭州开学考）若方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m2﹣m+5＝ ．
15．（2022八下·杭州开学考）如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC，点C的坐标为（-2，-1），则点A坐标为 ，点B坐标为 ．
16．（2020八上·包河期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在直线AC上，且△OMC的面积是△OAC的面积的 ，则点M的坐标为 ．
三、解答题（共7题，66分）
17．（2022八下·杭州开学考）计算：
（1）
（2）
18．（2022八下·杭州开学考）解下列方程与不等式组：
（1）
3x2﹣8x﹣3＝0；
（2） ．
19．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，求证：AB=AD．
20．（2022八下·杭州开学考）
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 ，AB=3 ，求Rt△ABC的周长和面积．
（2）已知a＝ ，b＝ ，求a2﹣ab+b2的值．
21．（2022八下·杭州开学考）已知关于x、y的方程组 的解都为非负数．
（1）
求a的取值范围；
（2）
已知2a﹣b＝1，求a+b的取值范围；
（3）
已知a﹣b＝m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）
22．（2022八下·杭州开学考）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元，该商店计刻一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元，
（1）求y与x的关系式：
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？
（3）
若限定商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润能否为13600元？若能，请求出此时该商店购进A型电脑的台数；若不能，请求出这100台电脑销售总利润的范围.
23．（2022八下·杭州开学考）如图，在直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（2，0），连接BC.
（1）
判断△ABC是不是等腰直角三角形，并说明理由：
（2）
若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），连接AP，作AP的垂直平分线交y轴于点E，垂足为D，分别连接EA，EP；
①当点P在运动时，∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP的度数；
②若点P从点C出发，运动速度为每秒1个单位长度，设△AOE的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-3）.
故答案为：A.
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，
∴a+3＞b+3，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴a-3＞b-3，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴3a＞3b，故C符合题意；
D、∵a＞b，
∴-3a＜-3b，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质1，在不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变，可对A，B作出判断；利用不等式的性质2，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，可对C作出判断；利用不等式的性质3，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可对D作出判断.
3．【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、此图象中的y是x的函数，故A不符合题意；
B、此图象中的y是x的函数，故B不符合题意；
C、此图象中的y是x的函数，故C不符合题意；
D、此图象中的y不是x的函数，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，观察函数图象，可得到y不是x的函数图象的选项.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、此方程是一元一次方程，故A不符合题意；
B、此方程是分式方程，故B不符合题意；
C、此方程是一元二次方程，故C符合题意；
D、此方程是分式方程，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】一元二次方程满足的条件：1、含有一个未知数；2、含未知数项的最高次数是2次；3、是整式方程；再对各选项逐一判断.
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=27°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=∠B+∠BAD=27°+27°=54°；
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACD=180°-27°-54°=99°.
故答案为：B.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得AD=BD，利用等边对等角可求出∠BAD的度数，同时可证得∠ADC=∠ACD，利用三角形的外角的性质可求出∠ACD的度数；然后利用三角形的外角的性质可求出∠BAC的度数.
6．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；无理数的绝对值
【解析】【解答】解：由数轴可知a＞0，a-b＞0
∴.
故答案为：A.
【分析】观察数轴可知a＞0，a-b＞0，利用二次根式的性质可将代数式转化为|a|+|a-b|，再化简绝对值，然后合并同类项.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x支球队参加篮球比赛，根据题意得
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可知此比赛是单循环，由此列方程即可.
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得：x＞a，
由②得x＜；
∵不等式组有解，
∴此不等式组的解集为：
∵此不等式组的整数解有5个，这5个整数解为-3，-2，-1，0，1
∴a的取值范围为﹣4≤a＜﹣3.
故答案为：B.
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，根据不等式组有解可得到不等式组的解集为；再根据此不等式组的整数解有5个，这5个整数解为-3，-2，-1，0，1，由此可得到a的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度为：60÷1＝60km/h，
∵甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，
∴3（v乙 60）＝60，
解之：v乙＝80km/h，
∴乙车行驶的速度是80km/h，故①正确；
②∵当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲，
∴乙出发4-1=3h后追上甲，故②错误；
③由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km，
∴甲比乙晚到100÷60＝h，故③正确；
④由图可得，当60t＋80＝80（t 1）时，
解得t＝8；
当60t＋80＝640时，
解得t＝，
∴甲车行驶8h或h，甲，乙两车相距80km，故④正确；
正确结论的个数有3个.
故答案为：C.
【分析】利用图形可知甲1小时行驶60千米，可求出甲车行驶的速度，再根据甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，可求出乙的速度，可对①作出判断；利用图象可知当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲，可对作出判断；由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km，可求出甲比乙晚到的时间，可对③作出判断；然后根据甲，乙两车相距80km，分情况建立关于t的方程，解方程求出t的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】m＜3.
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数y＝（2m﹣6）x+5，y随着x的增大而减小，
∴2m-6＜0
解之：m＜3.
故答案为：m＜3.
【分析】直线y=kx+b，当k>0时y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x增大而减小，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
12．【答案】x＞﹣
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：2x+3＞0．
解得x＞﹣ ．
故答案是：x＞﹣ ．
【分析】根据根号里的式子要大于或等于0，即根式里的式子为非负数且分母不能为0，得到2x+3＞0，解不等式即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴x＜0
∴.
故答案为：.
【分析】利用已知可得到x＜0，再利用二次根式的性质进行化简.
14．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，
∴m2﹣m﹣1＝0
∴m2﹣m=1
∴m2﹣m+5＝1+5=6
故答案为：6.
【分析】将x=m代入方程，可得到m2﹣m=1；再整体代入可求出此代数式的值.
15．【答案】（-1，2）；（-3，1）
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作MB⊥CE于点M，交x轴于点G，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
∵正方形ABCD，
∴∠AOC=90°，AO=CO
∴∠AOF+∠CON=90°，∠COE+∠CON=90°，
∴∠AOF=∠COE，
∵点C（-2，-1），
∴OE=1，CE=2
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE=OF=1，CE=AF=2，
∴点A（-1，2）；
同理可证△BCM≌△COE，
∴CM=OE=1，BM=CE=2，
∴BG=2-1=1，OG=EM=2+1=3，
∴点B（-3，1）.
故答案为：（-1，2），（-3，1）.
【分析】过点A作AF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作MB⊥CE于点M，交x轴于点G，利用正方形的性质可证得∠AOC=90°，AO=CO，利用余角的性质可证得∠AOF=∠COE，利用点C的坐标可求出OE，CE的长；再利用AAS证明△AOF≌△COE，利用全等三角形的对应边相等，可求出OE，CE的长，即可得到点C的坐标；同理可证△BCM≌△COE，利用全等三角形的性质可求出CM，BM的长，由此可求出BG，OG的长，从而可求出点B的坐标.
16．【答案】（1，5）或（-1，7）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图
设直线AC的解析式为：
，解得：
直线AC的解析式为：
B点的坐标为：
M在直线AC上
设M点坐标
在 中，OC=6，M到OC的距离
在 中，OC=6，A到OC的距离
或
的坐标为（1，5）或（-1，7）．
故答案为：（1，5）或（-1，7）．
【分析】根据待定系数法求得直线AC的解析式，当 △OMC的面积是△OAC的面积的 时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标。
17．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法法则先算乘方运算，同时将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式.
（2）利用二次根式的乘法法则先去括号，同时将二次根式化成最简二次根式；再合并同类二次根式.
18．【答案】（1）解：3x2﹣8x﹣3＝0，
（3x+1）（x-3）=0
∴3x+1=0或x-3=0
∴x1=，x2=3.
（2）解： ．
由①得：x＞-6；
由②得：6x≤3x+2
解之：x≤，
∴此不等式组的解集为：-6＜x≤.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：左边可以分解因式，右边为0，因此利用因式分解法求出方程的解.
（2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
19．【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF，
即∠BAC=∠DAE，
∵∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，
∴∠E=∠C，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AB=AD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由∠2=∠3推出∠E=∠C，由∠1=∠2推出∠BAC=∠DAE，根据AAS证△ABC≌△ADE即可
20．【答案】（1）解：如图，
∵ ∠C＝90°，AC＝2 ，AB=3 ，
∴，
∴△ABC的周长为；
∴；
（2）解：， ，
a2﹣ab+b2=（a+b）2-3ab=.
【知识点】二次根式的混合运算；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长，从而可求出△ABC的周长和面积.
（2）分别求出a+b和ab的值，再将代数式转化为（a+b）2-3ab，然后整体代入求值.
21．【答案】（1）解：
由①×2+②得
5x=5a-10，
解之：x=a-2；
由①-②×2得
y=2a-3，
∵方程组的解为非负数，
∴
解之：
∴a的取值范围是a≥2；
（2）解：∵2a-b=1
∴
∵a≥2
∴
解之：b≥3，
∴a+b≥5.
（3）解：∵a-b=m，b≤1
∴m+b=a即m+b≥2
∴2-m≤b≤1
同理可得2≤a≤1+m，
∴6-m≤2a+b≤3+2m
∴2a+b最大值为3+2m.
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先求出方程组的解，再根据方程组的解为非负数，可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（2）利用已知可得到，根据a≥2，可求出b的取值范围，即可求出a+b的取值范围.
（3）利用已知可推出2-m≤b≤1，同理可知2≤a≤1+m，再求出2a+b的取值范围，即可得到2a+b最大值.
22．【答案】（1）解：由题意得
y=120x+140（100-x）=-20x+14000，
∴y与x的关系式为y=-20x+14000，
（2）解：∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
∴100-x≤3x
解之：x≥25，
∴25≤x≤100
∵k=-20＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=25时y最大，
∴100-25=75，
答： 该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台，才能使销售利润最大.
（3）解：不能
∵当y=13600时-20x+14000=1360
解之：x=20
∵25≤x≤100，
∴这100台电脑的销售总利润能不能为13600元；
∵当x=60时y=-20×60+14000=12800
当x=25时y=-20×25+14000=13500
∴y的取值范围为12800≤y≤13500.
∴这100台电脑的销售总利润不为13600元， 这100台电脑销售总利润的范围为12800≤y≤13500.
【知识点】一次函数的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元该商店计刻一次购进两种型号的电脑共100台，列式可得到y与x之间的函数解析式.
（2）根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，可求出x的取值范围，再利用一次函数的增减性，可求出结果.
（3）将x=60和x=40代入函数解析式，可得到y的取值范围，由此可作出判断.
23．【答案】（1）解：∵y＝x＋2，
当x=0时y=2，当y=0时x=-2
∴A（ 2，0），B（0，2），C（2，0）．
∴OA＝OB＝OC＝2，AC＝4，
∴△AOB和△COB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CBO＝∠BCO＝45°，
∴∠ABC＝90°
∴△ABC为等腰直角三角形．
（2）解：①∠AEP的度数不变化；
如图2，连接EC，
∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
∴EA＝EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA＝EP，
∴EA＝EP＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ECP＝∠EPC；
∵∠BCA＝45°，即∠ACP＝∠ECA＋∠ECP＝∠BAC＋∠ABC＝135°，
∴∠EAC＋∠EPC＝135°，
∴∠EAC＋∠EPC＋∠ACP＝270°，
故∠AEP＝360° 270°＝90°，
∴∠AEP的度数不会发生变化，为定值90°；
②如图3，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N，
由（2）知：△CEP是等腰三角形，则
CM＝MP＝CP＝；
∴；
在Rt△BEM中，∠MBE＝45°，则有：
；
∴；
∴．
∴S关于t之间的函数解析式为
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用函数解析式可求出点A，B的坐标，可证得OA＝OB＝OC＝2，AC＝4，可证得△AOB和△COB是等腰直角三角形；再证明∠ABC=90°，同时可证得AB=BC，即可判断出△ABC的形状.
（2）①连接EC，易证E点在线段AC的垂直平分线上，利用 垂直平分线的性质可证得EA＝EP＝EC，利用等边对等角可证得∠EAC＝∠ECA，∠ECP＝∠EPC；再求出∠ACP的度数，即可求出∠EAC＋∠EPC＋∠ACP＝270°，然后利用四边形的内角和定理求出∠AEP的度数；②如图3，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N，利用等腰直角三角形的性质和点P的运动速度，可表示出CM，PM的长，从而可表示出MB的长；利用勾股定理表示出BE的长，根据OE=BE-OB，可表示出OE的长；然后利用三角形的面积公式可得到S关于t的函数关系式.
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