第七章随机变量及其分布单元测试题-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（Word含答案）

第七章 随机变量及其分布（单元测试题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一枚硬币连续掷3次，至少有一次出现正面的概率是(　　)
A． B．
C． D．
2．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其数学期望E(X)等于(　　)
A．1 B．0.6
C．2＋3m D．2.4
3．设X～B(n，p)，E(X)＝12，D(X)＝4，则n，p的值分别为(　　)
A．18， B．36，
C．36， D．18，
4．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为(　　)
A． B．
C． D．
5．将三颗骰子各掷一次，设事件A＝“三个点数都不相同”，B＝“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于(　　)
A． B．
C． D．
6．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(　　)
A． B．
C． D．
7．设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于(　　)
A． B．
C． D．
8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中a，b，c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，若a>0，则(　　)
A．P(|ξ|C．P(|ξ|a)
10．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则(　　)
X －1 0 1 2
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(X＜1)＝
11．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列选项正确的是(　　)
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为 B．答对1题的概率为
C．答对2题的概率为 D．合格的概率为
12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则(　　)
A．P(B)＝ B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________
14．已知随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3
P p1 p2 p3
且p1，p2，p3成等差数列，则p2＝________，公差d的取值范围是________
15．已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
则m的值为________
16．一次数学测验由20道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的方差为________
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03、0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？
18．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．
(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；
(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列及其数学期望E(X)．
19．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．
(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ20．一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．
(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
(2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
(3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望．
21．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
22．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04
10．26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95
经计算得＝＝9.97，s＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
用样本平均数x作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)≈0.997 3,0.997 316≈0.958 8，≈0.09.
参考答案：
单项选择题
1．D　
解析：P(至少有一次出现正面)＝1－P(三次均为反面)＝1－＝
D　
解析：由分布列的性质得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
D　
解析：由E(X)＝np＝12，D(X)＝np(1－p)＝4，得n＝18，p＝.
A　
解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为p＝C＝
A　
解析：因为P(A|B)＝，且P(AB)＝＝，P(B)＝1－P()＝1－＝1－＝，
所以P(A|B)＝＝.
B　
解析：总数为63＝216，满足要求的点为(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,3,5)，(2,4,6)，同时公差可以为负，故还需乘以2，还有6个常数列，故P＝＝.
A　
解析：由随机变量X服从二项分布，且其均值E(X)＝np，知＝2，得n＝6，即X～B，
那么P(X＝2)＝C×＝.
D　
解析：根据题意，得解得∴ab＝2c(1－3c)＝－6c2＋2c.令f(x)＝－6x2＋2x，这是一个开口向下的抛物线，其顶点坐标为，∴当且仅当c＝时，ab取得最大值.
多项选择题
ABD　
解析：A显然正确；因为P(|ξ|a)＝P(ξa)＝1，所以P(|ξ|a)(a>0)，所以D正确．
ABCD　
解析：∵E(X)＝0，D(X)＝1，∴
且a，b，c∈[0,1]，解得a＝，b＝，c＝，P(X＜1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝＋＝.
CD　
解析：设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率p＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D正确．
BD　
解析：从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1，A2，A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1，A2，A3两两互斥，故D正确，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，则P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故B正确，C错误；P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故A错误．
填空题
答案：　
解析：P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝.
答案：，
解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝，
又即得－≤d≤.
答案：　
解析：m＝P(X＝10)＝1－[P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝9)]＝1－＝1－＝＝
答案：120　
解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝5X.由题知X～B(20,0.6)，所以D(X)＝20×0.6×0.4＝4.8，D(Y)＝D(5X)＝52×D(X)＝25×4.8＝120，所以该学生在这次测验中的成绩的方差为120.
解答题
17．解：设A＝{任取一件产品，取到合格品}，Bi＝{任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品}，i＝1,2,3.
P(A)＝P(A|Bi)＝[1－P(|Bi)]
＝0.15×(1－0.05)＋0.20×(1－0.04)＋0.30×(1－0.03)＋0.35×(1－0.02)
＝0.15×0.95＋0.20×0.96＋0.30×0.97＋0.35×0.98＝0.968 5.
18．解：(1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”，则Y服从N＝9，M＝4，n＝3的超几何分布，
∴P(Y＝1)＝＝.
(2)X的取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
19．解：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.
则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50＜X＜90)]＝[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)
≈0.022 8,12÷0.022 8≈526(人)．
因此，此次参赛学生的总数约为526人．
(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60＜X＜80)]＝[1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]≈×(1－0.682 7)≈0.158 7，
得526×0.158 7≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．
20．解：设事件A为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B为“第2次取到白球”，C为“第3次取到白球”，
(1)P(A)＝＝.
(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响，所以P()＝＝.
(3)设事件D为“取一次球，取到白球”，则P(D)＝，P()＝，这3次取出球互不影响，则ξ～B，所以P(ξ＝k)＝C(k＝0,1,2,3)，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝3×＝.
21．解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则
所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×＝.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
22．解：(1)由题知尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 3，落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 7.
P(X＝0)＝C(1－0.997 3)00.997 316≈0.958 8，P(X≥1)＝1－P(X＝0)≈1－0.958 8＝0.041 2.
由题可知X～B(16，0.002 7)，∴E(X)＝16×0.002 7＝0.043 2.
(2)①尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 7，由正态分布知尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理．
②μ－3σ＝9.97－3×0.212＝9.334，μ＋3σ＝9.97＋3×0.212＝10.606，(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.334，10.606)，
∵9.22 (9.334，10.606)，∴需对当天的生产过程检查．
因此剔除9.22，剔除数据之后μ＝＝10.02，＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除9.22，剩下数据的样本方差为σ2＝(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，∴σ≈≈0.09.