(共14张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数
3.2
第三章 二次函数
目标二 建立二次函数的模型
1
2
3
4
5
A
A
6
7
答 案 呈 现
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160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为________________．
y＝160(1－x)2
1
y＝－10x2＋560x－7 350(0＜x≤35)
2
某商店以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x元，则可卖出(350－10x)件，那么卖出商品所得利润y元与售价x元之间的函数关系式为_________________________________．
A
3
长方形的长为10 cm，宽为6 cm，它的各边都减少x cm，得到的新长方形的周长为y cm，则y与x之间的关系式是( )
A．y＝32－4x(0
B．y＝32－4x(0≤x≤6)
C．y＝(10－x)(6－x)(0D．y＝(10－x)(6－x)(0≤x≤6)
A
4
【2021·北京】如图，用绳子围成周长为10 m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是( )
A．一次函数关系、二次函数关系
B．反比例函数关系、二次函数关系
C．一次函数关系、反比例函数关系
D．反比例函数关系、一次函数关系
5
如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为______________．(写出自变量的取值范围)
【点拨】
【答案】
y＝4x＋60
6
【2021·青岛崂山区期末】如图，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8.
(1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是________________；
(2)当x每增加1时，y如何变化？
解：当x每增加1时，y的值就增加4.
(3)当x＝0时，求y的值，此时y表示的是什么？
解：当x＝0时，y＝60，此时梯形的上底就变为0，梯形就变为三角形，
所以此时y表示的是三角形的面积．
7
【教材P71习题T4变式】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系：m＝162－3x.
(1)请写出该商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式．
解：由题意得，每件商品的销售利润为(x－30)元，那么m件的销售利润为y＝m(x－30)．
又∵m＝162－3x，∴y＝(x－30)(162－3x)，
即y＝－3x2＋252x－4 860.
∵x－30≥0，∴x≥30.
又∵m≥0，∴162－3x≥0，
即x≤54.∴30≤x≤54.
∴y＝－3x2＋252x－4 860(30≤x≤54)．
(2)该商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
解：不能．理由如下：
由(1)得y＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432.
易得售价定为42元时获得的销售利润最大，最大销售利润是432元．∵500>432，
∴该商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．(共24张PPT)
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二次函数的应用
3.6.1
第三章 二次函数
目标二 抛物线形问题
1
2
3
4
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【2021·贵阳】甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m.
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱截面OBA所在抛物线的函数表达式．
1
(2)一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时，桥拱下的水位刚好在OA处，有一名身高1.68 m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱？请说明理由(假设船底与水面齐平)．
(3)如图③，桥拱截面OBA所在抛物线在x轴下方的部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m＞0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
将新函数图象向右平移m(m＞0)个单位长度，得平移后的函数图象如图所示．
∵平移不改变图象的形状，
∴平移后的函数图象上，当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小．
∵当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，
∴结合函数图象，可得m≤8且4＋m≥9，
解得5≤m≤8；或8＋m≤8，解得m≤0，
又∵m＞0，∴m≤0不符合题意，舍去．
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8.
2
(2) 求大棚的最高处到地面的距离；
3
(1)求雕塑OA的高．
(2)求落点C，D之间的距离．
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10 m，
EF＝1.8 m，EF⊥OD. 问：雕塑EF的顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
4
如图①，排球场长为18 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的点C处发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为2.88 m，这时距O的水平距离为7 m，建立平面直角坐标系，如图②，则BA＝2.88 m，OB＝7 m．
若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．(共20张PPT)
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确定二次函数的表达式
3.5.1
第三章 二次函数
确定含有两个待定字母的二次函数表达式
A
D
1
2
3
4
5
A
C
6
7
8
答 案 呈 现
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已知二次函数y＝ax2＋bx－6的图象经过点A(1，－3)，B(－1，－3)，则二次函数的表达式为( )
A．y＝3x2－6
B．y＝x2＋2x－6
C．y＝9x2＋6x－6
D．y＝9x2－6x－6
A
1
D
2
如果抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0，－2)，B(－1，1)两点，那么此抛物线经过( )
A．第一、二、三、四象限
B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限
D．第二、三、四象限
3
一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过点(0，－4)，则这个二次函数的表达式为( )
A．y＝－2(x＋2)2＋4
B．y＝2(x＋2)2－4
C．y＝－2(x－2)2＋4
D．y＝2(x－2)2－4
【答案】
C
【点拨】
∵二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，
∴设二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋4，将(0，－4)代入，得－4＝a(0－2)2＋4，解得a＝－2，
∴这个二次函数的表达式为y＝－2(x－2)2＋4.
A
4
芳芳在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图象，并将该图象的特点写在下面的卡片上，则二次函数的表达式为( )
5
【教材P92随堂练习变式】图象的顶点为点M(－2，1)，且图象经过原点的二次函数的表达式是________________．
6
二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象经过点(2，3)，且顶点在直线y＝3x－2上，则二次函数的表达式为________________________．
【点拨】
将(2，3)代入y＝2x2＋bx＋c，得3＝8＋2b＋c，
即c＝－5－2b，②
将②代入①，得b2－6b－16－8(－5－2b)，
解得b＝－4或b＝－6.当b＝－4时，c＝3，
当b＝－6时，c＝7.
∴二次函数的表达式为y＝2x2－4x＋3或y＝2x2－6x＋7.
【答案】
y＝2x2－4x＋3或y＝2x2－6x＋7
7
【2021·黑龙江龙东地区】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式，并写出它的顶点坐标；
(2)连接PB，PO，PC，BC，OP交BC于点D，当
S△CPD ： S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．
解：如图，过点D作DM⊥y轴于点M.
对于y＝－x2－2x＋3，当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为(0，3)．∴OC＝3.
设直线BC的表达式为y＝kx＋m，将点B(－3，0)，C(0，3)的坐标分别代入，
8
【2021·温州】已知抛物线y＝ax2－2ax－8(a≠0)经过点(－2，0)．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
解：把点(－2，0)的坐标代入y＝ax2－2ax－8，
得0＝4a＋4a－8，
解得a＝1.∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－8.
∵y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－9)．
(2)直线l交抛物线于点A(－4，m)，B(n，7)，n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点A，B重合)，分别求出点P的横坐标与纵坐标的取值范围．
解：把x＝－4代入y＝x2－2x－8，
得y＝(－4)2－2×(－4)－8＝16，
∴m＝16，即点A的坐标为(－4，16)．
把点B(n，7)的坐标代入y＝x2－2x－8，
得7＝n2－2n－8，解得n＝5或n＝－3.
∵n为正数，∴n＝5，
即点B的坐标为(5，7)．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－9)，
∴抛物线的顶点在AB下方．
由题意知点P在抛物线位于AB下方的部分上，
∴－4＜xp＜5，－9≤yp＜16.(共25张PPT)
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二次函数与一元二次方程
3.7.1
第三章 二次函数
二次函数与一元二次方程之间的关系
C
A
1
2
3
4
5
D
C
6
7
A
答 案 呈 现
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【2021·毕节】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，与x轴的一个交点为(－1，0)，
对称轴为直线x＝1.下列结论错误的是( )
A．abc>0 B．b2>4ac
C．4a＋2b＋c>0 D．2a＋b＝0
C
1
2
【2021·仙桃】若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是( )
A．(2，4) B．(－2，4)
C．(－2，－4) D．(2，－4)
【点拨】
【答案】
A
∴(－b)2－4×c＝16，b＝－4，解得c＝0.
∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＝(x－2)2－4.
∴顶点P的坐标为(2，－4)．
∴点P关于x轴的对称点的坐标是(2，4)．
3
【2021·铜仁】已知直线y＝kx＋2过第一、二、三象限，则直线y＝kx＋2与抛物线y＝x2－2x＋3的交点个数为( )
A．0个 B．1个
C ．2个 D．1个或2个
【点拨】
【答案】
C
∴x2－(2＋k)x＋1＝0.
∴Δ＝(2＋k)2－4＝k2＋4k.
∵k>0，∴Δ>0.
∴直线y＝kx＋2与抛物线y＝x2－2x＋3的交点个数为2个．
4
其中正确结论的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【点拨】
【答案】
D
5
若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
【答案】
A
根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得
(－2)2－4b＞0，解得b＜1.但本题易忽略与y轴的交点不能在原点上，即b≠0，否则图象与坐标轴只有两个交点．
【点拨】
6
【2021·泰州】二次函数y＝－x2＋(a－1)x＋a(a为常数)图象的顶点在y轴右侧．
(1)写出该二次函数图象的顶点横坐标(用含a的代数式表示)；
(2)该二次函数表达式可变形为y＝－(x－p)·(x－a)的形式，求p的值；
解：∵y＝－x2＋(a－1)x＋a＝
－[x2－(a－1)x－a]＝－(x＋1)(x－a)，∴p＝－1.
(3)若点A(m，n)在该二次函数图象上，且n>0，过点(m＋3，0)作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的取值范围．
解：∵二次函数图象的顶点在y轴右侧，∴>0.∴a>1.
设二次函数图象与x轴的交点分别为C，D，
点C在点D左侧．
令y＝0，则－(x＋1)(x－a)＝0，
∴x＝－1或x＝a.
∴C(－1，0)，D(a，0)．∴CD＝a＋1.
∵点A(m，n)在该二次函数图象上，且n>0，
∴点A在CD上方．
∵过点(m＋3，0)作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，∴CD≤3.
∴a＋1≤3，即a≤2.∴17
【2021·安徽】已知抛物线y＝ax2－2x＋1(a≠0)的对称轴为直线x＝1.
(1)求a的值；
(2)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在此抛物线上，且－1解：由(1)可知，抛物线的表达式为
y＝x2－2x＋1＝(x－1)2.
∵a＝1>0，∴当x>1时，y随x的增大而增大；
当x<1时，y随x的增大而减小．
∵－1结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，y值越大，
∴y1>y2.
(3)设直线y＝m(m>0)与抛物线y＝ax2－2x＋1交于点A，B，与抛物线y＝3(x－1)2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．(共24张PPT)
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二次函数的应用
3.6.1
第三章 二次函数
目标一 几何图形的最大(小)面积
C
1
2
3
4
5
6
答 案 呈 现
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【2020·山西】竖直上抛物体，物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球离地面的最大高度为( )
A．23.5 m B．22.5 m
C．21.5 m D．20.5 m
C
1
250
2
【2020·南京】小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第x min时，小丽、小明离B地的距离分别为y1 m，y2 m．y1与x之间的函数表达式是
y1＝－180x＋2 250，y2与x之间的函数表达式是
y2＝－10x2－100x＋2 000.
(1)小丽出发时，小明离A地的距离为______m.
解：设两人相距s m，∵(－180x＋2 250)－(－10x2－100x＋2 000)＝10x2－80x＋250＝10(x－4)2＋90＞0，∴s＝10(x－4)2＋90.
令y2＝0，则－10x2－100x＋2 000＝0，
解得x＝10或x＝－20(舍去)，
(2)小丽出发至小明到达B地的这段时间内，两人何时的距离最近？最近距离是多少？
∴小明到达B地时，x＝10.
∴x的取值范围为0≤x≤10.
∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90.
答：小丽出发第4 min时，两人的距离最近，最近距离是90 m.
3
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，
易知∠QCE＝90°，
∵∠E＝30°，∴∠AQM＝∠EQC＝60°.
∴△AMQ为等边三角形．
∴AM＝AQ.
过点M作MN⊥AQ，垂足为点N，则∠ANM＝90°.
(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积．
(2)当x等于多少时，两个三角尺重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
4
【2021·潍坊模拟】如图，某景区内有一块矩形油菜花田地(单位：m)，需在其中修建一条观花道(阴影部分)供游人赏花，设修建的观花道的面积为y m2.
(1)求y与x的函数关系式；
解：当y＝13时，－x2＋14x＝13，
解得x＝1或x＝13，
∵0＜x＜6，∴x＝1.
(2)若修建的观花道的面积为13 m2，求x的值；
解：设修建观花道后种植油菜花的面积为w m2，
则w＝6×8－y＝x2－14x＋48＝(x－7)2－1，
∴当x＜7时，w随x的增大而减小．
又∵0.6≤x≤1，∴当x＝0.6时，w取得最大值，
最大值为(0.6－7)2－1＝39.96，
∴修建观花道后种植油菜花的最大面积为39.96 m2.
(3)若要求0.6≤x≤1，求修建观花道后种植油菜花的最大面积．
5
【教材P98习题T2变式】某农场要建一个饲养场(长方形ABCD)，饲养场的一边靠墙(墙的长度为27 m)，另三边用木栏围成，中间用木栏隔开，分成两个场地，并在如图的三处分别留1 m宽的门(不用木栏)，建成后木栏总长为60 m，设饲养场(长方形ABCD)的边AB为x m.
(1)求饲养场的边BC的长(用含x的代数式表示)．
解：饲养场的边BC的长是
60＋1＋1＋1－3x＝63－3x(m)．
解：令x(63－3x)＝270，
解得x1＝6，x2＝15.
由题意知63－3x≤27，∴x≥12.
∴x＝15.
(2)若饲养场的面积为270 m2，求x的值．
(3)当x为何值时，饲养场的面积最大？最大面积为多少？
6
【2020·无锡】有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同种类的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/
解：由题意知AD＝BC＝30米，DC＝AB＝20米．
当x＝5时，EF＝GH＝20－2×5＝10(米)，
EH＝FG＝30－2×5＝20(米)，
平方米、60元/平方米、40元/平方米，设三种花卉的种植总成本为y元．
(1)当x＝5时，求种植总成本；
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120 平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，
∴S甲－S乙≤120，即－2x2＋60x－(－2x2＋40x)≤120，
解得x≤6，由(2)知0＜x＜10，∴0＜x≤6.
∵y＝－400x＋24 000，∴y随x的增大而减小．
∴当x＝6时，y取最小值，为21 600.
∴三种花卉的最低种植总成本为21 600元．(共20张PPT)
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二次函数与一元二次方程
3.7.2
第三章 二次函数
利用二次函数的图象解一元二次方程
B
D
1
2
3
4
5
C
D
6
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【2021·淄博张店区期末】下表给出了二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的近似值可能是( )
1
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1.08
B．1.18
C．1.28
D．1.38
B
【答案】
2
【2021·天津】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(－1，－1)，(0，1)，当x＝－2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根；③a＋b＋c>7.
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】
①∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(－1，－1)，(0，1)，
∴c＝1，a－b＋c＝－1.∴a＝b－2.
∵当x＝－2时，与其对应的函数值y>1，∴4a－2b＋1>1.
∴4(b－2)－2b＋1>1，解得b>4.
∴a＝b－2>0.∴abc>0，故①正确．
②可以画出函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象(如图)．
由图象得出函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝3有两个交点，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根，故②正确．
③∵a＝b－2，c＝1，
∴a＋b＋c＝b－2＋b＋1＝2b－1.
∵b>4，∴2b－1>7. ∴a＋b＋c>7，故③正确．
【答案】
D
3
【2021·贺州】如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线
y＝kx＋m交于A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m的解集是( )
A．x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
【点拨】
∵函数y＝kx＋m与y＝－kx＋m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝－kx＋m与抛物线y＝ax2＋c的交点A′，B′与点A，B也关于y轴对称．如图所示．
∵A(－3，y1)，B(1，y2)，
∴A′(3，y1)，B′(－1，y2)．
根据函数图象得，不等式ax2＋c≥－kx＋m的解集是－1≤x≤3.
【答案】
D
4
【2021·宿迁】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列结论：
①a＞0；②b2－4ac＞0；③4a＋b＝1；
④不等式ax2＋(b－1)x＋c＜0的解集为1＜x＜3.
正确的结论个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】
①抛物线开口向上，则a＞0，故①正确．
②由图象可知抛物线与x轴无交点，∴Δ＝b2－4ac＜0，故②错误．
③由图象知抛物线过点(1，1)，(3，3)，
∴当x＝1时，a＋b＋c＝1；
当x＝3时，9a＋3b＋c＝3.
∴8a＋2b＝2，即4a＋b＝1，故③正确．
④∵点(1，1)，(3，3)在直线y＝x上，且由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2＋(b－1)x＋c＜0的解集为1＜x＜3，
故④正确．
【答案】
C
5
可以用如下方法求方程x2－2x－2＝0的实数根的范围：利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝0时，y<0；当x＝－1时，y>0，所以方程有一个根在－1和0之间．
(1)参考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
解：利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，
当x＝2时，y<0；当x＝3时，y>0，
所以方程x2－2x－2＝0的另一个根在2和3之间．
(2)若方程x2－2x＋c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
6
【教材P111习题T2变式】【2021·乐山】已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0的解．(共24张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
3.4.4
第三章 二次函数
目标一 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
1
2
3
4
5
A
B
6
7
8
C
C
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9
用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为_________________．
y＝(x－4)2－25
1
y＝(x＋1)2＋2
2
【教材P89习题T2变式】【2021·牡丹江】将抛物线y＝x2－2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为_______________．
3
【2021·泰安】将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过点( )
A．(－2，2)
B．(－1，1)
C．(0，6)
D．(1，－3)
【点拨】
y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
故将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为y＝－x2＋2.
当x＝－2时，y＝－(－2)2＋2＝－4＋2＝－2，故此抛物线不经过点(－2，2)；
【答案】
B
当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2＝－1＋2＝1，故此抛物线经过点(－1，1)；
当x＝0时，y＝－02＋2＝0＋2＝2，故此抛物线不经过点(0，6)；
当x＝1时，y＝－12＋2＝－1＋2＝1，故此抛物线不经过点(1，－3)．
4
【2021·广州】抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，(3，0)，且与y轴交于点(0，－5)，则当x＝2时，y的值为( )
A．－5 B．－3
C．－1 D．5
【答案】
A
【点拨】
5
【2021·淄博】已知二次函数y＝2x2－8x＋6的图象交x轴于A，B两点，若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足S△ABP ＝S△ABP ＝S△ABP ＝m，则m的值是( )
【点拨】
∵二次函数y＝2x2－8x＋6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足S△ABP ＝S△ABP ＝S△ABP ＝m，
∴P1，P2，P3三点中必有一点为二次函数的图象的顶点．
∵y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，
∴二次函数的图象的顶点坐标为(2，－2)．
【答案】
C
C
6
【2021·东营】一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
7
将二次函数y＝－2x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式是________________．
【答案】
y＝－2(x＋1)2＋7
【点拨】
将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式时，易在配方时忽略二次项系数而出错．
8
【2021·新疆】已知抛物线y＝ax2－2ax＋3(a≠0)．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位长度，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；
(3)设点P(a，y1)，Q(2，y2)在抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．
解：若a＞0，则抛物线开口向上，∵y1＞y2，
∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
即|a－1|＞|2－1|，解得a＞2或a＜0.
又∵a＞0，∴a＞2.
若a＜0，则抛物线开口向下．
∵y1＞y2，
∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，
即|a－1|＜|2－1|，
解得0＜a＜2，此情况不成立．
综上，a的取值范围为a＞2.
9
【2021·北京】在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)上．
(1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
(2)已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
解：y2＜y1＜y3.理由如下：∵y＝ax2＋bx(a＞0)，
∴抛物线开口向上且经过原点．
∵mn＜0，∴m，n异号．
当b＝0时，可得m＝a＞0，n＝9a＞0，m，n同号，不满足题意；(共46张PPT)
鲁教版 九年级上
第三章 二次函数
测素质
二次函数的应用
集训课堂
B
C
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A
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－4≤m≤－2
2m
13
14
15
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17
18
某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度生产零件个数平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是( )
A．y＝60(1＋x)2
B．y＝60＋60(1＋x)＋60(1＋x)2
C．y＝60(1＋x)＋60(1＋x)2
D．y＝60＋60(1＋x)
B
1
一、选择题(每题4分，共32分)
C
2
某旅行社在五一期间接一个旅行团去外地旅游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式
y＝－x2＋100x＋28 400，要使所获营业额最大，则该旅行团应有( )
A．30人 B．40人
C．50人 D．55人
B
3
已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2
B．50 cm2
C．100 cm2
D．无法确定
D
4
当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )
A．－1
B．2
C．0或2
D．－1或2
5
【教材P101习题T2变式】某产品进货单价为9元，按每件10元出售时，每天能售出50件．若每件每涨价1元，每天的销售量就减少10件，则销售该产品每天能获得的最大利润为( )
A．50元 B．80元
C．90元 D．100元
C
D
6
用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )
A．20
B．40
C．100
D．120
7
B
【答案】
8
【2021·济南模拟】如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，将纸片沿对角线AC剪开．固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移得△A′B′C′，当两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积最大时，平移的距离AA′等于( )
A．1 B．1.5
C．2 D．0.8或1.2
【点拨】
【答案】
A
9
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加__________m.
二、填空题(每题4分，共24分)
4
10
如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为______s.
25
11
某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出
(30－x)件，要使利润最大，则每件商品的售价应为________元．
12
如图，一块矩形土地ABCD被篱笆围着，并且被一条与CD边平行的篱笆EF分成两部分，已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
【点拨】
【答案】
150
易知0＜x＜300，
∴当x＝150时，S取得最大值．
∴当AB＝150 m时，矩形土地ABCD的面积最大．
13
若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是____________．
－4≤m≤－2
14
若立柱MN到OA的水平距离为3 m，MN左侧抛物线的最低点D与MN的水平距离为1 m，则点D到地面的距离为________．
【点拨】
【答案】
2m
15
(10分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始，沿AB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC 向点C以2 cm/s的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，当点P运动到点B时，两点均停止运动．
三、解答题(共44分)
(1)运动时间为多少秒时，四边形APQC的面积是31 cm2
(2)若用S(cm2)表示四边形APQC的面积，运动时间为多少秒时，S取得最小值？并求出最小值．
16
(10分)如图，工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(铁皮厚度忽略不计)
(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕，并求当容器底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形的边长是多少．
解：设裁掉的正方形的边长为x分米．
由题意可知0＜x＜4. 如图所示．
由题意得(12－2x)(8－2x)＝32，
即x2－10x＋16＝0，
解得x＝2或x＝8(舍去)．
答：裁掉的正方形的边长为2分米．
(2)若要求制作的容器的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元．当裁掉的正方形的边长为多少时，总费用最低？最低总费用为多少元？
解：设总费用为y元，则y＝2(12－2x)(8－2x)＋0.5×[2x(12－2x)＋2x(8－2x)]＝4x2－60x＋192＝
4(x－7.5)2－33.
∴当0＜x＜4时，y随x的增大而减小．
∵12－2x≤5(8－2x)，∴x≤3.5.
∴当x＝3.5时，y取得最小值，最小值为31.
答：当裁掉的正方形的边长为3.5分米时，总费用最低，最低总费用为31元．
17
(12分)【2021·遵义】为增加农民收入，助力乡村振兴，某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售．已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)(8≤x≤40)满足的函数图象如图所示．
(1)根据图象信息，求y与x的函数关系式；
(2)求五一期间销售草莓获得的最大利润．
解：设销售草莓获得的利润为W元．
当8≤x≤32时，W＝(x－8)y＝(x－8)(－3x＋216)＝－3(x－40)2＋3 072.
∵抛物线W＝－3(x－40)2＋3 072开口向下，
对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大．
∴当x＝32时，W最大＝2 880.
当32∵120＞0，∴当32＜x≤40时，W随x的增大而增大，
∴当x＝40时，W最大＝3 840.
∵3 840>2 880，
∴五一期间销售草莓获得的最大利润为3 840元．
18
(12分)【2021·青岛】科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器(高度不计)竖直向上弹射一个小钢球(忽略空气阻力)，小钢球弹射1秒时，它们距离地面都是35米，小钢球弹射6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面的高度y1(米)与
小钢球的运动时间x(秒)之间的函数关系如图所示；小钢球离地面的高度y2(米)与它的运动时间x(秒)之间的函数关系如图中抛物线所示．
(1)直接写出y1与x之间的函数关系式；
解：y1与x之间的函数关系式为
y1＝5x＋30.
(2)求出y2与x之间的函数关系式；
解：将x＝6代入y1＝5x＋30，得y1＝5×6＋30＝60，
∴两图象的一个交点坐标为(6，60)．
∵抛物线过原点，
∴设y2＝ax2＋bx.
(3)小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？(共44张PPT)
鲁教版 九年级上
全章热门考点整合应用
第三章 二次函数
D
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B
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9
D
已知y＝(k＋2)xk ＋2k－6是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
(1)求k的值；
解：根据题意得k＋2≠0且k2＋2k－6＝2，
解得k1＝－4，k2＝2.
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数图象的开口向上，即k＋2＞0，∴k＝2.
1
(2)求函数图象的对称轴．
解：对称轴为y轴．
D
2
【2021·阜新】如图，二次函数y＝a(x＋2)2＋k的图象与x轴交于A，B(－1，0)两点，则下列说法正确的是( )
A．a＜0
B．点A的坐标为(－4，0)
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝－2
3
【2021·烟台】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；
③3a＋c＝0；④a＋b≥am2＋bm.其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【点拨】
把点A(－1，0)，B(3，0)的坐标分别代入y＝ax2＋
bx＋c，可得二次函数的表达式为y＝ax2－2ax－3a.
∵该函数图象开口向下，∴a<0.
∴c＝－3a>0.
∴ac<0，3a＋c＝0，
故①错误，③正确．
【答案】
B
B
4
【2020·毕节】已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x1A．x1＋x2<0 B．4C．b2－4ac<0 D．ab>0
5
【教材P113复习题T14变式】【2021·青岛期中】如图，在足够大的空地上有一段长为25 m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了46 m木栏．
(1)若所围成的矩形菜园的面积为280 m2，求所利用旧墙AD的长；
解：设AB＝x m，则BC＝(46－2x＋2)m.
根据题意，得x(46－2x＋2)＝280，
解得x1＝10，x2＝14.
当x＝10时，46－2x＋2＝28＞25，不合题意，舍去；
当x＝14时，46－2x＋2＝20＜25，
∴所利用旧墙AD的长为20 m.
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．
6
【2020·青岛】某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.
(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用
y＝kx2＋m(k≠0)表示，求该抛物线的函数表达式．
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个B型活动板房的成本是多少(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)．
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？
∴当n＝620时，w有最大值，为19 200.
答：公司将销售单价定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润最大，最大利润是19 200元．
7
【2021·济宁】某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元．
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱，如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
解：设甲商品降价a元，利润为w元，
则每天可多卖出20a箱．
由题意得w＝(15－a)(100＋20a)＝－20a2＋200a＋1 500＝
－20(a－5)2＋2 000.
∴当a＝5时，函数有最大值，最大值是2 000.
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2 000元．
6
8
(2，0)
(2)若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数的图象于点E，求△ODE面积的最大值．
9
【2022·青岛模拟】某大型商场准备购买一批A型和B型商品，已知一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元，用6 000元采购A型商品的件数是用1 200元采购B型商品的件数的2倍．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元．
(2)该商场购进A型和B型商品若干，准备采取“买二送一”的优惠销售方案，即：买两件A型商品赠送一件B型商品．通过一段试销发现A型商品每天的销售量y(件)与A型商品的销售单价x(元)满足：y＝－2x＋200.若商场继续按上述优惠销售方案进行销售，当A型商品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？并求出此时的最大销售利润．
10
【2021·无锡】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A，B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为(x，y)(x＞0)，写出y关于x的函数表达式为__________．
【点拨】
过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，如图所示．
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴AD∥BE.
∴∠DAC＝∠EBC.
又∵∠ACD＝∠BCE，∴△ADC∽△BEC.
【答案】
11
其中正确的结论是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【点拨】
【答案】
D
12
【2020·河北】用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.
(1)求W与x的函数关系式．
(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗)．设薄板的厚度为x厘米，Q＝W厚－W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？
[注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围](共14张PPT)
鲁教版 九年级上
确定二次函数的表达式
3.5.2
第三章 二次函数
求二次函数表达式的方法
C
1
2
3
4
答 案 呈 现
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【2021·赤峰】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
1
x … －1 0 1 2 3 …
y … 3 0 －1 m 3 …
以下结论正确的是( )
A．抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下
B．当x＜3时，y随x的增大而增大
C．方程ax2＋bx＋c＝0的根为0，2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
C
【答案】
2
【2020·临沂】已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)．
(1)求这条抛物线的对称轴；
解：∵y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋2a2－a－3，
∴这条抛物线的对称轴为直线x＝1.
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式；
(3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴Q(3，y2)关于对称轴对称的点的坐标为(－1，y2)．
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵P(m，y1)，y1＜y2，
∴－1＜m＜3.
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵P(m，y1)，y1＜y2，
∴m＜－1或m＞3.
综上，当a＞0时，m的取值范围为－1＜m＜3，当a＜0时，m的取值范围为m＜－1或m＞3.
3
【2021·黑龙江龙东地区】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求抛物线的表达式；
解：由题意知抛物线的表达式可变形为y＝a(x－1)(x＋3)，
即y＝ax2＋2ax－3a.
又∵y＝ax2＋bx＋3，
∴－3a＝3，2a＝b，
∴a＝－1，∴b＝－2.
∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.
(2)求△BOC的面积．
4
【教材P93习题T2变式】【2021·盐城】已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0，－3)和(3，0)．
(1)求a，h的值；
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线对应的函数表达式．
解：新的抛物线对应的函数表达式为y＝(x－2)2－2.(共22张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
3.4.4
第三章 二次函数
目标二 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
D
C
1
2
3
4
5
D
C
6
7
4
答 案 呈 现
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【2021·上海】将函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象向下平移两个单位长度，以下错误的是( )
A．图象的开口方向不变
B．图象的对称轴不变
C．y随x变化的情况不变
D．图象与y轴的交点不变
D
1
2
A．0 B．2
C．3 D．4
【点拨】
令x＋1＝－x2＋2x＋3，解得x＝－1或x＝2.
在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x＋1和y2＝－x2＋2x＋3的图象，如图所示．
【答案】
C
C
3
【2021·福建】二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图象过A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，D(4，y4)四个点，下列说法一定正确的是( )
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0
B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0
D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
D
4
5
【点拨】
③∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(2，0)，
∴4a＋2b＋c＝0.
又由①得c＜0，∴4a＋2b＋3c＜0，故③正确；
④根据抛物线的对称性，得x＝2与x＝－1时的函数值相等．
∵当x＝2时y＝0，
∴当x＝－1时y＝0，
【答案】
4
6
【2021·宁波】如图，二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x＝2.
(1)求a的值；
(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
解：由(1)知a＝3，则二次函数的表达式是y＝x2－4x＋3，
∴该二次函数的图象向下平移3个单位长度后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x2－4x.
解：∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，
∴二次函数图象的顶点坐标为(3，4)．
7
【2021·嘉兴】已知二次函数y＝－x2＋6x－5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标；
(2) 当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
解：∵a＝－1＜0，
∴图象开口向下．
∵顶点坐标为(3，4)，
∴当x＝3时，y取最大值4，
∵当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y取最小值0.
∵当3＜x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝4时，y取最小值3.
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0.
(3)当t≤x≤t＋3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m－n＝3，求t的值．
解：①当t＜0时，y随x的增大而增大，
∴当x＝t＋3时，y取最大值m，
即m＝－(t＋3)2＋6(t＋3)－5＝－t2＋4；
当x＝t时，y取最小值n，
即n＝－t2＋6t－5，
∴m－n＝－t2＋4－(－t2＋6t－5)＝－6t＋9.(共22张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
3.4.3
第三章 二次函数
目标二 y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系
C
B
1
2
3
4
5
①②④
C
6
7
C
答 案 呈 现
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【2020·广东】把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为( )
A．y＝x2＋2
B．y＝(x－1)2＋1
C．y＝(x－2)2＋2
D．y＝(x－1)2－3
C
1
B
2
【2021·徐州】在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为( )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－1
3
【2021·山西】抛物线的表达式为y＝3(x－2)2＋1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的表达式为( )
A．y＝3(x＋1)2＋3 B．y＝3(x－5)2＋3
C．y＝3(x－5)2－1 D．y＝3(x＋1)2－1
【答案】
C
【点拨】
此题可以转化为求将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线的表达式，即y＝3(x－2－3)2＋1－2＝3(x－5)2－1.
4
【2020·南京】下列关于二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)的结论：
①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上．
其中所有正确结论的序号是__________．
【点拨】
①∵二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)与函数y＝－x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝－(x－m)2＋m2＋1中，令x＝0，则y＝－m2＋m2＋1＝1，∴该函数的图象一定经过点(0，1)，故结论②正确；
③∵y＝－(x－m)2＋m2＋1，
∴图象开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，m与0的大小关系不确定，故结论③错误；
④易知二次函数图象的顶点坐标为(m，m2＋1)，将x＝m代入y＝x2＋1，得y＝m2＋1，
∴该函数图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上，故结论④正确．
【答案】
①②④
5
【2021·铜仁】已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴有两个交点A(－1，0)，B(3，0)，抛物线y＝a(x－h－m)2＋k与x轴的一个交点是(4，0)，则m的值是( )
A．5 B ．－1
C．5或1 D．－5或－1
【点拨】
易知抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移m个单位长度后可得抛物线y＝a(x－h－m)2＋k，分以下两种情况讨论：
当点A(－1，0)平移后的对应点为(4，0)时，m＝4－(－1)＝5；
当点B(3，0)平移后的对应点为(4，0)时，m＝4－3＝1.
综上，m的值为5或1.
【答案】
C
6
如图，在 ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线y＝a(x－h)2＋k经过x轴上的点A，B.
(1)求点A，B，C的坐标；
解：∵在 ABCD中，CD∥AB，且CD＝AB＝4，点D的坐标是(0，8)，
∴点C的坐标为(4，8)．
∴抛物线的对称轴为直线x＝4.
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则H(4，0)，AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标分别为(2，0)，(6，0)．
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式．
解：由(1)知顶点C的坐标为(4，8)，则抛物线的表达式为y＝a(x－4)2＋8，把A(2，0)的坐标代入，得0＝4a＋8，解得a＝－2.
∴y＝－2(x－4)2＋8.
设平移后抛物线的表达式为y＝－2(x－4)2＋8＋m，
把D(0，8)的坐标代入，
得－32＋8＋m＝8，解得m＝32.
∴平移后抛物线的表达式为y＝－2(x－4)2＋40.
7(共22张PPT)
鲁教版 九年级上
第三章 二次函数
练素养
二次函数的图象信息的四种常见类型
集训课堂
D
1
2
3
4
5
D
B
B
答 案 呈 现
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【2020·凉山州】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②2a＋b＝0；
③3b－2c＜0；
④am2＋bm≥a＋b(m为实数)．
其中正确结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
【点拨】
【答案】
D
2
【2021·永州】已知关于x的二次函数y1＝x2＋bx＋c(实数b，c为常数)．
(1)若二次函数的图象经过点(0，4)，对称轴为直线 x＝1，求此二次函数的表达式；
(2)若b2－c＝0，当b－3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
(3)记关于x的二次函数y2＝2x2＋x＋m，若在(1)的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
解：由(1)知二次函数的表达式为y1＝x2－2x＋4，其图象的对称轴为直线x＝1.
∵1＞0，∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，
且最大值为4.
3
正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】
【答案】
B
4
【2021·凉山州】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中不正确的是( )
A．abc>0
B．函数的最大值为a－b＋c
C．当－3≤x≤1时，y≥0
D．4a－2b＋c<0
【点拨】
【答案】
D
5
【2020·达州】如图，直线y1＝kx与抛物线
y2＝ax2＋bx＋c交于A，B两点，则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是( )
【点拨】
设y＝y2－y1.
∵y1＝kx，y2＝ax2＋bx＋c，∴y＝ax2＋(b－k)x＋c.
由图象可知，在点A和点B的横坐标之间，y＞0；在点A的横坐标左侧或点B的横坐标右侧，y＜0，
故选项B符合题意，选项A，C，D不符合题意．
【答案】
B(共18张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
3.4.1
第三章 二次函数
目标一 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
下
C
1
2
3
4
5
C
D
6
7
8
10
C
减小
B
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9
A
抛物线y＝－3x2－2的开口向________．
下
1
C
2
D
3
抛物线y＝－6x2＋10的顶点坐标为( )
A．(0，0)
B．(－6，－10)
C．(－6，10)
D．(0，10)
4
已知一次函数y＝ax－c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋c的图象大致是( )
【答案】
C
【点拨】
由一次函数y＝ax－c的图象可知a＜0，－c＞0，
∴c＜0，
∴二次函数y＝ax2＋c的图象的开口向下，顶点坐标在y轴的负半轴上．故选C.
5
二次函数y＝－2x2＋3，当x＞0时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
减小
B
6
【2021·济南模拟】抛物线y＝ax2＋c上有两点A(－3，y1)，B(1，y2)，且y2＞y1，则a的取值范围是( )
A．a＞0
B．a＜0
C．a≥0
D．a≤0
A
7
点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝(a2＋1)x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＞y2＞y3
C．y2＞y1＞y3
D．y2＜y1＜y3
8
对于二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )
A．－1≤y≤5
B．－5≤y≤5
C．－3≤y≤5
D．－2≤y≤5
【答案】
C
【点拨】
求二次函数值的取值范围时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最大(小)值．
解：将点(1，2)的坐标代入y＝ax2－1，
得2＝a－1，解得a＝3，
∴y＝3x2－1.
9
求符合下列条件的抛物线对应的函数表达式：
(1)抛物线y＝ax2－1过点(1，2)；
解：∵抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝－1.
将点(0，1)的坐标代入y＝－x2＋c，得c＝1，
∴y＝－x2＋1.
(2)抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为(0，1)．
10
如图，已知正比例函数y＝2x的图象与抛物线
y＝ax2＋3相交于点A(1，b)．
(1)求a与b的值；
解：把点A(1，b)的坐标代入y＝2x，得b＝2，∴A(1，2)．
把点A(1，2)的坐标代入y＝ax2＋3，得a＝－1.
(2)若点B(m，4)在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax2＋3的顶点是C，求△ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一个动点，当PA＋PC最小时，求点P的坐标．(共20张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数
3.2
第三章 二次函数
目标一 认识二次函数
C
B
1
2
3
4
5
C
A
6
7
8
10
B
C
C
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9
11
【教材P70随堂练习T1变式】下列函数中是二次函数的是( )
C
1
B
2
【2021·东营期中】若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( )
A．m≠－2
B．m≠2
C．m≠3
D．m≠－3
A
3
【2021·济宁月考】已知y＝(m－2)x|m|＋2是y关于x的二次函数，那么m的值为( )
A．－2
B．2
C．±2
D．0
C
4
对于二次函数y＝－x2－1的二次项系数a，一次项系数b，常数项c描述正确的是( )
A．a＝－1，b＝－1，c＝0
B．a＝－1，b＝0，c＝1
C．a＝－1，b＝0，c＝－1
D．a＝1，b＝0，c＝－1
5
关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )
A．y是x的二次函数
B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20 000
C
6
A．13或3
B．7或3
C．3
D．13或7或3
【答案】
C
【点拨】
本题易忽略二次根式有意义的条件，误认为x可取1，2，3，而错选D.
7
【2021·铜仁】如图是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是________．
【答案】
11
【点拨】
第一次输入x的值为1，计算出y＝6，选择“否”的程序；第二次输入x的值为2，计算出y＝11，选择“是”的程序，输出y即可．
8
若函数y＝(3－m)xm －7－x＋1是二次函数，则m的值为( )
A．3
B．－3
C．±3
D．9
【点拨】
∵函数y＝(3－m)xm －7－x＋1是二次函数，∴m2－7＝2，
解得m＝±3.
又∵3－m≠0，∴m≠3，∴m＝－3.
求二次函数中m的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.
【答案】
B
在解题过程中，往往容易忽略二次项系数不为0这个条件，只从自变量的最高次数是2入手列方程求出m的值，从而出错．
解：根据题意，得a＋3≠0且a2＋a－4＝2，
解得a＝2.
即当a为2时，y是x的二次函数．
9
已知函数y＝(a＋3)xa ＋a－4＋(a＋2)x＋3.
(1)当a为何值时，y是x的二次函数？
(2)当a为何值时，y是x的一次函数？
10
已知二次函数y＝2(x－6)(x＋1)．
(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
解：y＝2(x－6)(x＋1)＝2(x2＋x－6x－6)＝
2x2－10x－12.
(2)当x＝－2和x＝7时，分别求出y的值；
解：当x＝－2时，y＝2×(－2)2－10×(－2)－12＝16，
当x＝7时，y＝2×72－10×7－12＝16.
(3) 当y＝0时，求自变量x的值．
解：当y＝0时，2x2－10x－12＝0，
解得x1＝6，x2＝－1.(共12张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数y＝ax2的图象与性质
3.3
第三章 二次函数
目标一 二次函数y＝x2与y＝－x2的图象与性质
向上
D
1
2
3
4
5
C
C
6
7
0；－4
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【2021·安顺】二次函数y＝x2的图象的开口方向是________(填“向上”或“向下”)．
向上
1
D
2
关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点，下列说法中错误的是( )
A．有共同的顶点和对称轴
B．两抛物线的开口方向相反
C．两抛物线关于x轴成轴对称
D．两抛物线都过点(－3，9)
C
3
下列说法：①二次函数y＝x2有最大值，最大值为0；
②二次函数y＝x2有最小值，最小值为0；
③二次函数y＝－x2有最大值，最大值为0；
④二次函数y＝－x2有最小值，最小值为0.
其中，正确的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
C
4
已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
5
函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为________，最小值为________．
【答案】
0；－4
【点拨】
本题易忽略x的取值范围，当x＝0时y取得最大值，最大值为0，当x＝－2时y取得最小值，最小值为－4.
6
已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上．
(1)求点A的坐标．
解：把点A(1，a)的坐标代入y＝x2，得a＝1，
∴点A的坐标为(1，1)．
(2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
7
已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点(2，n)．
(1)画出抛物线y＝－x2，并求出m，n的值．
解：如图．
∵抛物线y＝－x2与直线
y＝3x＋m都经过点(2，n)，
∴n＝－22，n＝3×2＋m.
∴n＝－4，m＝－10.
(2)抛物线与直线是否存在另一个交点？若存在，请求出另一个交点的坐标；若不存在，请说明理由．(共45张PPT)
鲁教版 九年级上
第三章 二次函数
练素养
二次函数的图象与性质的应用的九种常见类型
集训课堂
D
D
1
2
3
4
5
6
7
8
10
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9
【2020·成都】关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，8)
C．图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)
D．y的最小值为－9
D
1
D
2
【2021·襄阳】一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是( )
3
【2021·威海】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋2mx＋2m2－m的顶点为A.
(1)求顶点A的坐标(用含有字母m的代数式表示)；
解：y＝x2＋2mx＋2m2－m＝(x＋m)2＋m2－m，
∴顶点A的坐标为(－m，m2－m)．
(2)若点B(2，yB)，C(5，yC)在抛物线上，且yB＞yC，则m的取值范围是__________；
(3)当1≤x≤3时，函数的最小值等于6，求m的值．
解：由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝－m.
①若－m＜1，则m＞－1，当1≤x≤3时，
y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y取得最小值，
最小值为12＋2m＋2m2－m＝2m2＋m＋1，
4
【2020·天门】把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C2的函数表达式．
解：抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3.
(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由．
解：动点P(a，－6)不能在抛物线C2上．
理由：∵抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3，
∴函数的最小值为－3.
∵－6＜－3，∴动点P(a，－6)不能在抛物线C2上．
(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
5
【2021·湖州】如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2＋mx与x轴交于点A(2，0)．
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标；
解：∵抛物线y＝2x2＋mx与x轴交于
点A(2，0)，∴2×22＋2m＝0.∴m＝－4.
∴y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2.
∴抛物线顶点M的坐标为(1，－2)．
(2)求直线AM的表达式．
6
(2)如图①，点P为第四象限内、抛物线对称轴右侧部分上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD＋BD的最大值，并求出此时点P的坐标；
解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
在等腰直角三角形ABC中，易知OC垂直平分AB，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2.
7
【2020·永州】在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图所示．
(1)求抛物线的表达式．
(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，连接CN，CM.
①求△CMN面积的最小值．
8
(2)过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC.求四边形BECD面积的最大值及此时点E的坐标．
9
【2020·攀枝花】如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
解：由题意可设抛物线所对应的函数表达式为
y＝a(x＋1)(x－2)．
将C(0，4)的坐标代入，得4＝－2a，解得a＝－2，
∴该抛物线所对应的函数表达式为y＝－2(x＋1)(x－2)，
即y＝－2x2＋2x＋4.
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
解：如图，连接OP，
设点P的坐标为(m，－2m2＋2m＋4)，
由题意可知0∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∴OA＝1，OB＝2，OC＝4.
10
【2020·威海】已知在平面直角坐标系中，抛物线
y＝x2－2mx＋m2＋2m－1的顶点为A.
点B的坐标为(3，5)．
(1)求抛物线过点B时顶点A的坐标；
解：∵抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1过点B(3，5)，
∴9－6m＋m2＋2m－1＝5，解得m1＝1，m2＝3.
当m＝1时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
此时抛物线的顶点A的坐标为(1，1)；
当m＝3时，y＝x2－6x＋14＝(x－3)2＋5，
此时抛物线的顶点A的坐标为(3，5)．
综上，抛物线过点B时顶点A的坐标为(1，1)或(3，5)．
(2)点A的坐标记为(x1，y1)，求y1与x1的函数表达式；
解：∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝(x－m)2＋2m－1，
∴顶点A的坐标为(m，2m－1)．
又∵点A的坐标记为(x1，y1)，
∴x1＝m，y1＝2m－1.
∴y1与x1的函数表达式为y1＝2x1－1.
(3)如图，已知点C的坐标为(0，2)，当m取何值时，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个交点？
解：由(2)可知，抛物线的顶点A在直线y＝2x－1上．
由(1)知，当m＝1或m＝3时，抛物线过点B(3，5)．
把C(0，2)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，
得m2＋2m－1＝2，解得m＝1或m＝－3.
∴当m＝1或m＝－3时，抛物线经过点C(0，2)．
如图，当m＝－3或m＝3时，
抛物线与线段BC只有一个交点；
当m＝1时，抛物线同时过点B，C，不合题意，
∴当－3≤m≤3且m≠1时，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个交点．(共52张PPT)
鲁教版 九年级上
第三章 二次函数
测素质
二次函数与一元二次方程
集训课堂
D
C
1
2
3
4
5
C
A
6
7
8
10
D
C
A
11
12
答 案 呈 现
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9
D
k＞－3
(－2，0)，
(4，0)
x＜－1
或x＞3
x1＝－2，x2＝5
①②④
13
14
15
16
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17
18
19
一、选择题(每题4分，共32分)
D
1
如图，点A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)在二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似根可能是( )
A．2.18
B．2.68
C．－0.51
D．2.45
C
2
【2021·青岛黄岛区期末】二次函数y＝x2＋bx－1的图象与x轴的交点个数有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无法判断
A
3
如图是二次函数y＝－x2－2x＋3的图象，使y≥0成立的x的取值范围是( )
A．－3≤x≤1
B．x≥1
C．x＜－3或x＞1
D．x≤－3或x≥1
C
4
【2020·荆门】若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
5
【2021·陕西】下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … －2 0 1 3 …
y … 6 －4 －6 －4 …
下列各选项中，正确的是( )
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于－6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
C
【答案】
A
6
已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )
A．x1＜－1＜2＜x2
B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2
D．x1＜－1＜x2＜2
7
【2020·德州】二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是( )
A．若(－2，y1)，(5，y2)是图象上的两点，则y1＞y2
B．3a＋c＝0
C．方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根
D．当x≥0时，y随x的增大而减小
【点拨】
∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，a＜0，
∴点(－1，0)关于直线x＝1的对称点为(3，0)．∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，点(－2，y1)与(4，y1)是对称点．
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，且4<5，∴y1>y2，故A选项不符合题意．
把点(－1，0)，(3，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，
得a－b＋c＝0①，9a＋3b＋c＝0②，
①×3＋②，得12a＋4c＝0，
∴3a＋c＝0，故B选项不符合题意．
当y＝－2时，ax2＋bx＋c＝－2，
由图象得纵坐标为－2的点有2个，∴方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意．
【答案】
D
∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，a＜0，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大；
当x≥1时，y随x的增大而减小．
故D选项符合题意．
8
【点拨】
【答案】
D
(－2，0)，(4，0)
9
抛物线y＝x2－2x－8与x轴的交点坐标是_______________________．
二、填空题(每题4分，共24分)
10
x＜－1或x＞3
11
【2021·泰安泰山区期末】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为
(3，0)，对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是_____________．
12
【2021·德州期末】若二次函数y＝－x2＋mx的最大值是3，方程x2＋mx－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【点拨】
【答案】
k＞－3
∵方程x2＋mx－k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝m2＋4k＝12＋4k＞0，
解得k＞－3.
13
【点拨】
【答案】
x1＝－2，x2＝5
14
【2021·武汉】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)，a＋b＋c＝0.
下列四个结论：
①若抛物线经过点(－3，0)，则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有根x＝－2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若0y2.
其中正确的是________(填序号)．
【点拨】
【答案】
①②④
15
(8分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
三、解答题(共44分)
解：x1＝1，x2＝3.
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
解：1＜x＜3.
x＞2.
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：由题图可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点时，k<2.
故方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根时，k<2.
16
(8分)已知抛物线y＝x2＋bx＋c如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A(－1，0)，与y轴的交点坐标为C(0，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标．
(2)根据图象回答：当x取何值时，y＜0
解：根据图象知，当－1(3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA＋PB的值最小时点P的坐标．
解：∵A(－1，0)，B(3，0)，
∴对称轴是直线x＝1.
当A，B，P三点共线时，PA＋PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P(1，0)．
17
(8分)已知二次函数y＝x2＋2mx＋m2－1(m为常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
证明：∵b2－4ac＝4m2－4(m2－1)＝4＞0，
∴方程x2＋2mx＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点．
(2) 若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围．
解：当y＝0时，x2＋2mx＋m2－1＝0.
解方程得x1＝－m＋1，x2＝－m－1.
∴函数的图象与x轴的交点坐标为
(－m＋1，0)，(－m－1，0).
∵函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且－m＋1＞－m－1，
∴－m＋1＞0且－m－1＜0，解得－1＜m＜1.
18
(10分)已知抛物线y1＝－x2＋mx＋n，直线y2＝kx＋b，抛物线的对称轴与直线交于点A(－1，5)，点A与抛物线的顶点B的距离是4.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若y2随着x的增大而增大，且抛物线与直线都经过x轴上的同一点，求直线的表达式．
解：①当y1＝－x2－2x时，
令－x2－2x＝0，得x＝0或－2，
∴抛物线与x轴的交点是(0，0)和(－2，0)．
∵y2随着x的增大而增大，且直线过点A(－1，5)，
∴抛物线与直线都经过x轴上的同一点(－2，0)．
19
(10分)【2020·黑龙江龙东地区】如图，已知抛物线
y＝－x2＋(a＋1)x－a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，△ABC的面积是6.
(1)求a的值．
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：∵a＝－3，∴C(0，3)．
∵S△ABP＝S△ABC，∴P点的纵坐标为±3.
把y＝3代入y＝－x2－2x＋3，得－x2－2x＋3＝3，
解得x＝0(舍去)或x＝－2.(共17张PPT)
鲁教版 九年级上
y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
3.4.1
第三章 二次函数
目标二 y＝ax2＋c与y＝ax2间的关系
y＝x2＋3
y＝3x2－4
1
2
3
4
5
D
A
6
7
8
A
3
答 案 呈 现
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【2020·上海】如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，那么所得的新抛物线的表达式是__________．
y＝x2＋3
1
y＝3x2－4
2
把抛物线y＝3x2向下平移4个单位长度，所得新抛物线的表达式为______________．
A
3
将抛物线y＝2x2＋3平移后得到抛物线y＝2x2，平移的方法可以是( )
A．向下平移3个单位长度
B．向上平移3个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
D
4
5
A．8
B．6
C．10
D．4
【答案】
A
【点拨】
把阴影部分分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案．
6
【点拨】
【答案】
3
解得k＝3或k＝0(舍去)．
∴原抛物线向上平移了3个单位长度．
7
解：如图所示．
(2)画出抛物线y＝ax2＋c.
8
(2)求△PMF周长的最小值．(共39张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数的应用
3.6.2
第三章 二次函数
利用二次函数求实际中一般应用问题
1
2
3
4
5
6
7
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【2020·武汉】某公司分别在A，B两城生产同一种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y＝ax2＋bx.当x＝10时，
y＝400；当x＝20时，y＝1 000.B城生产的产品每件成本为70万元．
(1)求a，b的值；
1
(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件；
解：由(1)得y＝x2＋30x.
设A，B两城生产这批产品的总成本的和为w万元，
则w＝x2＋30x＋70(100－x)＝
x2－40x＋7 000＝(x－20)2＋6 600.
由题意知0≤x≤100，
∴当x＝20时，w取得最小值，此时100－x＝80.
答：A城生产20件，B城生产80件．
(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．
解：当0＜m≤2时，A，B两城总运费的和的最小值为(20m＋90)万元；
当m＞2时，A，B两城总运费的和的最小值为(10m＋110)万元．
2
【2020·贵阳】2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(min)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15)
时间 x/min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15
人数 y/人 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810
(1)根据这15 min内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式．
(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多长时间？
①当0≤x≤9时，w＝－10x2＋140x＝－10(x－7)2＋490，
∴当x＝7时，w取最大值490.
②当9＜x≤15时，w＝810－40x，
∵－40＜0，∴w随x的增大而减小，
∴210≤w＜450.
∴排队人数最多时有490人．
全部考生都完成体温检测，则810－40x＝0，解得x＝20.25.
答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25 min.
(3)在(2)的条件下，如果要在12 min内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
3
【2021·广东】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽的盒数和用6 000元购进的豆沙粽的盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒的售价为50元时，每天可售出100盒；每盒的售价每提高1元，每天少售出2盒．
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)设猪肉粽每盒的售价为x元(50≤x≤65)，y(单位：元)表示该商家每天销售猪肉粽的利润，求y关于x的函数表达式并求最大利润．
解：由题意，得y＝(x－40)[100－2(x－50)]＝
－2x2＋280x－8 000＝－2(x－70)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＜70时，y随x的增大而增大．
∴当x＝65时，y取最大值，
最大值为－2×(65－70)2＋1 800＝1 750.
故y关于x的函数表达式为y＝－2x2＋280x－8 000(50≤x≤65)，最大利润为1 750元．
4
【2020·黄冈】网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2 000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/千克，每日销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式：y＝－100x＋5 000.
经销售发现，销售价格不低于成本价格且不高于30元/千克．当每日销售量不低于4 000千克时，每千克成本价格将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为W元．
(1)请求出日获利W与销售价格x之间的函数关系式．
解：当y≥4 000，即－100x＋5 000≥4 000时，x≤10，
∴当6≤x≤10时，W＝(x－6＋1)(－100x＋5 000)－2 000＝－100x2＋5 500x－27 000；
当10＜x≤30时，W＝(x－6)(－100x＋5 000)－2 000＝
－100x2＋5 600x－32 000.
(2)当销售价格定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
当10＜x≤30时，W＝－100x2＋5 600x－32 000＝
－100(x－28)2＋46 400，
∴当x＝28时，W取得最大值，为46 400.
∵46 400＞18 000，
∴当销售价格定为28元/千克时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46 400元．
(3)当W≥40 000时，网络平台将向板栗公司收取a元/千克
(a＜4)的相关费用，若此时日获利的最大值为42 100元，求a的值．
解：∵40 000＞18 000，∴10＜x≤30.
∴W＝－100x2＋5 600x－32 000.
当W＝40 000时，40 000＝－100x2＋5 600x－32 000，
解得x1＝20，x2＝36.
5
【2021·铜仁】某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价为16万元．当每辆售价为22万元时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1(万元)与月销售量x(辆)(x≥4)的五组对应数据如下表：
x 4 5 6 7 8
y1 0 0.5 1 1.5 2
(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式：y1＝____________.
(3)若每辆原售价为22万元，不考虑其他成本，降价后每月销售利润y＝(每辆原售价－y1－进价)·x，请你根据上述条件，求出月销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
6
【教材P100随堂练习变式】【2021·丹东】某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于每件成本．设该商品每月的销售量为y件，销售单价为x元．
(1)求y与x之间的函数关系式(不需要求自变量的取值范围)．
解：依题意得y＝50＋(100－x)÷2×10＝
－5x＋550，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－5x＋550.
(2)若使该商品每月的销售利润为4 000元，并使顾客获得更多的优惠，销售单价应定为多少元？
解：依题意得y(x－50)＝ 4 000，
即(－5x＋550)(x－50)＝4 000，
解得x1＝70，x2＝90.
∵70<90，且要使顾客获得更多的优惠，∴x＝70，
∴销售单价应定为70元．
(3)为使每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
解：设每月所获利润为w元．
依题意得w＝y(x－50)＝(－5x＋550)(x－50)＝
－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4 500.
∵－5<0，∴当x＝80时，w有最大值．
∴为使每月所获利润最大，
该商品销售单价应定为80元．
7
【2021·大连】某电商销售某种商品一段时间后，发现该种商品每天的销售量y(单位：千克)和每千克的售价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中50≤x≤80.
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
解：设该电商每天获得的利润为w元，
则w＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8 000＝
－2(x－70)2＋1 800.
∵－2<0，50≤x≤80，
∴当x＝70时，w取得最大值，最大值为1 800.
答：该电商将售价定为每千克70元才能使每天获得的利润最大，最大利润是1 800元．(共15张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
3.4.2
第三章 二次函数
目标二 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系
D
A
1
2
3
4
5
B
A
6
7
8
y＝3(x－2)2
y＝－3(x－2)2
答 案 呈 现
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将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度得到的抛物线的表达式是( )
A．y＝x2＋2
B．y＝x2－2
C．y＝(x＋2)2
D．y＝(x－2)2
D
1
A
2
把抛物线y＝－5x2平移得到抛物线y＝－5(x＋3)2，则这个平移过程正确的是( )
A．向左平移3个单位长度
B．向右平移3个单位长度
C．向上平移3个单位长度
D．向下平移3个单位长度
A
3
对于任意实数h，抛物线y＝(x－h)2与抛物线y＝x2( )
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．顶点相同
D．都有最高点
B
4
对于二次函数y＝3x2和y＝3(x－1)2，下列说法中正确的有( )
①它们的图象都是开口向上；②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0，0)；③当x>0时，y都随着x的增大而增大；④它们图象的开口的大小是一样的．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5
【教材P84习题T4变式】已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2相同．将该抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的表达式为________________．
y＝3(x－2)2
y＝－3(x－2)2
6
已知抛物线y＝－3x2，若抛物线不动，把y轴向左平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的表达式为______________．
7
如图，已知直线y＝kx＋b经过点A(0，2)，B(－4，0)和抛物线y＝x2.
(1)求直线的表达式；
解：设平移后得到的抛物线的表达式为y＝(x－m)2
(m＞0)，则该抛物线的对称轴为直线x＝m.
将x＝0代入y＝(x－m)2，得y＝m2，
∴点C的坐标为(0，m2)．
(2)将抛物线y＝x2沿x轴向右平移，平移后得到的抛物线对称轴左侧部分与y轴交于点C，右侧部分与直线y＝kx＋b交于点D，连接CD，当CD∥x轴时，求平移后得到的抛物线的表达式．
8
将抛物线y＝x2向右平移a(a＞0)个单位长度后得到如图所示的抛物线．该抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值．
解：将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后所得抛物线的表达式为y＝(x－a)2，则点A的坐标为(a，0)，∴OA＝a.
∵△AOB为等腰直角三角形，∴OB＝OA＝a.
将x＝0代入y＝(x－a)2，得y＝a2，
∴点B的坐标为(0，a2)，
∴OB＝a2.∴a2＝a.
∵a＞0，∴a＝1.
(2)该抛物线上是否存在一点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．(共13张PPT)
对函数的再认识
3.1
鲁教版 九年级上
第三章 二次函数
目标一 函 数
D
B
1
2
3
4
5
B
B
6
7
8
A
D
答 案 呈 现
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下列式子中，y不是x的函数的是( )
D
1
B
2
下列说法正确的是( )
A．变量x，y满足y2＝x，则y是x的函数
B．变量x，y满足x＋3y＝1，则y是x的函数
C．变量x，y满足|y|＝x，则y是x的函数
B
3
【2021·临沂临沭县期末】如图，下列曲线中表示y是x的函数的是( )
B
4
【教材P64随堂练习T1变式】下列关系式中，当自变量x＝－1时，函数值y＝6的是( )
A．y＝3x＋3
B．y＝－3x＋3
C．y＝3x－3
D．y＝－3x－3
5
A．5
B．6
C．7
D．8
A
D
6
【2021·淄博博山区一模】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或－4时，输出的y值互为相反数，则b等于( )
A．－30
B．－23
C．23
D．30
7
在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：
信件质量x/g 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60
邮资y/元 0.80 1.60 2.40
(1)y是x的函数吗？为什么？
解：y是x的函数，理由：对于x在可以取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应．
(2) 当x＝5，10，30，50时，求y的值．
解：当x＝5时，y＝0.80；
当x＝10时，y＝0.80；
当x＝30时，y＝1.60；
当x＝50时，y＝2.40.
解：y＝4(5－x)＝20－4x.
8
一个正方形的边长为5 cm，它的边长减少x cm后得到的新正方形的周长为y cm.
(1)求y关于x的函数关系式；
解：当x＝2时，y＝20－4×2＝12.
这个函数值的实际意义为该正方形的边长减少2 cm后得到的新正方形的周长为12 cm.
(2)当x＝2时，求y的值，并说明这个函数值的实际意义．(共14张PPT)
鲁教版 九年级上
对函数的再认识
3.1
第三章 二次函数
目标二 函数的表示法
B
B
1
2
3
4
5
D
x≠2
6
7
C
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把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加x(0≤x＜5)，长不变，所得长方形的面积y关于x的表达式为( )
A．y＝8x
B．y＝8x＋24
C．y＝24－x
D．y＝8x－24
B
1
B
2
【2020·青海】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内．现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为( )
【答案】
D
【点拨】
空气中燃烧A
x≠2
3
D
4
5
C
6
某学校组织学生去距离学校6 km远的光明科技馆参观，学生小明因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下表：
路程 收费
3 km以下(含3 km) 8.00元
3 km以上，每增加1 km (不足1 km按1 km计算) 1.80元
解：y＝8＋(x－3)×1.8＝1.8x＋2.6(x≥3)．
(1)写出出租车行驶的路程x(km)(x≥3)与收费y(元)之间的函数关系式．
解：车费够．因为当x＝6时，
y＝13.4＜14，所以车费够．
(2)小明身上仅有14元钱，乘出租车去光明科技馆，车费够不够？请说明理由．
7
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，点P是BC边上与点B不重合的动点，过点P的直线交CD的延长线于点R，交AD于点Q(点Q与点D不重合)，且
∠RPC＝45°.设BP＝x，梯形ABPQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
解：如图，过点D作DP′∥PQ，交BC于点P′，
则∠DP′C＝∠RPC＝45°.
∵CD＝AB＝4，∴P′C＝CD＝4，
∴BP′＝BC－P′C＝3. ∴0∵BP＝x，∴PC＝7－x.
在Rt△PCR中，∠C＝90°，
∠RPC＝45°，∴CR＝PC＝7－x.
易得∠RQD＝∠RPC＝45°，∠QDR＝90°，(共20张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
3.4.2
第三章 二次函数
目标一 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
直线x＝1
D
1
2
3
4
5
D
D
6
7
8
10
y3＜y2＜y1
增大
C
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9
D
抛物线y＝(x－1)2的对称轴是__________．
直线x＝1
1
D
2
D
3
对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝m
C．有最高点
D．与y轴不相交
D
4
在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( )
5
【2021·泰州】在函数y＝(x－1)2中，当x>1时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
增大
C
6
已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(－4，y1)和B(－3，y2)，那么下列结论一定成立的是( )
A．0＜y2＜y1
B．0＜y1＜y2
C．y1＜y2＜0
D．y2＜y1＜0
7
已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当
x＝1时，y的值为( )
A．－12 B．12
C．32 D．－32
【答案】
D
【点拨】
由题意可知二次函数y＝－2(x＋m)2的图象的对称轴为直线x＝－3，所以－m＝－3，所以m＝3.
所以二次函数的表达式为y＝－2(x＋3)2，所以当x＝1时，y＝－32.
8
已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝a(x＋1)2(a＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．
【答案】
y3＜y2＜y1
【点拨】
利用二次函数图象的对称性，将已知点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小．灵活运用二次函数图象的对称性比较大小，可以起到事半功倍的效果．
9
如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线的表达式；
解：由题意知，顶点A的坐标是(－1，0)，∴OA＝1.
∵OA＝OB，∴OB＝1，∴B(0，－1)．
把B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，
得－1＝a×12，解得a＝－1，
∴y＝－(x＋1)2.
解：把点C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2，
得b＝－(－3＋1)2＝－4.
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求b的值；
解：由题意知，抛物线的对称轴是直线x＝－1，
∵－1＜2＜3，∴y1＞y2.
(3)若点D(2，y1)，E(3，y2)在此抛物线上，比较y1与y2的大小．
10
如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB.
(1)求点A，B的坐标．
解：在y＝(x＋2)2中，令y＝0，
得x1＝x2＝－2；令x＝0，得y＝4，
∴点A，B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)求S△AOB.
解：函数图象的对称轴为直线x＝－2.
(3)写出函数图象的对称轴．
解：存在．①以OA和OB为邻边可得平行四边形PAOB，
易求得P(－2，4)；
②以AB和OB为邻边可得平行四边形PABO，
易求得P(－2，－4)．
综上，点P的坐标为(－2，4)或(－2，－4)．
(4)在函数图象的对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(共21张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数y＝ax2的图象与性质
3.3
第三章 二次函数
目标二 二次函数y＝ax2的图象与性质
A
B
1
2
3
4
5
B
A
6
7
8
C
答 案 呈 现
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9
C
二次函数y＝2x2的图象大致是( )
A
1
B
2
二次函数y＝－3x2的图象一定经过( )
A．第一、二象限
B．第三、四象限
C．第一、三象限
D．第二、四象限
A
3
二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax－a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
B
4
【2021·常州】已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则a的取值范
围是( )
A．a＞0
B．a＞1
C．a≠1
D．a＜1
5
已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过点A(－2，y1)，B(1，y2)，则下列选项中正确的是( )
A．y1＞0＞y2
B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
C
6
【2021·长春】如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为______________．
【点拨】
【答案】
7
已知抛物线y＝ax2与y＝4x2的形状相同，则a的值是( )
A．4
B．－4
C．±4
D．1
【答案】
C
【点拨】
对于抛物线y＝ax2，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|相等说明抛物线的开口大小相同，即抛物线的形状相同．本题易忽略a＝－4而出错．
8
已知函数y＝(m＋3)xm ＋3m－2是关于x的二次函数．
(1)求m的值．
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
解：∵该函数图象的开口向下，
∴m＋3＜0.∴m＜－3.∴m＝－4.
即当m＝－4时，该函数图象的开口向下．
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
解：∵该函数有最小值，
∴m＋3＞0.
∴m＞－3.∴m＝1.
即当m＝1时，该函数有最小值．
9
(2)求△AOB的面积；
【点拨】
如图，过OC的中点，作AB的平行线交抛物线于点P1，P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半．
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线于点P3，P4，此时△P3AB的面积和
△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半．
∴这样的点P共有4个．
【答案】
4(共41张PPT)
鲁教版 九年级上
第三章 二次函数
练素养
用二次函数解实际应用问题的六种常见类型
集训课堂
1
2
3
4
5
6
7
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【2021·衢州】如图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶部O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部O离水面的距离．
1
(2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1 m.
①求出其中一条钢缆所在抛物线的表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
2
(1)当运动员运动到离A点的水平距离为4米的地方时，他离水平线的高度为8米，求抛物线C2的表达式(不要求写出自变量x的取值范围)．
(2)在(1)的条件下，当运动员离A点的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
(3)当运动员运动到小山坡坡顶正上方，且与坡顶的距离超过3米时，求b的取值范围．
3
【2021·遂宁】某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元的价格出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，月销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
(1)服装店希望一个月内销售这种T恤能获得3 360元的利润，并且尽可能减少库存，T恤的销售单价应提高多少元？
解：由题意得(x＋40－30)(300－10x)＝3 360，
解得x＝2或x＝18.
∵要尽可能减少库存，
∴x＝18不合题意，应舍去．
答：T恤的销售单价应提高2元．
(2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：设该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润为M元．
由题意得M＝(x＋40－30)(300－10x)＝
－10x2＋200x＋3 000＝－10(x－10)2＋4 000.
∵－10＜0，
∴当x＝10时，M最大＝4 000.
40＋10＝50(元)．
答：当销售单价定为50元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大，最大利润是4 000元．
4
【教材P99例2变式】【2021·鄂尔多斯】鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每个房间的房价不低于200元且不超过320元．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间的房价x(元)和游客居住房间数y(个)符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当每个房间的房价定为多少元时，宾馆每天所获利润最大？最大利润是多少元？
∵200≤x≤320，
∴当x＝320时，w取得最大值，最大值为10 800.
答：当每个房间的房价定为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是10 800元．
5
某社区决定建一块长50 m，宽30 m的矩形广场，如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14 m，不大于26 m，设绿化区较长边的长为x m，活动区的面积为y m2.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
解：根据题意可得，绿化区较短边的长为
[30－(50－2x)]÷2＝x－10 (m)，
∴y＝50×30－4x(x－10)＝
－4x2＋40x＋1 500(12≤x≤18)．
(2)求活动区的最大面积；
解：∵y＝－4x2＋40x＋1 500＝－4(x－5)2＋1 600，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝5.
∴当12≤x≤18时，y随x的增大而减小．
∴当x＝12时，y最大＝1 404.
答：活动区的最大面积为1 404 m2.
(3)预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2.若社区的此项建造投资费用不得超过72 000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度．
解：设投资费用为w元．
由题意得w＝50(－4x2＋40x＋1 500)＋40×4x(x－10)＝－40(x－5)2＋76 000.
当w＝72 000时，
解得x1＝－5(不符合题意，舍去)，x2＝15.
∵－40＜0，∴当x≥15时，w≤72 000.
又∵12≤x≤18，∴15≤x≤18.
∴当x＝18时，w最小，
此时活动区的出口宽度为50－2×18＝14(m)．
答：投资费用最少时活动区的出口宽度为14 m.
6
如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到B点时，两点均停止运动，设P点的运动时间为t s.
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
∴t＝1或t＝2.
由题意知0＜t＜3，
∴当t为1或2时，△PBQ是直角三角形．
(2)设四边形APQC的面积为y cm2，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小面积．
7
2022年某市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月为4万人，五月为5.76万人．
(1)求三月到五月，该景区游客人数平均每月的增长率．
解：设三月到五月，该景区游客人数平均每月的增长率为x.
由题意，得4(1＋x)2＝5.76，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．
答：三月到五月，该景区游客人数平均每月的增长率为20%.
(2)若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种门票信息如下表所示．
门票种类 甲 乙 丙
可游玩景点 A B A和B
单价 100元 80元 160元
据调查，六月计划购买甲、乙、丙三种门票的人数分别为2万人、3万人和2万人，并且当甲、乙两种门票单价不变时，丙种门票单价每下降1元，有600名原计划购买甲种门票的游客和400名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票单价下降10元，求景区六月的门票总收入．
解：由题意，得100×(2－10×0.06)＋80×(3－10×0.04)＋(160－10)×(2＋10×0.06＋10×0.04)＝798(万元)．
答：景区六月的门票总收入为798万元．
②当丙种门票单价下降多少元时，景区六月的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
解：设丙种门票单价下降m元，景区六月的门票总收入为W万元．
由题意，得W＝100(2－0.06m)＋80(3－0.04m)＋(160－m)(2＋0.06m＋0.04m)＝－0.1(m－24)2＋817.6.(共17张PPT)
鲁教版 九年级上
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
3.4.3
第三章 二次函数
目标一 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
D
C
1
2
3
4
5
C
D
6
7
答 案 呈 现
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【2021·绍兴】关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A．有最大值4
B．有最小值4
C．有最大值6
D．有最小值6
D
1
C
2
二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
D
3
【2020·甘孜州】如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，
下列说法错误的是( )
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝－1
C．点B的坐标为(1，0)
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
C
4
【2020·杭州】设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8.( )
A．若h＝4，则a＜0
B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0
D．若h＝7，则a＞0
5
已知二次函数y＝(x＋1)2－4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a＋b的值为________．
【点拨】
∵a≤x≤b且ab＜0，
∴a＜0，b＞0.
由题意知二次函数图象的对称轴为直线x＝－1，
∴图象上横坐标为b的点关于对称轴对称的点的横坐标为－b－2，
若－1≤a＜0，则(a＋1)2－4＝2a，
【答案】
6
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan ∠ABC的值．
7
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
∵点A在第一象限内，
∴m＞0，∴m＝3.
∴图象的对称轴为直线x＝3.
根据图象的对称性可知，当y＝2时，x＝1或x＝5，
∴当y≥2时，自变量x的取值范围为1≤x≤5.(共41张PPT)
鲁教版 九年级上
第三章 二次函数
测素质
二次函数的图象与性质
集训课堂
C
B
1
2
3
4
5
B
B
6
7
8
10
D
C
A
11
12
答 案 呈 现
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9
D
4
a＞b＞d＞c
－3≤a≤1
13
14
15
16
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17
18
19
一、选择题(每题4分，共32分)
C
1
B
2
【2020·大连】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是( )
B
3
【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )
A．y3＜y2＜y1
B．y3＜y1＜y2
C．y2＜y3＜y1
D．y1＜y3＜y2
B
4
如图是一条抛物线，则其表达式为( )
A．y＝x2－2x＋3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2＋2x＋3
D．y＝x2＋2x－3
5
如图，已知直线y＝x＋1与坐标轴相交于点A，B，现把抛物线y＝－x2平移，使平移后的抛物线经过A，B两点，则平移的方法是( )
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
C
6
【2020·南充】如图，正方形四个顶点的坐标分别为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是( )
【答案】
A
【点拨】
D
7
【2021·江西】在同一平面直角坐标系中，二次函数
y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
8
【2021·济南长清区模拟】函数y＝－x2＋4x－3，当－1≤x≤m时，此函数的最小值为－8，最大值为1，则m的取值范围是( )
A．0≤m＜2
B．0≤m≤5
C．m＞5
D．2≤m≤5
【点拨】
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，1)，
∴x＝－1和x＝5对应的函数值相等．
∵当－1≤x≤m时，此函数的最小值为－8，最大值为1，且当x＝－1时，y＝－8，∴2≤m≤5.
【答案】
D
y＝(x－6)2－36
9
二、填空题(每题4分，共24分)
把二次函数y＝x2－12x化成形如y＝a(x－h)2＋k的形式是______________．
10
【2021·济宁任城区期末】长方形的周长为12 cm，它的一边长为x cm，面积为y cm2，则y与x之间的关系式为_____________________．
y＝－x2＋6x(0＜x＜6)
a＞b＞d＞c
11
如图，四个二次函数的图象对应的表达式是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.则a，b，c，d的大小关系为____________．
12
【2020·包头】在平面直角坐标系中，已知A(－1，m)和B(5，m)是抛物线y＝x2＋bx＋1上的两点，将抛物线y＝x2＋bx＋1向上平移n(n是正整数)个单位长度，使平移后的抛物线与x轴没有交点，则n的最小值为________．
【点拨】
【答案】
4
∴平移后的抛物线的最低点为点(2，－3＋n)．
∵平移后的抛物线与x轴没有交点，
∴－3＋n＞0，即n＞3.
又∵n为正整数，∴n的最小值是4.
13
当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是____________．
－3≤a≤1
14
15
三、解答题(共44分)
(2)写出两个函数的x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
16
(8分)【2020·温州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．
(1)求a，b的值；
(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
17
(8分)【2020·北京】在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2.
(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c
解：∵y1＝y2＝c，x1＜x2，抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴x1＝0，M，N关于抛物线的对称轴对称．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x2＝2，
∴当x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c.
(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
18
(10分)【2022·临沂兰山区月考】如图，抛物线
y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，直线y＝mx＋n经过B，C两点．
(1)求抛物线及直线BC的表达式；
(2)点F是抛物线对称轴上一点，连接FA，FC，当FA＋FC的值最小时，求点F的坐标及FA＋FC的最小值．
解：设抛物线的对称轴交BC于点F1，连接BF，
由抛物线的对称性可知FA＝BF，
则FA＋FC＝BF＋FC≥BF1＋F1C ＝BC，
∴当点F在F1处时， FA ＋FC的值最小，
最小值为BC的长．
19
(2)点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取得最大值时，求S△BCD.