2021-2022学年安徽省合肥市蜀山区西苑中学九年级（下）调研数学试卷（word解析版）

2021-2022学年安徽省合肥市蜀山区九年级（下）调研数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
2．函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（　　）
A．1：2 B．：2 C．1： D．：1
4．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则圆锥的底面半径为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．10cm
6．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（　　）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
7．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．4
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　）
A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果两相似三角形的面积比是3：1，则它们的周长比是 　 　．
12．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝　 　．
13．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为　 　．
14．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 　 　；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
15．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45° cos45°．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，线段AB的端点A、B均为网格线的交点．
（1）将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到线段A1B1，画出线段A1B1；
（2）将线段绕点A1顺时针旋转90°得到线段A2B2，画出线段A1B2；
（3）连接BB1，直接写出sin∠B1BA＝　 　．
四、（本大题共2小题，每小题12分，总计24分）
17．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD垂直于地面BE，A点到B点的距离米（参考数据：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4）
（1）求盲区中DE的长度；
（2）点M在ED上，MD＝1.8米，在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
18．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE．
五、（本大题共2小题，每小题14分，总计28分）
19．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．
20．关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求当﹣4≤x≤时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣a）x+2﹣a的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的交点坐标是（m，y1），（n，y2），且m＜0＜n，求函数W＝y1﹣y2的最大值．
六、（本大题共1小题，总计18分）
21．（18分）如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作EF⊥BC，分别交AD，BC于点E，F．连接PD，过点P作PM⊥PD，交射线BC于点M，以线段PD，PM为邻边作矩形PMND．
（1）若AB＝6，BC＝8，
①当AE＝2时，求CP的长．
②求PM：PD的值．
（2）连接CN，当∠DAC＝30°时，求证：2PE PF＝CN CF．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
解：∵反比例函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，
∴k+1＜0，
解得k＜﹣1．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
3．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（　　）
A．1：2 B．：2 C．1： D．：1
【分析】坡度是坡角的正切值．
解：因为tan30°＝，即坡度为1：．故选：C．
4．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由图可知，可把∠ABC放在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出斜边AB的长，再利用余弦的定义可得cos∠ABC＝＝＝．
解：法一、如图，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．
故选：B．
5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则圆锥的底面半径为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．10cm
【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．
解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝8π，
∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r＝＝＝4cm．
故选：C．
6．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（　　）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）＝0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，
∴m＝0或m＝2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m＝2．
故选：C．
7．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意可得：设△ABC的边长为x，易得：△ABP∽△PCD；故可得：＝；即＝，解得△ABC的边长为3．
解：设△ABC的边长为x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DCP＝∠PBA＝60°．
∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠BAP+∠ABP，∠APD＝60°，
∴∠BAP＝∠CPD．
∴△ABP∽△CPD．
∴＝，
∴＝．
∴x＝3．
即△ABC的边长为3．
故选：A．
8．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半圆的面积，再减去2个以边长为1的正方形的面积，加上以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决．
解：由题意可得，阴影部分的面积是： π×22﹣﹣2（1×1﹣ π×12）＝π﹣2，
解法二：连接BD，由题意，S因＝S扇形CBD﹣S△BCD＝×π×22﹣×2×2＝π﹣2，
故选：B．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．4
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理求出OA．
解：如图，连接OA，OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝30°，CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，
∵OA＝OC，
∴OA＝AC＝4，
∴⊙O的半径为4，
故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　）
A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4
【分析】首先证明∠PAB+∠PBA＝90°，得∠APB＝90°，则点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC的长即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，
∵OC＝＝＝2，
∴PC的最小值为2﹣4，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果两相似三角形的面积比是3：1，则它们的周长比是 　：1　．
【分析】由两相似三角形面积之比为3：1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
解：∵两相似三角形面积之比为3：1，
∴它们的相似比为：1，
∴它们的周长之比为：1．
故答案为：：1．
12．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝　2﹣2　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝×4＝2﹣2．
故答案为2﹣2．
13．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为　cm　．
【分析】利用弧长公式计算．
解：由图可知，OA＝OB＝，
而AB＝4，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠O＝90°，
OB＝＝2；
则弧AB的长为＝＝π，
设底面半径为r，
则2πr＝π，
r＝（cm）．
这个圆锥的底面半径为cm．
故答案为：cm
14．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 　　；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　2或　．
【分析】①求出CE＝BC﹣BE＝3，证明△ABE∽△ECN，得出＝，即可得出结果；
②过点E作EF⊥AD于F，则四边形ABEF是矩形，得出AB＝EF＝2，AF＝BE，由折叠的性质得出CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，证明△EC′F∽△NC′D，得出＝＝，则＝＝，由＝，得出＝，则＝＝，得出C′D＝BE，设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，则＝，＝，求出DN＝x（2﹣x），CN＝，由CN+DN＝CD＝2，即可得出结果；
解：①∵BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EN⊥AE，
∴∠AEN＝90°，
∴∠BEA+∠NEC＝90°，
∴∠BAE＝∠NEC，
∴△ABE∽△ECN，
∴＝，
∴＝，
解得：CN＝；
故答案为：；
②过点E作EF⊥AD于F，如图所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，
∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC′F＝∠C′ND，
∵∠D＝∠EFC′，
∴△EC′F∽△NC′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴C′D＝BE，
设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴＝，＝，
∴DN＝x（2﹣x），CN＝，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，
解得：x＝2或x＝，
∴BE＝2或BE＝．
故答案为：2或．
三、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
15．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45° cos45°．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，线段AB的端点A、B均为网格线的交点．
（1）将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到线段A1B1，画出线段A1B1；
（2）将线段绕点A1顺时针旋转90°得到线段A2B2，画出线段A1B2；
（3）连接BB1，直接写出sin∠B1BA＝　　．
【分析】（1）利用平移规律解决问题即可．
（2）根据旋转变换的性质作出图形即可．
（3）连接AB1，证明∠B1BA＝∠A，可得sin∠B1BA＝sinA，可得结论．
解：（1）如图，线段A1B1即为所求．
（2）如图，线段A1B2即为所求．
（3）连接AB1．
∵B1B＝B1A＝5，
∴∠B1BA＝∠A，
∴sin∠B1BA＝sinA＝＝．
故答案为：．
四、（本大题共2小题，每小题12分，总计24分）
17．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD垂直于地面BE，A点到B点的距离米（参考数据：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4）
（1）求盲区中DE的长度；
（2）点M在ED上，MD＝1.8米，在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据正切的定义求出DE；
（2）过点M作NM⊥ED，交PE于N，根据正切的定义MN，比较大小得到答案．
解：（1）∵FD⊥EB，AC⊥EB，AF∥BE，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠PBE＝45°，AB＝米，
∴AC＝BC＝AB＝×＝1（米），
∴DF＝AC＝1米，
在Rt△DEF中，∠FDE＝90°，∠PEB＝20°，
∴DE＝≈＝2.5（米），
答：盲区中DE的长度约为2.5m；
（2）驾驶员能观察到物体，
理由如下：过点M作NM⊥ED，交PE于N，
∵ED＝2.5米，MD＝1.8米，
.∴EM＝0.7米，
在Rt△EMN中，MN＝EM tan∠PEB≈0.7×0.4＝0.28（米），
∵0.3＞0.28，
∴在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体．
18．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE．
【分析】（1）证明B、C、E、D四点共圆，得到∠ADE＝∠ACB，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，证明EM＝EF；由sinα＝，sinα＝，得到，根据ME＝EF，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠ACD，
∴B、C、E、D四点共圆，
∴∠ADE＝∠ACB，而∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
（2）解：过点E作EM⊥AB，EF⊥BC；
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EF；设∠ADE＝∠ACB＝α，
则sinα＝，sinα＝，
∴，而ME＝EF，
∴DE＝CE．
五、（本大题共2小题，每小题14分，总计28分）
19．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠AEO，∠FPE＝∠FEP，由余角的性质可求∠FEP+∠AEO＝90°，可得结论；
（2）由余角的性质可求∠F＝∠EOG，由锐角三角函数可设EG＝3x，OG＝5x，在Rt△OEG中，利用勾股定理可求x＝2，即可求解．
解：（1）如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵CD⊥AB，
∴∠AHP＝90°，
∵FE＝FP，
∴∠FPE＝∠FEP，
∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，
∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，
∴OE⊥EF，
∴FE是⊙O的切线；
（2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°，
∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，
∴∠F＝∠EOG，
∴sinF＝sin∠EOG＝＝，
设EG＝3x，OG＝5x，
∴OE＝＝＝4x，
∵OE＝8，
∴x＝2，
∴OG＝10，
∴BG＝10﹣8＝2．
20．关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求当﹣4≤x≤时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣a）x+2﹣a的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的交点坐标是（m，y1），（n，y2），且m＜0＜n，求函数W＝y1﹣y2的最大值．
【分析】（1）将（﹣1，0）（3，0）代入y＝x2+bx+c求解．
（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当x＝1时y取最小值，x＝﹣3时y取最大值，然后作差求解．
（3）由一次函数解析式可得直线过定点（﹣1，0），可得y1＝0，因为抛物线顶点坐标为（1，﹣4），则y2的最小值为﹣4，然后作差求解．
解：（1）∵关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当x＜1时y随x增大而减小，当x＞1时y随x增大而增大，
∵﹣4≤x≤，
∴当x＝1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣4时，y取最大值21，
∴y的最大值与最小值的差为21﹣（﹣4）＝25．
（3）当x＝﹣1时y＝（2﹣a）x+2﹣a＝0，
∴直线y＝（2﹣a）x+2﹣a经过定点（﹣1，0），
∵m＜0＜n，
∴m＝﹣1，y1＝0，
∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4），
∴y2≥﹣4，
∴y1﹣y2≤0﹣（﹣4）＝4，
∴w＝y1﹣y2的最大值为4．
六、（本大题共1小题，总计18分）
21．（18分）如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作EF⊥BC，分别交AD，BC于点E，F．连接PD，过点P作PM⊥PD，交射线BC于点M，以线段PD，PM为邻边作矩形PMND．
（1）若AB＝6，BC＝8，
①当AE＝2时，求CP的长．
②求PM：PD的值．
（2）连接CN，当∠DAC＝30°时，求证：2PE PF＝CN CF．
【分析】（1）①证明△AEP∽△CFP，即可解决问题；
②证明△PFM∽△DEP，可得＝＝＝tan∠ACB，进而可以解决问题；
（2）证明△ADP∽△CDN，根据含30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】（1）解：①在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣2＝6，
∵EF⊥BC，
∴四边形EDCF是矩形，
∴CF＝DE＝6，
∵AD∥BC，
∴△AEP∽△CFP，
∴＝＝，
∵AC＝＝＝10，
∴CP＝AC＝；
②∵PM⊥PD，
∴∠FPM+∠DPE＝90°，
∵∠EDP+∠DPE＝90°，
∴∠FPM＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠PFM＝90°，
∴△PFM∽△DEP，
∴＝＝＝tan∠ACB，
∵tan∠ACB＝＝＝，
∴PM：PD＝3：4；
（2）证明：由（1）②可知：＝＝，
∵PM＝DN，
∴＝，
∵∠ADC＝∠PDN＝90°，
∴∠ADC﹣∠PDC＝∠PDN﹣∠PDC，
∴∠EDP＝∠CDN，
∴△ADP∽△CDN，
∴＝，
∵＝tan∠ACD＝tan∠CPF＝，
∴＝，
∵∠DAC＝30°，∠PEA＝90°，
∴AP＝2PE，
∴＝，
∴2PE PF＝CN CF．