数学新教材高一下人教A版必修 第二册8.6.2 直线与平面垂直第二课时　直线与平面垂直的性质(共21张PPT)

(共21张PPT)
第八章
第二课时　直线与平面垂直的性质
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明.
2.会应用直线和平面垂直的性质定理证明一些空间的简单线面关系.
课标要求
素养要求
在发现、推导和应用直线与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
课前预习
知识探究
1
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言 a⊥α，且b⊥α ________
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
平行
a∥b
2.直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上__________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
3.平面与平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
任意一点
相等
1.思考辨析，判断正误
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.( )
(2)到已知平面距离相等的两条直线平行.( )
(3)对于直线a，b，平面α，若a⊥α，a⊥b，则b∥α.( )
(4)对于直线a，平面α，β，若a⊥α，α∥β，则a⊥β.( )
提示　(2)到已知平面距离相等的两条直线可能平行、相交或异面.
(3)若a⊥α，a⊥b时，b∥α或b α.
√
×
√
×
2.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
B
3.若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________.
解析　由线面间的距离，知点B到平面α的距离为2.
2
4.直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________.(只填序号即可)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.
解析　①为直线与平面垂直的性质定理的应用；②为平面平行的性质；③为基本事实4的应用.
①②③
课堂互动
题型剖析
2
题型一　线面垂直有关性质的理解
【例1】　已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①a⊥α，b∥β，且α∥β a⊥b；②a⊥b，a⊥α b∥α；③a⊥α，b⊥α，a∥c b∥c；④a⊥α，β⊥α a∥β.其中不正确的有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析　①正确；②中b α有可能成立，故②不正确；③正确；④中a β有可能成立，故④不正确.
B
1.线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化.
2.常用的线面垂直的性质还有：①b⊥α，a α b⊥a；②a⊥α，b∥a b⊥α；③a⊥α，a⊥β α∥β.
思维升华
【训练1】　△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
解析　∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
C
【例2】　线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________.
题型二　空间中距离问题
4
解析　如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1.
则由线面垂直的性质可知，
AA1∥MM1∥BB1，
四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，
MM1为其中位线，所以MM1＝4.
1.利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.
2.利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.
3.通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.
思维升华
【训练2】　△ABC的三个顶点A，B，C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________.
3
解析　设点A，B，C在平面α上的射影为A′，B′，C′.
△ABC的重心为G，连接CG交AB于E，则E为BA的中点.
又设E，G在平面α上的射影为E′，G′.
由EE′⊥α，GG′⊥α，CC′⊥α，知EE′∥GG′∥CC′.
在梯形AA′B′B中，
又CC′＝4，CG∶GE＝2∶1.
在直角梯形EE′C′C中，可得GG′＝3.
【例3】　如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.
题型三　直线与平面垂直性质定理的应用
求证：EF∥BD1.
证明　如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1 平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
1.在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.
2.注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系.
思维升华
【训练3】　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.
证明：AE∥MN.
证明　因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.可提升逻辑推理与直观想象数学核心素养.
2.平行关系与垂直关系之间的相互转化
课堂小结