数学新教材高一下人教A版必修 第二册8.6.3 平面与平面垂直第二课时　平面与平面垂直的性质(共23张PPT)

(共23张PPT)
第八章
第二课时　平面与平面垂直的性质
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明.
2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题.
课标要求
素养要求
在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线______于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面______
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
垂直
交线
垂直
1.思考辨析，判断正误
×
(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.( )
(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.( )
(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.( )
提示　(1)平面α内的直线也可能平行于平面β或相交但不垂直.
√
√
2.已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　)
A.l∥β或l β B.l∥m
C.m⊥α D.l⊥m
A
解析　结合长方体模型，l∥β或l β成立，A正确；
易得l与m相交，异面或l∥m，知选项B，D错误；
易知C错误，m∥α或m α或m⊥α或m与α相交.
3.已知平面α⊥平面β，点A∈α，则过点A且垂直于平面β的直线(　　)
A.只有一条，不一定在平面α内
B.有无数条，不一定在平面α内
C.只有一条，一定在平面α内
D.有无数条，一定在平面α内
C
课堂互动
题型剖析
2
题型一　垂直关系的相互转化
【例1】　已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
(1)若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为(　　)
A.(1)(2) B.(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
解析　对于(1)，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正确.
B
对于(2)，如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB.故(2)不正确.
对于(3)，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β.故(3)正确.
空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：
思维升华
【训练1】　若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A.若m β，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
C
解析　由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m′，则m′∥m，由于m⊥β，故m′⊥β，又m′ α，则α⊥β，所以C正确.
【例2】　如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：
题型二　平面与平面垂直的性质及应用
(1)BG⊥平面PAD；
证明　由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，由BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG 平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
(2)AD⊥PB.
证明　由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
思维升华
【训练2】　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.
证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，
因为BC＝CC1，
所以四边形BCC1B1为菱形，所以B1C⊥BC1，
又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，
且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥平面A1BC1，
因为B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
【例3】　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.
题型三　空间垂直关系的综合应用
求证：(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA 平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明　因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.又PD 平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
1.熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路.
2.垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明.
思维升华
【训练3】　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
解　取AB的中点F，连接CF，EF.
∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，
∵CF 平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.
1.在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题.
2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：
课堂小结