数学新教材高一下人教A版必修 第二册8.6.3 平面与平面垂直第一课时　平面与平面垂直的判定(共27张PPT)

(共27张PPT)
第八章
8.6.3　平面与平面垂直
第一课时　平面与平面垂直的判定
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明.
2.会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直.
课标要求
素养要求
在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.二面角的概念
(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形.
两个半平面
(1)
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的____；②这两个半平面叫做二面角的____.
(3)画法：如图(1)所示.
(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.
棱
面
(5)二面角的平面角
①定义：如图(2)所示，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作______于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
垂直
(2)
②二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.
点睛
二面角的大小与垂足在l上的位置无关.　　　
2.平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作：________.
(2)画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成______.
直二面角
α⊥β
垂直
3.两平面垂直的判定
如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直.
符号语言：b⊥平面α，____________ β⊥α.
垂线
b 平面β
1.思考辨析，判断正误
×
(1)平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β.( )
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β.( )
(3)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.( )
(4)对于确定的二面角，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.( )
提示　(1)不一定.反例：斜四棱柱中的底面和侧面.
(2)不能保证直线和平面β垂直，则α⊥β就不一定成立.
(4)平面角的大小与顶点位置无关，与二面角的张角大小有关.
×
√
×
2.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)
A.有1个 B.有2个
C.有无数个 D.不存在
解析　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
C
3.在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　)
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
解析　由二面角的平面角定义，应满足的条件为D项.
D
4.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n α
C.m∥n，n⊥β，m α D.m∥n，m⊥α，n⊥β
解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，
由面面垂直的判定定理得α⊥β.
C
课堂互动
题型剖析
2
题型一　二面角的概念及大小的计算
【例1】　(1)若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　)
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
解析　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H－DG－F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.
D
(2)如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
解　∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
而PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，故二面角P－BC－A的大小是45°.
1.二面角是一个空间图形，其大小是利用二面角的平面角进行度量，注意二面角与两相交平面所成的角并不一致.
2.求二面角大小主要分为三步“一作、二证、三计算”.
思维升华
3.作二面角的平面角常采用：(1)定义法；(2)垂面法；(3)垂线法(利用线面垂直转化).
【训练1】　如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.
(1)二面角B－PA－D的平面角的大小为________；
(2)二面角B－PA－C的平面角的大小为________.
90°
45°
解析　(1)∵PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD.
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角.
又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B－PA－D的平面角的大小为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，AB，AC 平面ABCD.∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，
故二面角B－PA－C的平面角的大小是45°.
角度1　证明平面与平面垂直
【例2】　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
题型二　平面与平面垂直的证明
证明　由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1.
又BM 平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，
所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM 平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
1.证明面面垂直主要有两种方法：
(1)面面垂直的定义，(2)面面垂直的判定定理.
2.利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只需证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
思维升华
【训练2】　如图，在三棱锥中，点E，F分别为AC，AD的中点，AD⊥CD，BA＝BD.求证：平面EFB⊥平面ABD.
证明　在△ACD中，因为E，F分别是AC，AD的中点，
所以EF∥CD，因为EF 平面BCD，CD 平面BCD，
所以EF∥平面BCD.
在△ACD中，AD⊥CD，EF∥CD，
所以EF⊥AD，因为在△ABD中，BA＝BD，F为AD的中点，所以BF⊥AD，
因为EF 平面EFB，BF 平面EFB，且EF∩BF＝F，
所以AD⊥平面EFB，因为AD 平面ABD，所以平面EFB⊥平面ABD.
角度2　平面与平面垂直条件的探求
【例3】　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形.
(1)求证：AD⊥PB；
证明　设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.
因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面PGB，
所以AD⊥平面PGB.
因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.
解　当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，
则在△PBC中，EF∥PB，从而EF∥平面PGB，
在菱形ABCD中，GB∥DE，从而DE∥平面PGB，
而EF 平面DEF，DE 平面DEF，EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD 平面ABCD，
所以平面PGB⊥平面ABCD.
所以平面DEF⊥平面ABCD.
1.根据条件，找特别点的位置，然后利用面面垂直的判定定理证明平面DEF⊥平面ABCD.
2.求解该类问题也可利用结论平面DEF⊥平面ABCD.借助面面垂直的性质(见下一节)转化，寻找点F满足的条件.
思维升华
【训练3】　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析　由题意得BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
课堂小结
平面与平面垂直的判定定理的应用
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直 面面垂直.
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.