数学新教材高一下人教A版必修 第二册8.6.2 直线与平面垂直第一课时　直线与平面垂直的判定(共31张PPT)

(共31张PPT)
第八章
8.6.2　直线与平面垂直
第一课时　直线与平面垂直的判定
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明.
2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.
课标要求
素养要求
在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
任意一条
(2)有关概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的________
垂线段 过一点作平面的垂线，该点与垂足间的线段
点到平面的距离 ________的长度
公共点
垂线段
点睛
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．　　　
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，________＝P l⊥α
图形语言
两条相交
a∩b
3.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α______，但不与这个平面α______，图中直线PA
斜足 斜线和平面的______，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引______PO，过______O和______A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 相交
垂直
交点
垂线
垂足
斜足
直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是_______；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是____.
取值范围
0
1.思考辨析，判断正误
×
(1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( )
(2)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( )
(3)若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线所成的角均为90°.( )
(4)若直线l与平面α所成的角为0°，则直线l∥平面α.( )
提示　(1)直线l垂直于平面α内的无数条平行直线时，l与α不一定垂直.
(2)还有可能a α.
(4)l∥α或l α.
×
√
×
2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
C
3.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上皆有可能
解析　两条直线平行、相交或异面.
D
4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是________(填上满足结论的序号).
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.
解析　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
①③
课堂互动
题型剖析
2
题型一　线面垂直概念的理解
【例1】　下列命题中，正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
④⑤
解析　当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤.
1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
思维升华
【训练1】　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A.若l⊥m，m α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m
B
解析　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.
【例2】　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
题型二　求直线与平面所成的角
解　由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
求直线与平面所成角的一般步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
思维升华
【训练2】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小；
解　∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小.
解　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO .
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
角度1　直线与平面垂直的证明
【例3】　如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
题型三　直线与平面垂直的判定定理的应用
证明　∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.
又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.
∴∠SDB＝∠SDA，∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
∴SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明　∵AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，
又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC.
1.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
2.平行转化法(利用推论)证明线面垂直
(1)a∥b，a⊥α b⊥α；(2)α∥β，a⊥α a⊥β.
3.线线垂直和线面垂直的相互转化
思维升华
【训练3】　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC.
证明　因为∠ACB＝90°，
所以BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC.
又AC∩SA＝A，SA 平面SAC，AC 平面SAC.
∴BC⊥平面SAC，
因为AD 平面SAC，所以BC⊥AD.
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，
所以AD⊥平面SBC.
角度2　垂直条件的确定
【例4】　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝__________时，CF⊥平面B1DF.
a或2a
解析　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵点D是等腰Rt△A1B1C1斜边A1C1中点，∴B1D⊥平面ACC1A1，
又CF 平面ACC1A1，所以B1D⊥CF，
故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF.
设AF＝x(0又CD2＝a2＋9a2＝10a2，所以10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，
解得x＝a或2a.故当AF＝a或AF＝2a时，CF⊥平面B1DF.
探求线面、线线垂直条件的常用方法
(1)借助直观想象，选取特殊点后进行证明，若满足垂直关系，则即为要求的点.
(2)设出要求的点，通过计算确定点的位置，一般需要利用勾股定理构造方程解题.
思维升华
【训练4】　如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
解析　∵EG⊥平面α，PQ 平面α，∴EG⊥PQ.　①
又EG⊥平面α，FH⊥平面α.
∴EG∥FH，则EG与FH共面，
为使PQ⊥GH，只需PQ⊥平面EGHF.
若EF⊥平面β，由PQ 平面β， 得EF⊥PQ.
又∵EG与EF相交于点E，从而PQ⊥平面EGHF，则PQ⊥GH.
1.利用线面垂直的判定定理判定一条已知直线和一个平面垂直，关键是在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，即线线垂直 线面垂直.
2.求直线与平面所成的角步骤为一作、二证、三求、四答，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口.
3.证明线面垂直主要方法：(1)线面垂直定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)借助两个结论：①若a∥b，a⊥α则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结