数学新教材高一下人教A版必修 第二册10.1.2　事件的关系和运算(共25张PPT)

(共25张PPT)
第十章
10.1.2　事件的关系和运算
了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算.
课标要求
素养要求
通过相关概念的学习及对简单随机事件的运算，发展数学抽象与数学运算素养.
课前预习
知识探究
1
1.事件的运算
定义 表示法 图示
并事件 ______________________________，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ________(或________)
交事件 ________________________，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) _____ (或_____)
事件A与事件B至少有一个
发生
A∪B
A＋B
事件A与事件B同时发生
A∩B
AB
2.事件的关系
定义 表示法 图示
包含关系 若事件A发生，事件B______发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) ________(或A B)
互斥事件 如果事件A与事件B__________发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若____________，则A与B互斥
一定
B A
不能同时
A∩B＝
对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中______________发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若_________，且A∪B＝Ω，则A与B对立
有且仅有一个
A∩B＝
点睛
(1)对立事件一定互斥；(2)互斥事件不一定对立.　　　
3.事件关系或运算的含义
事件关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B______发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
同时
1.思考辨析，判断正误
×
(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.( )
(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件.( )
(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件.( )
提示　(1)对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
(2)因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件.
(3)反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件.
√
×
2.同时抛掷两枚硬币，两枚都是正面向上为事件M，至少有一枚是正面向上为事件N，则有(　　)
A.M N B.M N
C.M＝N D.M∩N＝
A
3.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A.A B
B.A＝B
C.A∪B表示向上的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的点数是1或2或3
解析　依据事件的关系，A∪B表示向上的点数是1或2或3.
C
4.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
解析　由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们为互斥事件.
C
课堂互动
题型剖析
2
题型一　事件关系的判断
【例1】　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取1张.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
解　是互斥事件，不是对立事件.
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
解　(2)既是互斥事件，又是对立事件.
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)不是互斥事件，当然不是对立事件.
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不是对立事件.
判断互斥事件、对立事件的两种方法
思维升华
定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断.不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
【训练1】　从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝“3件产品全不是次品”，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，则下列结论正确的是________(填写序号).
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
①②⑤
解析　A＝“3件产品全不是次品”，指的是3件产品全是正品，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件.
所以正确结论的序号为①②⑤.
【例2】　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
题型二　事件的运算
解　(1)对于事件D，可能的结果为：1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
思维升华
【训练2】　在例2中，设事件E＝“3个红球”，事件F＝“3个球中至少有一个白球”，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解　由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
【例3】　在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝“出现1点”，B＝“出现3点或4点”，C＝“出现的点数是奇数”，D＝“出现的点数是偶数”.
(1)说明以上4个事件的关系；
题型三　事件运算的综合问题
解　在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6个样本点，记作Ai＝“出现的点数为i”(其中i＝1，2，…，6).则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件.
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D.
解　A∩B＝ .
A∪B＝A1∪A3∪A4＝“出现点数1或3或4”，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝“出现点数1或2或4或6”，
B∩D＝A4＝“出现点数4”.
事件运算应注意的两个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
思维升华
【训练3】　对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系不正确的是(　　)
A.A D B.B∩D＝
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
D
解析　“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中.
“至少有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中.
∴A∪B≠B∪D.
1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.
2.两个事件互斥不一定对立，但两个事件对立，则它们一定互斥.
3.进行事件运算时，一要紧扣运算定义，二要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时借助Venn图进行数学直观分析.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结