北师大版八年级数学下册 6.3 三角形中的垂直平分线 教案（表格式）

北师大版·八年级数学下册·第一章·三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（2）
教学设计
1.3线段的垂直平分线（2）
一、教材分析：
在本章的前几节课，学生已经经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，体会到了证明的必要性，掌握了推理证明的基本要求和方法，如明确条件和结论，能够用数学的符号语言正确表达定理或命题，明确每一步推理的依据并能比较准确地表达推理的过程.同时，也体会到归纳思想、类比思想、转化思想的应用.
在上一课时中，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质定理、判定定理和线段垂直平分线的尺规作图，本节课的主要任务是性质和判定的应用。利用两个定理和线段垂直平分线的尺规作图，作出“已知底边和底边上的高，作等腰三角形”这个基础图形，从而拓展为“已知直线和直线上一点，作出该直线的垂线”、“已知直线和直线外一点，作出该直线的垂线”和“已知钝角三角形，作出两边上的高”；通过对三角形三边垂直平分线的探究，得到“三角形三边垂直平分线的性质”，即“三角形的三边垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离都相等”。这一结论，就是九年级下册第三章《圆》中，三角形外接圆圆心的确定方法，为以后的学习奠定了理论基础.
二、学情分析：
1、学生的已有基础：
知识基础：学生已经在上节课学习了线段的垂直平分线的性质定理、判定定理和尺规作图，为本节课打下了知识基础.
经验基础：八年级学生具有一定的观察、分析、概括能力，有着一定的学习经验及活动经验，形成了较好的参与和合作意识，并能在教师引导下进行必要的探究；并且通过对前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必要的方法;
2、学生面临的问题：
学生在进行探究符合条件的三角形时，分类情况可能不全；学生在研究三边垂直平分线的性质进行折纸时，三类三角形的容易只想到锐角三角形的情况;要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解．
三、目标制定：
课标分析：
《课程标准》中与本节课相关的描述有：运用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.
依据《课程标准》，根据教材内容和本班学生的实际情况，确定本节课的学习目标为：
1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.
2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.
重点：
1.已知等腰三角形的底和底边上的高，作出三角形；
2.三角形三边垂直平分线性质定理的证明.
难点：
1.用尺规过直线上（或外）一点作出该直线的垂线；
2.三角形三边垂直平分线性质定理的证明（即三线共点的证明技巧）.
四、评价设计:
针对本节课的两个学习目标，评价任务如下：
1.通过折纸或尺规作图，先独立探究出三角形三边垂直平分线的性质；通过教师点拨与启发，能够写出证明过程.( 环节二；针对目标一)
2.通过个人探究或同桌互助或教师点拨能画出符合条件的三角形；（活动2、活动3；针对目标二）
3.通过个人探究或小组交流，用尺规作出符合条件的垂线；(环节二中的活动3；针对目标二)
五、教法、学法：
新课程标准明确指出：学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者,因此本节课我采用的是探索归纳教学法.教学中，我充分运用多媒体资源及实物教具和学具，在观察、思考、操作、归纳、应用等师生的共同活动中引导学生学习，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，从而实现教与学的最优化，最终达成本节课的学习目标.
六、课前准备：
多媒体课件、几何画板、不同形状的三角形纸片、刻度尺、彩纸、彩笔、裁纸刀等.
教学过程：
学习环节 学习目标 学习评价 学习活动 设计意图
复习导入引入新课 通过学生知识树，复习线段垂直平分线的性质、判定和做法，做好知识准备 关注学生能否准确回忆旧知并熟练运用几何语言表达. 教师创设情景，展示知识树： 复习回忆线段垂直平分线的性质、判断及做法，引入新课. 这样的设计不仅可以让学生回忆旧知，又能引导学生注重知识梳理。
学习环节 学习目标 学习评价 学习活动 设计意图
复习导入引入新课 关注学生是否认真进行阅读. 出示本节课的学习目标. 学习目标的了解使本节课的学习活动的目的性变得更加明确
活动探究 目标1： 通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题. 关注学生能否利用教具积极参与小组合作，分工明确进行探究和交流. 能严密流畅地写出“三角形三边垂直平分线的性质定理“的证明过程，进一步体会证明的基本要求和方法. 探究活动一： 折一折：剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么 请学生上台演示 画一画：请利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么 （请自主选择一个三角形，组长协调组内选择不同三角形） 证一证：已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC． 小结：三角形三条垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点距离相等. 让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性。上述活动中，教师要注意按锐角三角形、直角三角形、钝角三角形进行分类体验和观察结论的正确性. 前两个操作仅仅是根据实践，观察得到的结论，但是否正确需要理论证明，上升到证明的的高度后，再一次更加严密地说明此命题的正确性.从而强化学生的说理的严密性和逻辑性，进一步发展推理能力.
活动探究 目标2 借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想. 关注学生能否画出符合条件的三角形的草图，至少画出两个即可； 关注学生能否通过个人探究或小组合作或教师点拨能画出符合条件的三角形； 关注学生能否用尺规准确作出符合条件的等腰三角形； 探究活动二： 1.已知三角形的一条边为5cm及这条边上的高3cm，你能作出三角形吗 如果能，请画在学案上. （几何画板演示符合条件的三角形有无数个） 延伸：这些三角形有什么共同的特征？当底边固定在一条直线上时，三角形的第三个顶点运动轨迹是什么？这个轨迹有什么特征？ 观察可以发现这些三角形不都全等，但这些三角形等底等高面积相等；若底是同一条线段时，另一个顶点在同一条直线上，这样的直线有两条，平行于直线BC且和BC的距离为3cm的直线. 思考：在此，三角形个数不确定的原因是什么？ 三角形的底和高确定，但高的位置不确定. 2.已知等腰三角形的底边为5cm及底边上的高3cm，你能作出等腰三角形吗 如果能，你作的三角形还和同伴的不同吗 如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 思考：在此，三角形个数确定的原因又是什么？ 三角形的底和高的长度确定且高的位置确定. 3.已知：线段 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=，高AD=（保留作图痕迹，口述作图步骤） 作法： 1．作BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点； 4．连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)． 学生只要用尺规作图作出符合条件的三角形即可，不用写作法. 本活动让学生探究在已知底边和高，但高的位置不确定的时候，三角形也不确定，所以能作出无数个形状不同的三角形，这些三角形的面积都相等.目的是让学生明白，若三角形固定，必使高的位置固定. 本活动让学生探究在已知了底边和高，并且高的位置确定的时候，三角形就确定；同时对于尺规作图，因为第一环节有所铺垫，学生能很快想到利用线段的垂直平分线的尺规作图.
活动探究 目标2 借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想. 能用尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线； 本活动对于学生来说，有一定的困难，需要教师进行点拨. 探究活动三 1.已知直线和上一点 P，用尺规作的垂线，使它经过点 P . 2.已知直线 和 外一点 P， 用尺规作 的垂线，使它经过点 P . 本活动是在”已知底边和底边上的高,求作等腰三角形” 这个例题的基础上的延伸，实质还是做线段的垂直平分线，只不过线段需要先根据情况做出来，然后再作线段的垂直平分线.
学习环节 学习目标 学习评价 学习活动 设计意图
学以致用 目标2 如图△ABC，求作： AC 边上的高. （2）BC边上的高 该环节设置的目的在于让学生巩固基础的同时，增强运用知识的灵活性，帮助学生对新知识进行内化.
学习环节 学习目标 学习评价 学习活动 设计意图
分享提升 目标1 目标2 关注学生是否能够用自己的语言说出本节课的感悟. 分享提升： 再次展示知识树，引导学生从从知识、技能、方法、思想、经验等方面分享自己的收获. 通过本环节让学生对本节课的知识和学习过程进行梳理，同时也使学生针对两个学习目标，对自己的学习进行一个客观的评价.
学习环节 学习目标 学习评价 学习活动 设计意图
目标检测 目标1 目标2 关注学生能否积极参与练习，同时关注学生的做题方法和错误的原因. 目标检测：小组互改，并小组互助解决问题 该环节设置的目的在于检验目标达成度、反馈学情.同时，基础题的设置，可以使更多的学生参与到学习中来，感受到成功的快乐.
学习环节 学习目标 学习评价 学习活动 设计意图
作业布置 目标1 目标2 课外作业： 1.请你找出生活中哪些设计会用到线段的垂直平分线的相关知识。 2.尝试利用线段垂直平分线的尺规作图探究角平分线的尺规作图理论依据。 题目设置：1.是对基础知识的巩固;2.是为学生进一步学习新知做铺垫.
八、板书设计：
九、教学反思：
本节课主要是线段的垂直平分线的应用，主要涉及到尺规作图的应用和三角形三边垂直平分线的性质。通过本节课的教学活动，可以观察到学生的动手操作和探究能力以及逻辑思维能力还是很不错的，对于前面分析的学生可能出现的问题，学生们突破地还是比较流畅，在老师的启发下分析也比较到位。有此可见，本节课的学习目标应该已经完成。但学生在进行展示说明和总结收获环节时，语言表达能力和总结能力欠缺，这是我今后在教学中需要加强培养的方向.