7.1 平面直角坐标系(基础讲解)（含解析）

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7.1 平面直角坐标系
【学习目标】
1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.
3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.
【知识总结】
一、有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
【注】：有序，即两个数的位置不能随意交 ( http: / / www.21cnjy.com )换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．21cnjy.com
二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、 ( http: / / www.21cnjy.com )原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).2-1-c-n-j-y
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【注】：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x ( http: / / www.21cnjy.com )轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.【来源：21cnj*y.co*m】
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【注】：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一 ( http: / / www.21cnjy.com )对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两 ( http: / / www.21cnjy.com )条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．【出处：21教育名师】
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【注】：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.【版权所有：21教育】
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域： ( http: / / www.21cnjy.com )x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.21*cnjy*com
四、点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
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【注】：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．21教育名师原创作品
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
【典型例题】
【类型】一、有序数对
例1．如下图所示的“马”所处的位置为．
（1）你能表示图中“象”的位置吗？
（2）写出“马”的下一步可以到达的位置．（“马”只能走“日”字形）
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【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据象在马的左边3个单位，结合图形写出即可；
（2）根据网格结构找出与马现在的位置成“日”字的点，然后写出即可．
解：（1）依据“马”的位置可知“象”的位置为．
（2）“马”下一步可以达到的位置有：，，，，，．
【点拨】本题考查了利用数对确定位置，正确理解题意、掌握网格结构是解题关键．
【训练】如图所示，一方队正沿箭头所指的方向前进
（1）A的位置为第三列第四行，表示为（3，4），那么B的位置是____________．
A． B． C． D．
（2）B左侧第二个人的位置是____________．
A． B． C． D．
（3）如果队伍向东前进，那么A北侧第二个人的位置是____________．
A． B． C． D．
（4）表示的位置是____________．
A．A B．B C．C D．D
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【答案】（1）A；（2）A；（3）B；（4）C
解：（1）在第四列第五行，用有序数对表示点B，故选A．
（2）B左侧第二个人的位置在第二列第五行，用表示，故选A．
（3）由队伍向东前进，可知左侧为北，A北侧第二个人的位置为，故选B．
（4）表示的位置是第四列，第三行，即C的位，置故选C．
【类型】二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
例2.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.
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【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．
【答案与解析】
解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是 ( http: / / www.21cnjy.com )2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标．21世纪教育网版权所有
所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)．
【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．21教育网
【训练】在平面直角坐标系中，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )点A既在x轴的上方，又在y轴的左边，且距离x轴，y轴分别为5个单位长度和4个单位长度，那么点A的坐标为( ).2·1·c·n·j·y
A．(5，-4) B．(4，-5) C．(-5，4) D．(-4，5)
【答案】D.
例3.在平面直角坐标系中，描出下列各点A(4，3)，B(-2，3)，C(-4，1)，D(2，-2)．
【答案与解析】
解：因为点A的坐标是(4 ( http: / / www.21cnjy.com )，3)，所以先在x轴上找到坐标是4的点M，再在y轴上找到坐标是3的点N．然后由点M作x轴的垂线，由点N作y轴的垂线，过两条垂线的交点就是点A，同理可描出点B、C、D．
所以，点A、B、C、D在直角坐标系的位置如图所示．
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【总结升华】对于坐标平面内任意一点 ( http: / / www.21cnjy.com ),都有唯一的一对有序数对和它对应；对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
【训练】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为 ．
【答案】5.
【类型】三、坐标平面及点的特征
例4．已知点A(1，2a－1)，点B(-a，a-3) ．
(1)若点A在第一、三象限角平分线上，求a值．
(2)若点B到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求点B坐标
【答案】（1）a=1；（2）B(-1，-2)或B(3，-6)
【分析】
（1）根据第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等即可得出结论；
（2）根据题意可得，解方程即可求出a的值，从而求出结论．
解：（1）∵点A(1，2a－1)在第一、三象限角平分线上，
∴1=2a－1，解得：a=1；
（2）∵点B(-a，a-3)到x轴的距离是到y轴距离的2倍，
∴，解得：a=1或-3
∴B(-1，-2)或B(3，-6)．
【点拨】此题考查的是点的坐标规律，掌握第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等和点到坐标轴的距离与坐标关系是解题关键．www.21-cn-jy.com
【训练】已知点和．试根据下列条件求出a，b的值．
（1）A，B两点关于y轴对称；
（2）A，B两点关于x轴对称；
（3）AB ‖ x轴
【答案】（1），；（2），；（3），
【分析】
（1）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，据此可得a，b的值；
（2）关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数，据此可得a，b的值；
（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标相同，横坐标不相同，据此可得a，b的值．
解：（1）因为A，B两点关于y轴对称，
所以，
则，．
（2）因为A，B两点关于x轴对称，
所以
则，．
（3因为轴
则满足，即，
，即．
【点拨】本题考查了关于x轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )对称点的坐标特点以及关于y轴的对称点的坐标特点，即点P(x,y)关于x轴对称点P 的坐标是(x,-y)，关于y轴对称点P 的坐标是(-x,y)．21·cn·jy·com
【类型】四、平面坐标系的综合练习
例5．在平面直角坐标系内，点，点在第三象限，
（1）求的取值范围；
（2）点到轴的距离是到轴的倍，请求出点坐标；
（3）在（2）的基础上，若轴上存在一点使得的面积为，请求出点坐标．
【答案】（1）；（2）（－4，－2）；（3）（0，0）或（0，10）．
【分析】
（1）根据第三象限点横纵坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标都小于0，列不等式求解即可；（2）根据点到坐标轴的距离等于其横纵坐标的绝对值列等式，再利用第三象限点的特征去绝对值符号即可求解；（3）设P点为（0，y），以AP距离为底，M到y轴的距离为高，列方程即可求解．【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）∵点在第三象限，
∴，
解得 ；
（2）∵点到轴的距离是到轴的倍，
即，
∵点在第三象限，
∴，
解得，
∴点坐标（－4，－2）；
（3）∵P在轴上，点点，（－4，－2），
设P点坐标为（0，y），
∴
解得或，
∴P点坐标为（0，0）或（0，10）．
【点拨】本题主要考查直角坐标系、已知点所 ( http: / / www.21cnjy.com )在象限求参数、点到坐标轴的距离等．已知点的坐标可以求出点到x轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值．各象限内点的坐标符号：第一象限内点的横、纵坐标皆为正数，即（＋，＋）；第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数，即（－，＋）；第三象限内点的横、纵坐标皆为负数，即（－，－）；第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数，即（＋，－）．
【训练】定义：已知点，若点，我们称点是点的关联点．如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，其对应的关联点分别为点、点．21·世纪*教育网
（1）当时，写出点、点的坐标：________、_________；
（2）求当为何值时，线段上的点都在第二象限；
（3）点是平面直角坐标系内一点．
①当点在轴上且三角形的面积是三角形的面积的2倍时，求点的坐标；
②当时，若点在直线之间(含在这两条直线上)，直接写出的取值范围．
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【答案】（1）；（2）；（3）①或；②．
【分析】
（1）根据关联点的定义进行运算即可得到；
（2）由定义可知，，根据C、D的位置可以得出CD与平行且点在点的右从而列出不等式，进而得到t的取值范围；www-2-1-cnjy-com
（3）①由,可得点到的距离等于点到的距离的2倍,可分两种情况：当点在直线和之间时,点到的距离为2,可得P点坐标,当点在直线上方时,同理可得P点坐标；
②当点P在AC上时，连接AP并延长 ( http: / / www.21cnjy.com )，此时C点坐标为（0，3），可求此时t的值；当点P在BD上时，连接BP并延长，此时D点坐标为（-2，3），可求此时t的值，进而得到t的取值范围.
解：（1）
（2）由定义可知，,
的纵坐标相同,
与平行且点在点的右侧,
,
解得：,
（3）①由坐标特征可知，与平行且相等,
,
点到的距离等于点到的距离的2倍,
(i)当点在直线和之间时,
点到的距离为2,
,
(ii)当点在直线上方时,
同理，;
② .
当点P在AC上时，连接AP并延长，此时C点坐标为（0，3），
∵，
∴t=-1；
当点P在BD上时，连接BP并延长，此时D点坐标为（-2，3），
∵，
∴t=-5，
∴t的取值范围为：.
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标变化，掌握变化规律是解题的关键.
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