18.1.1 平行四边形的性质(基础讲解)（含解析）

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18.1 平行四边形的性质
【学习目标】
1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的性质定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3.认识平行四边形对角线分得的三角形的关系及拓展关系
3. 灵活运用综合运用平行四边形的性质定理进行证明和计算．
【知识总结】
一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.21cnjy.com
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图（1）
【注】：
（1）平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；
（2）相对的边为对边，有两对；
（3）相邻的两角为邻角，有四对；
（4）相对的角为对角，有两对；
（5）对角线有两条.
二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
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图（2）
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
【注】：（1）平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.www.21-cn-jy.com
三、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.www-2-1-cnjy-com
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等；
2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图
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3. 平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：
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【典型例题】
【类型】一、平行四边形的性质
例1、如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点于点.
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（1）求证:；
（2）若，求的长．
【分析】（1）先证明，得到，再根据，利用等腰三角形性质得到结论；（2）根据平行四边形性质和，求出BE和AB，问题得解．21·cn·jy·com
（1）证明: 四边形是平行四边形，
即
.
平分
又
；
（2）解:四边形是平行四边形，
．
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，证明是解答本题关键．2-1-c-n-j-y
【训练】如图，在中，于点点在上，交于点，若，求的长度．
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【答案】
解：
四边形是平行四边形，
．
【类型】二、平行四边形与面积有关的计算
例2、在平行四边形ACBO中，AO＝5，点B的坐标为（﹣2，4）．
（1）写出点A、C的坐标；
（2）求出平行四边形ACBO的面积．
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【答案】（1）点A坐标（﹣5，0），点C坐标（﹣7，4）；（2）20
【分析】（1）首先过点C ( http: / / www.21cnjy.com )作CE⊥x轴于E，过点B作BD⊥x轴于D，根据平行四边形的性质，可得OA＝BC＝5，OA∥BC，AC＝OB，易得CE＝BD＝4，AE＝OD＝2，则点A坐标，点C坐标即可求出；
（2）利用平行四边形的面积公式直接计算即可．
解：（1）∵四边形OACB是平行四边形，
∴OA＝BC＝5，OA∥BC，AC＝OB，
过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BD⊥x轴于D，
∴CE＝BD＝4，
∴AE＝OD＝2，
∴点A坐标（﹣5，0），点C坐标（﹣7，4）；
（2）∵AO＝5，BD＝4，∴S AOBC＝5×4＝20．
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【总结升华】此题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式的运用，解题的关键是利用数形结合思想解题．21·世纪*教育网
【训练】如图，在中，的平分线交于点，且，.
（1）求的周长；
（2）连结，若，求的面积.
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解：（1）如图，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠DAE=∠AED，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=5，
∵EC=8，
∴BC=5+8=13
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（5+13）=36；
（2）∵AB=5，BC=13，AC=12，
AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，即AC⊥AB，
∴平行四边形ABCD的面积=AB×AC=60．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质和平行四边形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
【类型】三、平行四边形性质的综合训练
例3．在中，点和点是直线上不重合的两个动点，，．
（1）如图①，求证：；
（2）由图①易得，请分别写出图②，图③中，，三者之间的数量关系，并选择一个关系进行证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若，，则______．
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【分析】
（1）根据平行四边形的性质证明≌，得，由即可得出；
（2）图②，证明≌，得，根据线段的和得结论；
图③，证明≌，得，同理得出结论；
（3）分别代入图①和图②条件下的，计算即可．
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴≌（AAS），
∴，
∴，即．
（2）图②：，理由是：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴≌（AAS），
∴，
∴．
图③：，理由是：
同理得：≌（AAS），
∴，
∴．
（3）图①，，
图②，，
∴或4．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，属于四边形综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．21世纪教育网版权所有
【训练】如图，的对角线相交于点，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动．连接并延长交于点．设点的运动时间为秒．
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求的长（用含的代数式表示)；
问取何值时，四边形是平行四边形
【答案】（1）5-t；（2）
【分析】
（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，则BQ即可用t表示；
（2）由题意知AP∥BQ，根据AP=BQ，列出方程即可得解；21教育网
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠AOP=∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP=CQ=t，
∵BC=5，
∴BQ=5-t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t=5-t，2·1·c·n·j·y
,
当时，四边形ABQP是平行四边形.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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