18.1.2 平行四边形的判定(基础讲解)（含解析）
文档属性
| 名称 | 18.1.2 平行四边形的判定(基础讲解)（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-14 19:55:12 | ||
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文档简介
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18.2 平行四边形的判定
【学习目标】
1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的判定定理；
2．能初步运用平行四边形的判定进行推理和计算，特别是利用判定定理来证明一个四边形为平行四边形；
3. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
4. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
【知识总结】
一、平行四边形的判定
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
( http: / / www.21cnjy.com / )
图（1）
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
图（2）
【注】：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.21cnjy.com
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
（3）以上判定方法从边、角、对角线上进行识记。
【典型例题】
【类型】一、平行四边形的判定
例1、如图，在 ABCD中，O是BD的中点，E、F分别是BC、AD的中点，M、N分别是OB、OD中点．求证：四边形MENF是平行四边形．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】证△DNF≌△BM ( http: / / www.21cnjy.com )E（SAS），得FN＝EM，∠DNF＝∠BME，则∠FNM＝∠EMN，证出FN∥EM，即可得出四边形MENF是平行四边形．21·cn·jy·com
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FDN＝∠EBM，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴DF＝BE，
∵O是BD的中点，
∴OD＝OB，
∵M、N分别是OB、OD中点，
∴DN＝BM，
在△DNF和△BME中，
，
∴△DNF≌△BME（SAS），
∴FN＝EM，∠DNF＝∠BME，
∴∠FNM＝∠EMN，
∴FN∥EM，
∴四边形MENF是平行四边形．
【总结升华】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．www.21-cn-jy.com
【训练】如图，已知是等边三角形，点D在BC边上，是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF，www-2-1-cnjy-com
求证： （1）；
（2）四边形BCEF是平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）证明 ：∵和都是等边三角形，
∴，
，即，
在和中，，
∴；
（2）证明 ：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BCEF是平行四边形．
【训练】如图， ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点E，F是对角线BD上两点，且BE＝DF，顺次连接A，E，C，F，A．求证：四边形AECF是平行四边形，并写出最后一步推理的依据．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：如图，连接AC交BD于点O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确的作出辅助线是解题的关键．21世纪教育网版权所有
【类型】二、平行四边形综合训练
例2．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF． 21·世纪*教育网
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
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【分析】
（1）证明EF、BD互相平分，只要证DEBF是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明；
（2）过D点作DG⊥AB于点G，通过已 ( http: / / www.21cnjy.com )知可证△ADE是等边三角形，所以CE=2，DE=4，由勾股定理可求DG，继而可求得BD．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，21*cnjy*com
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴AE=AD，CF=CB，
∴AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
（2）如图，过D点作DG⊥AB于点G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ ∠A=，AE=AD，
∴ △ADE是等边三角形，
∵ AD=4，
∴ DE=AE=4，
∵ AE=2EB，
∴ BE=2，
在Rt△ADG中，AD=4，∠A=，
∴ ，
∴ DG=，
∴ ．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
【训练】如图，将的边延长至点E，使得，连结，F是边的中点，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】
（1）利用平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE＝FC，DE∥FC，进而得出答案；
（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而得出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，如图：
则∠DNC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴CD=AB=3，BC=AD=4，∠BCD=∠A=60°，∠CDN=30°，
∵F是BC边的中点，
∴FC=BC=2，NC=DC=，DN==，
∴FN=FC-NC=，
∴DF=EC==．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
【类型】三、平行四边形的应用
例3．如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F．
（1）求证:AE=CF．
（2）如图2，若ABCD是老张家的一块 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形田地。P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻。请你帮老张家设计一下，画出图形，并说明理由？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）图和理由见解析
【分析】
（1）利用ASA可证△AOE≌△COF，从而得出AE=CF；
（2）图形设计如下，根据平行四边形的特点，过对角线的交点O的直线可以将平行四边形分为2块面积相等部分，故只需要直线过点O和点P即可．【来源：21cnj*y.co*m】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OA=OC,
∴DAC=BCA
在△AOE和△COF
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF
（2）设计图形如下
( http: / / www.21cnjy.com / )
理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心 ( http: / / www.21cnjy.com )是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以。那么可以考虑平行四边形的性质(平行四边形的对角线互相平分)来解题，找到对角线的交点与水井点P的连线的所在直线即可．2·1·c·n·j·y
【点拨】本题考查平行四边形的性质，解题关键是根据平行四边形是中心对称图形的特点，得出过点O的直线平分四边形ABCD的面积．
【训练】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小慧同学利用直尺和规进行了如下操作：①连接AC，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线PQ，分别交BC、AC、AD于点E、O、F，连接AE、CF．根据操作结果，解答下列问题：
（1）线段AF与CF的数量关系是 .
（2）若∠BAD=120°，AE平分∠BAD，AB=8，求四边形AECF的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）FA=FC；（2）
【分析】
（1）根据基本作图和线段垂直平分线的性质进行判断；
（2））由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°，利用平行四边形的性质得AD∥BC，则∠AEB=∠DAE=60°，所以△ABE为等边三角形，则AE=AB=8，∠B=60°，于是可计算出AC=AB=8，再证明△AEF为等边三角形得到EF=8，然后根据三角形面积公式利用四边形AECF的面积=EF×AC进行计算．2-1-c-n-j-y
解：（1）由作法得EF垂直平分AC，
所以FA=FC．
故答案为FA=FC；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=8，∠B=60°，
∵EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，
∴AC=AB=8，
∵∠CAD=60°-30°=30°，
即OA平分∠EAF，
∴AF=AE=8，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF=8，
∴四边形AECF的面积=．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟 ( http: / / www.21cnjy.com )练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．【版权所有：21教育】
【训练】如图，平行四边形ABCD中，已知A（0，4），B（﹣3，1），D（0，﹣1），求点C的坐标以及平行四边形ABCD的面积．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C（﹣3，﹣4）；15
【解析】由平行四边形ABCD中，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )A（0，4），B（﹣3，1），D（0，﹣1），根据平行四边形的性质，可得BC=AD=5，继而可求得点C的坐标以及平行四边形ABCD的面积．【出处：21教育名师】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∵A（0，4），B（﹣3，1），D（0，﹣1），
∴BC=AD=5，BE=1，OE=3，
∴EC=5﹣1=4，
∴点C的坐标为：（﹣3，﹣4）；
∴S ABCD=AD OE=5×3=15．
点拨：此题主要考查了平行四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质以及坐标与图形的性质．解题的重点在于要利用数形结合的思想，在平面直角坐标系中利用平行四边形的性质并根据点的坐标得出能求出平行四边形面积的底和高这两个量.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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18.2 平行四边形的判定
【学习目标】
1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的判定定理；
2．能初步运用平行四边形的判定进行推理和计算，特别是利用判定定理来证明一个四边形为平行四边形；
3. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
4. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
【知识总结】
一、平行四边形的判定
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
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图（1）
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
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图（2）
【注】：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.21cnjy.com
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
（3）以上判定方法从边、角、对角线上进行识记。
【典型例题】
【类型】一、平行四边形的判定
例1、如图，在 ABCD中，O是BD的中点，E、F分别是BC、AD的中点，M、N分别是OB、OD中点．求证：四边形MENF是平行四边形．21教育网
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【分析】证△DNF≌△BM ( http: / / www.21cnjy.com )E（SAS），得FN＝EM，∠DNF＝∠BME，则∠FNM＝∠EMN，证出FN∥EM，即可得出四边形MENF是平行四边形．21·cn·jy·com
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FDN＝∠EBM，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴DF＝BE，
∵O是BD的中点，
∴OD＝OB，
∵M、N分别是OB、OD中点，
∴DN＝BM，
在△DNF和△BME中，
，
∴△DNF≌△BME（SAS），
∴FN＝EM，∠DNF＝∠BME，
∴∠FNM＝∠EMN，
∴FN∥EM，
∴四边形MENF是平行四边形．
【总结升华】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．www.21-cn-jy.com
【训练】如图，已知是等边三角形，点D在BC边上，是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF，www-2-1-cnjy-com
求证： （1）；
（2）四边形BCEF是平行四边形．
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（1）证明 ：∵和都是等边三角形，
∴，
，即，
在和中，，
∴；
（2）证明 ：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BCEF是平行四边形．
【训练】如图， ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点E，F是对角线BD上两点，且BE＝DF，顺次连接A，E，C，F，A．求证：四边形AECF是平行四边形，并写出最后一步推理的依据．21*cnjy*com
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证明：如图，连接AC交BD于点O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
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【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确的作出辅助线是解题的关键．21世纪教育网版权所有
【类型】二、平行四边形综合训练
例2．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF． 21·世纪*教育网
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
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【分析】
（1）证明EF、BD互相平分，只要证DEBF是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明；
（2）过D点作DG⊥AB于点G，通过已 ( http: / / www.21cnjy.com )知可证△ADE是等边三角形，所以CE=2，DE=4，由勾股定理可求DG，继而可求得BD．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，21*cnjy*com
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴AE=AD，CF=CB，
∴AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
（2）如图，过D点作DG⊥AB于点G，
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∵ ∠A=，AE=AD，
∴ △ADE是等边三角形，
∵ AD=4，
∴ DE=AE=4，
∵ AE=2EB，
∴ BE=2，
在Rt△ADG中，AD=4，∠A=，
∴ ，
∴ DG=，
∴ ．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
【训练】如图，将的边延长至点E，使得，连结，F是边的中点，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
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【分析】
（1）利用平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE＝FC，DE∥FC，进而得出答案；
（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而得出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，如图：
则∠DNC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴CD=AB=3，BC=AD=4，∠BCD=∠A=60°，∠CDN=30°，
∵F是BC边的中点，
∴FC=BC=2，NC=DC=，DN==，
∴FN=FC-NC=，
∴DF=EC==．
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【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
【类型】三、平行四边形的应用
例3．如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F．
（1）求证:AE=CF．
（2）如图2，若ABCD是老张家的一块 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形田地。P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻。请你帮老张家设计一下，画出图形，并说明理由？
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【答案】（1）见解析；（2）图和理由见解析
【分析】
（1）利用ASA可证△AOE≌△COF，从而得出AE=CF；
（2）图形设计如下，根据平行四边形的特点，过对角线的交点O的直线可以将平行四边形分为2块面积相等部分，故只需要直线过点O和点P即可．【来源：21cnj*y.co*m】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OA=OC,
∴DAC=BCA
在△AOE和△COF
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF
（2）设计图形如下
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理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心 ( http: / / www.21cnjy.com )是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以。那么可以考虑平行四边形的性质(平行四边形的对角线互相平分)来解题，找到对角线的交点与水井点P的连线的所在直线即可．2·1·c·n·j·y
【点拨】本题考查平行四边形的性质，解题关键是根据平行四边形是中心对称图形的特点，得出过点O的直线平分四边形ABCD的面积．
【训练】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小慧同学利用直尺和规进行了如下操作：①连接AC，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线PQ，分别交BC、AC、AD于点E、O、F，连接AE、CF．根据操作结果，解答下列问题：
（1）线段AF与CF的数量关系是 .
（2）若∠BAD=120°，AE平分∠BAD，AB=8，求四边形AECF的面积．
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【答案】（1）FA=FC；（2）
【分析】
（1）根据基本作图和线段垂直平分线的性质进行判断；
（2））由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°，利用平行四边形的性质得AD∥BC，则∠AEB=∠DAE=60°，所以△ABE为等边三角形，则AE=AB=8，∠B=60°，于是可计算出AC=AB=8，再证明△AEF为等边三角形得到EF=8，然后根据三角形面积公式利用四边形AECF的面积=EF×AC进行计算．2-1-c-n-j-y
解：（1）由作法得EF垂直平分AC，
所以FA=FC．
故答案为FA=FC；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=8，∠B=60°，
∵EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，
∴AC=AB=8，
∵∠CAD=60°-30°=30°，
即OA平分∠EAF，
∴AF=AE=8，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF=8，
∴四边形AECF的面积=．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟 ( http: / / www.21cnjy.com )练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．【版权所有：21教育】
【训练】如图，平行四边形ABCD中，已知A（0，4），B（﹣3，1），D（0，﹣1），求点C的坐标以及平行四边形ABCD的面积．21教育名师原创作品
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【答案】C（﹣3，﹣4）；15
【解析】由平行四边形ABCD中，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )A（0，4），B（﹣3，1），D（0，﹣1），根据平行四边形的性质，可得BC=AD=5，继而可求得点C的坐标以及平行四边形ABCD的面积．【出处：21教育名师】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∵A（0，4），B（﹣3，1），D（0，﹣1），
∴BC=AD=5，BE=1，OE=3，
∴EC=5﹣1=4，
∴点C的坐标为：（﹣3，﹣4）；
∴S ABCD=AD OE=5×3=15．
点拨：此题主要考查了平行四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质以及坐标与图形的性质．解题的重点在于要利用数形结合的思想，在平面直角坐标系中利用平行四边形的性质并根据点的坐标得出能求出平行四边形面积的底和高这两个量.
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