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18.2 平行四边形的判定
一、单选题
1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，在四边形中，，添加下列条件，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
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A． B． C． D．
3．顺次连接平面上A、B、C、D ( http: / / www.21cnjy.com )四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
4．下列说法正确的是( )
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
5．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时, ( http: / / www.21cnjy.com )采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
6．下列说法不正确的是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对边平行且相等
D．平行四边形的对角互补，邻角相等
7．如图，已知：在 ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，则下列结论中不正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．GF⊥FH B．GF＝EH
C．EF与AC互相平分 D．EG＝FH
8．由下列条件，可以唯一确定一个平行四边形的是（ ）
A．两条邻边长 B．两条对角线长
C．一边长及另一边上的高 D．两条对角线长及一边长
9．如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是( )【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B．
C． D．
10． 如图，△ABC是等边三角形，P是三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（ ）21·世纪*教育网
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A．18 B．9
C．6 D．条件不够，不能确定
11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（ ）21*cnjy*com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，点、分别是边、的中点，，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
13．如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则等于（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
14．如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，延长CB至点D，使MN=BD，连接DN，若CD=6，则MN的长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．2 B．3 C．4 D．6
15．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结若，，则的度数为 21cnjy.com
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A． B． C． D．
16．如图，在四边形中，，，，，．若点，分别是边，的中点，则的长是
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A． B． C．2 D．
17．如图，D是△ABC内一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )21·cn·jy·com
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A．12 B．14 C．24 D．21
18．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为（ ）21教育网
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A．10° B．15° C．25° D．40°
二、解答题
19．已知：如图，点A，F，C，D在同一 ( http: / / www.21cnjy.com )直线上，AF=DC，AB∥DE，AB=DE，连接BC，BF，CE．求证：四边形BCEF是平行四边形．【出处：21教育名师】
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20．如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
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21．如图，中，，，在AB的同侧作正、正和正，求四边形PCDE面积的最大值．
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22．如图，在平行四边形和的平分线，分别交，于点，，点，分别是，的中点，连接，.【版权所有：21教育】
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形.
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23．如图，在中，是的中点，平分，于点，延长交于点．已知，求的周长．
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24．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点．
求证：（1）四边形AFDE是平行四边形；
（2）周长等于AB+AC．
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三、填空题
25．若与相交于点，那么当_____，_______时，四边形是平行四边形．
26．下面是关于四边形的论断：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线和相等。以上四个条件中可以判定四边形是平行四边形的有___________（填序号）．www.21-cn-jy.com
27．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．若，则________．www-2-1-cnjy-com
28．在△ABC中，BC=a．作BC边的 ( http: / / www.21cnjy.com )三等分点C1，使得CC1：BC1=1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2=1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为______________.2-1-c-n-j-y
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29．如图，在等边三角形中，点分别是边的中点，过点E作，交的延长线于点，则____________．21教育名师原创作品
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18.2 平行四边形的判定
一、单选题
1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的判定方法逐个判断即可解决问题．
【详解】
解：A、若AB＝CD，∠A＝∠B，不可以判定四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B可以判定四边形ABCD是平行四边形；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知C可以判定四边形ABCD是平行四边形；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知D可以判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．2-1-c-n-j-y
2．如图，在四边形中，，添加下列条件，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的判定定理依次判定每个选项即可得到答案.
【详解】
A选项，当时，不能判定四边形是平行四边形；
B选项，当时，不能判定四边形是平行四边形；
C选项，当时，不能判定四边形是平行四边形；
D选项，当时，能判定四边形是平行四边形．
故选:D．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定定理，熟记定理并运用解题是关键.
3．顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理可得出答案．
【详解】
当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握 ( http: / / www.21cnjy.com )（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．2·1·c·n·j·y
4．下列说法正确的是( )
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】
本题考查的是平行四边形的判定方法.
【详解】
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选B.
故选B.
5．小玲的爸爸在钉制平行四边形框 ( http: / / www.21cnjy.com )架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（ ）21cnjy.com
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A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】
已知AC和BD是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即AO＝CO，BO＝DO）的四边形是平行四边形．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：由已知可得AO＝CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．【版权所有：21教育】
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对边平行且相等
D．平行四边形的对角互补，邻角相等
【答案】D
【解析】
A选项：平行四边形的判定定理：有两组对边 ( http: / / www.21cnjy.com )分别平行的四边形是平行四边形，故本选项正确；
B选项：平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故本选项正确；21教育名师原创作品
C选项：平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，故本选项正确；
D选项：平行四边形的对角相等，邻角互补，故本选项错误；
故选D．
7．如图，已知：在 ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，则下列结论中不正确的是（ ）
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A．GF⊥FH B．GF＝EH
C．EF与AC互相平分 D．EG＝FH
【答案】A
【解析】
【分析】
连接EF交BD于O，易证四边形EGFH是平行四边形，然后证明是否得出选项．
【详解】
连接EF交BD于点O，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在平行四边形ABCD中的AD=BC，∠EDH=∠FBG，
∵E、F分别是AD、BC边的中点，
∴DE∥BF,DE=BF=BC，
∴四边形AEFB是平行四边形,有EF∥AB，
∵点E是AD的中点，
∴点O是BD的中点，根据平行四边形中对角线互相平分，故点O也是AC的中点，也是EF的中点，故C正确，
又∵BG=DH,∴△DEH≌△BFG，
∴GF=EH，故B正确，
∠DHE=∠BGF，∴∠GHE=∠HGF，
∴△EHG≌△FGH，
∴EG=HF，故D正确，
∴GF∥EH，即四边形EHFG是平行四边形，而不是矩形，故∠GFH不是90度，
∴A不正确。
故选A.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质.
8．由下列条件，可以唯一确定一个平行四边形的是（ ）
A．两条邻边长 B．两条对角线长
C．一边长及另一边上的高 D．两条对角线长及一边长
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分的性质和三角形构成特点即可解答.
【详解】
知道两条对角线长就知道两条 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线长度的一半，因为两条对角线的一半和一边必然组成一个三角形，确定了平行四边形中的一个三角形，就可以确定整个平行四边形.
故选：D.
【点睛】
此题考查平行线的对角线互相平分的性质，题中考虑对角线与三角形构成特点的关系是解题的关键.
9．如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质得到A ( http: / / www.21cnjy.com )D∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF=BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．【出处：21教育名师】
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴为平行四边形，故A正确；
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，故B正确；
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
同理，，
∴不能判定四边形为平行四边形；故C错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，故D正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
10． 如图，△ABC是等边三角形，P是三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（ ）
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A．18 B．9
C．6 D．条件不够，不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
因为要求PD+PE+PF的值，而P ( http: / / www.21cnjy.com )D、PE、PF并不在同一直线上，构造平行四边形，把三条线段转化到一条直线上，求出等于AB，根据三角形的周长求出AB即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
延长EP交AB于点G，延长DP交AC与点H．
∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形，∴PD=BG，PH=AF．
又∵△ABC为等边三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )∴△FGP和△HPE也是等边三角形，∴PE=PH=AF，PF=GF，∴PE+PD+PF=AF+BG+FG=AB6．21*cnjy*com
故选C．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟 ( http: / / www.21cnjy.com )练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
【详解】
连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝，
∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD CH＝，
故③正确，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，S△ABC＝
∴S△ABD
∴S△AEF＝ S△AEC＝ S△ABD＝
故④错误，
故选C．
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【点睛】
本题考查平行四边形的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．21教育网
12．如图，点、分别是边、的中点，，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理求的长.
【详解】
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半，可求得 ，故选D．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理.
13．如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则等于（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质和三角形中位线定理，即可得到答案.
【详解】
解：∵是平行四边形，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴是△BCD的中位线，
∴；
故选：A.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题.
14．如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，延长CB至点D，使MN=BD，连接DN，若CD=6，则MN的长为（ ）21·cn·jy·com
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A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得到，计算即可.
【详解】
点、分别是、的中点，
，
，，
，
.
故选：.
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
15．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结若，，则的度数为 21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【详解】，，
，
ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
是的中位线，
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是的中位线是解题关键．
16．如图，在四边形中，，，，，．若点，分别是边，的中点，则的长是
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A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
连接，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：连接，
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，，
，
，
，
点，分别是边，的中点，
，
故选．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17．如图，D是△ABC内一点， ( http: / / www.21cnjy.com )BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )
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A．12 B．14 C．24 D．21
【答案】A
【分析】
利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】
∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12.
故选A.
【点睛】
此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出BC的值
18．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为（ ）
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A．10° B．15° C．25° D．40°
【答案】C
【解析】
分析：根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN的度数．
详解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC．
∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．
∵∠MPN=130°，∴∠PMN==25°．
故选C．
点睛：本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
二、解答题
19．已知：如图，点A，F，C， ( http: / / www.21cnjy.com )D在同一直线上，AF=DC，AB∥DE，AB=DE，连接BC，BF，CE．求证：四边形BCEF是平行四边形．
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【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
首先证明△ABC≌△DEF（ASA），进而得出BC=EF，BC∥EF，进而得出答案．
【详解】
∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=CD，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定.
20．如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
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【答案】证明见解析．
【分析】
首先根据四边形ABCD是平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形，判断出AB//CD，且AB=CD，然后根据AE=CF，判断出BE=DF，即可推得四边形BFDE是平行四边形．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
又∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴BE∥DF且BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质定理是解题的关键.
21．如图，中，，，在AB的同侧作正、正和正，求四边形PCDE面积的最大值．
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【答案】四边形PCDE面积的最大值为1．
【解析】
【分析】
先延长EP交BC于点F，得出，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【详解】
延长EP交BC于点F，
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，，
，
，
平分，
又，
，
设中，，，则
，，
和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
四边形CDEP是平行四边形，
四边形CDEP的面积，
又，
，
，
即四边形PCDE面积的最大值为1．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．www-2-1-cnjy-com
22．如图，在平行四边形中，和的平分线，分别交，于点，，点，分别是，的中点，连接，.
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形.
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【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠DCB，再由角平分线性质得到∠BAE=∠DCF，可用ASA证明△ABE≌△CDF，从而得到BE=DF；
（2）由（1）可得，AE=CF，然后可以证明，由M、N是中点，得到ME=NF，即可得到四边形是平行四边形；【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
（1）证明：如图：
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在平行四边形中，有，，，，，
和的平分线，分别交、于点、
在和中
（2）由（1）可得，AE=CF
、分别为、中点,
且
四边形是平行四边形.
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质与判定， ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定，平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法.
23．如图，在中，是的中点，平分，于点，延长交于点．已知，求的周长．
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【答案】46
【分析】
先证明，得到AD=AB，BN=DN，再利用点M是BC的中点证得CD=2MN，BC=2BM，由此即可求出△ABC的周长.
【详解】
∵平分，
∴，，
在和中，
∴，
∴．
∵是的中点，，
∴，，
∴的周长为．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，三角形的中位线的性质，证明是解题的关键，由此不仅得到AD=AB，还证得BN=DN，由此利用点M是BC的中点求出CD的长.
24．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点．
求证：（1）四边形AFDE是平行四边形；
（2）周长等于AB+AC．
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【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
(1)根据三角形的中位线的性质得到DE和AF平行且相等，从而得出平行四边形；
(2)根据中点的性质得出DF=EC，DE=BF，从而得出答案．
【详解】
证明： (1)∵D、E分别是BC、AC的中点，F为AB的中点，
∴DE=AF，DE∥AF，
∴四边形AFDE是平行四边形；
(2)、∵点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点，
∴DF=EC，DE=BF，
∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC．
三、填空题
25．若与相交于点，那么当_____，_______时，四边形是平行四边形．
【答案】5 4
【分析】
由平行四边形的对角线互相平分即可填空.
【详解】
当两条对角线互相平分时，该四边形是平行四边形，
如图，∵，
∴当时，四边形是平行四边形．
故答案为：5，4.
【点睛】
此题考查平行四边形的对角线互相平分的判定定理，熟记定理并运用解题是关键.
26．下面是关于四边形的论断：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线和相等。以上四个条件中可以判定四边形是平行四边形的有___________（填序号）．21*cnjy*com
【答案】①②③
【分析】
根据平行四边形的定义及判定定理依次判断即可.
【详解】
①符合平行四边形的定义，故①正确；
②两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故②正确；
③有一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④错误．
所以正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】
此题考查平行四边形的定义及性质，熟记定义及性质定理是解题的关键.
27．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．若，则________．
【答案】2或12
【分析】
先证明四边形是平行四边形，得到AF=DE=5，再证明，得出DF=BF，求出BF长度即可得到DF.
【详解】
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图（1） 图（2）
如图（1），当点在线段上时，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
如图（2），当点在的延长线上时，
同理可证，．
∵，
∴．
综上所述，的值为2或12．
故答案为：2或12．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
28．在△ABC中，BC=a．作BC边 ( http: / / www.21cnjy.com )的三等分点C1，使得CC1：BC1=1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2=1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为______________.
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【答案】
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理得到四边形A1C1CD1为平行四边形，根据平行四边形的性质得到A1D1=C1C，总结规律，根据规律解答．
【详解】
∵A1C1∥AC，A1D1∥BC，
∴四边形A1C1CD1为平行四边形，
∴A1D1=C1C=a=，
同理，四边形A2C2C1D2为平行四边形，
∴A2D2=C1C2=a=，
……
∴线段AnDn=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定和性质、图形的变化规律，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
29．如图，在等边三角形中，点分别是边的中点，过点E作，交的延长线于点，则____________．
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【答案】30°
【分析】
根据点分别是边的中点，得到，求出，再利用即可求出∠F.
【详解】
∵是等边三角形，
∴．
∵点分别是边的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：30°.
【点睛】
此题考查三角形的中位线定理：三角形两边中点的连线平行于三角形的第三边，直角三角形的性质：两锐角互余.www.21-cn-jy.com
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