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18.3 特殊的平行四边形：矩形
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分
2．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
3．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．
A．3.6 B．7.2 C．1.8 D．14.4
4．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（ ）
A．3cm2 B．4 cm2 C．12 cm2 D．4 cm2 或12 cm2
5．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10，则周长为( )
A．14 B．28 C．20 D．22
6．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在或的延长线上，那么∠EMF的度数是（）21世纪教育网版权所有
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A．85° B．90° C．95° D．100°
7．已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（ ）
A．B．C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
8．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )21教育网
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A．2 B．3 C． D．
9．矩形的面积为120cm2，周长为46 cm，则它的对角线长为（ ）
A．15 cm B．16 cm C．17 cm D．18 cm
10．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）21cnjy.com
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
11．如图．△ABC中，AC ( http: / / www.21cnjy.com )的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）21·cn·jy·com
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A．2 B．3 C．4 D．4
二、填空题
12．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝____，BC＝___．
13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝____．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相较于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE的长度是_____www.21-cn-jy.com
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15．如图，Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°，AC =BC= 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是_______．2·1·c·n·j·y
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16．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片， ( http: / / www.21cnjy.com )AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝_____°. 【来源：21·世纪·教育·网】
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17．如图，在长方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．www-2-1-cnjy-com
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18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形的对角线长为 ．
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19．如图，矩形纸片ABCD中，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为____．2-1-c-n-j-y
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20．矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为____．21*cnjy*com
21．如图，将矩形ABCD沿AE ( http: / / www.21cnjy.com )向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为_____．【来源：21cnj*y.co*m】
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三、解答题
22．如图所示，矩形纸片中，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，则______．
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23．如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.21·世纪*教育网
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24．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，
求证：四边形BCDE是矩形．
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25．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于
F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．
26．已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED, EF⊥ED．求证: AE平分∠BAD．
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18.3 特殊的平行四边形：矩形
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分
【答案】D
【解析】
【分析】
由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确．【出处：21教育名师】
【详解】
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴A不正确；
∵对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴B不正确；
∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，
∴C不正确；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
2．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
【答案】D
【解析】
分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
3．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．
A．3.6 B．7.2 C．1.8 D．14.4
【答案】B
【分析】
如图，根据矩形性质得出AC=BD，AO=OC=AC，BO=OD=BD，求出OA=OB，得出△AOB是等边三角形，求出AB=AO=OB，即可得出答案．21教育名师原创作品
【详解】
如图，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC=AC，BO=OD=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=OB=3.6cm，
∴BD=AC=2AO=7.2cm，
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出等边三角形AOB和求出BD=AC=2AO．
4．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（ ）
A．3cm2 B．4 cm2 C．12 cm2 D．4 cm2 或12 cm2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据矩形性质得出AB=CD，AD=BC，AD ( http: / / www.21cnjy.com )∥BC，推出∠AEB=∠CBE，求出∠AEB=∠ABE，得出AB=AE，分为两种情况：①当AE=1cm时，求出AB和AD；②当AE=3cm时，求出AB和AD，根据矩形的面积公式求出即可．21*cnjy*com
【详解】
如图，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
①当AE=1cm时，AB=1cm=CD，AD=1cm+3cm=4cm=BC，
此时矩形的面积是1cm×4cm=4cm2；
②当AE=3cm时，AB=3cm=CD，AD=4cm=BC，
此时矩形的面积是：3cm×4cm=12cm2.
故选D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行线的性质，角平分线性质，解此题的关键是求出AB=AE，注意：要进行分类讨论．21教育网
5．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10，则周长为( )
A．14 B．28 C．20 D．22
【答案】B
【分析】
根据矩形性质得出∠BAD=90°，AB=CD=6cm，AD=DB，根据勾股定理求出AD，即可求出BC，求出即可.
【详解】
如图，
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∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，
∴∠BAD=90°，AB=CD=6cm，AD=DB，
∵在Rt△BAD中，BD=10cm，由勾股定理得：AD==8（cm），
∴AD=BC=8cm，
∴矩形的周长是AB+BC+CD+AD=6cm+8cm+6cm+8cm=28cm，
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．
6．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在或的延长线上，那么∠EMF的度数是（）
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A．85° B．90° C．95° D．100°
【答案】B
【分析】
根据折叠的性质：对应角相等，对应的线段相等，可得．
【详解】
解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB，∠FMB′=∠FMC，
∵∠FMC+∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°，
∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°，
∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME，
∴∠EMF=90°．
故选B．
【点睛】
考核知识点：矩形性质.理解矩形性质是关键.
7．已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（ ）
A．B．C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【详解】
解：A选项中，根据对顶角相等，得与一定相等；
B、C项中无法确定与是否相等；
D选项中因为∠1=∠ACD，∠2＞∠ACD，所以∠2＞∠1．
故选：D
8．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )www.21-cn-jy.com
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A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE的长．
【详解】
过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，
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则有△BCF≌△BAE（ASA），
则BE=BF，S四边形ABCD=S正方形BEDF=8，
∴BE=．
故选C．
【点睛】
本题运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE就是正方形的边长了；也可以看作将三角形ABE绕B点逆时针旋转90°后的图形．
9．矩形的面积为120cm2，周长为46 cm，则它的对角线长为（ ）
A．15 cm B．16 cm C．17 cm D．18 cm
【答案】C
【分析】
首先根据题意求出矩形的长与宽，然后根据勾股定理求出对角线长．
【详解】
设矩形长为a，宽为b．
∴ab=120；2（a+b）=46．
∴a2-23a+120=0．
∴a=15，b=8．
∴它的对角线的长为=17cm．
故选C．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质及勾股定理的运用．
10．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
【答案】D
【分析】
根据矩形的判定定理即可选出答案.
【详解】
解：A.对角线是否相互平分，能判定平行四边形，而不能判定矩形；
B.两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，而不能判定矩形；
C.一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D.四边形其中的三个角是否都为直角，能判定矩形.
故选D.
【点睛】
本题考查了矩形的判定定理.解题的关键是牢记这些定理.
矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
11．如图．△ABC中，AC的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）21·cn·jy·com
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A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】A
【解析】
∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，，
∴AB=4，
∴AC==2．
∴DE=．
∴四边形BCDE的面积为：2×=2．故选A．
二、填空题
12．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝____，BC＝___．
【答案】5， 5.
【解析】
【分析】
利用矩形的性质得出AO=CO=BO=DO=5cm，再利用等边三角形的判定得出即可．
【详解】
如图所示：
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∵在矩形ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=10cm，
∴AO=CO=BO=DO=5cm，则△ABO是等边三角形，
∴AB=5cm，∠BAC=60°，
∴在直角△ABC中，BC=AB tan60°=5cm．
故答案是：5；5．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的判定，得出△ABO是等边三角形是解题关键．
13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝____．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】
如图，
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在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5，BC=3，由勾股定理得：AB==，
∵CD是直角三角形ACB的斜边AB上中线，
∴CD=AB=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相较于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE的长度是_____2·1·c·n·j·y
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【答案】
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD=BD=5，
∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=30°，∠EDA=60°，
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )∴∠DCE=90°-∠EDC=60°，∴∠ODC=∠OCD=60°，∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=60°，∴△OCD是等边三角形，DE=sin60° OD=×5=
15．如图，Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠C=90°，AC =BC= 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是_______．
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【答案】12．
【详解】
解：∵∠C=90°，EF⊥AC，EG⊥BC，∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°．∴四边形FCGE是矩形．
∴FC=EG，FE=CG，EF∥CG，EG∥CA，∴∠BEG=∠A=45°=∠B．∴EG=BG．
同理AF=EF，
∴矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12．
故答案为：12
16．如图，四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝_____°. 21·世纪*教育网
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【答案】60°.
【分析】
由折叠的性质知，∠DA1E=∠A=90°；DA1=AD=2CD，易证∠CDA1=60°．再证∠EA1B=∠CDA1．
【详解】
由折叠的性质知，A1D=AD=2CD，
∴sin∠CA1D=CD：A1D=1：2，
∴∠CA1D=30°，
∴∠EA1B=180°-∠EA1D-∠CA1D=180°-90°-30°=60°．
故答案为60．
【点睛】
本题利用了：1、折叠的性质：折叠是 ( http: / / www.21cnjy.com )一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，同角的余角相等求解．
17．如图，在长方形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．
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【答案】
【解析】
EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．
所以△AOE≌△COE．
设CE为x．
则DE=AD-x，CD=AB=2．
根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22
解得CE=13/6．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形的对角线长为 ．
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【答案】8cm
【解析】
试题分析：根据邻补角的定义求出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB=60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得AO=BO=CO，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形三条边都相等可得AO=AB，然后求解即可．
解：∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=4cm，
∴AC=AO+CO=4+4=8cm．
故答案为8cm．
19．如图，矩形纸片ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为____．
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【答案】6
【分析】
先根据矩形的特点求出BC的长 ( http: / / www.21cnjy.com )，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，
解得x=6，则AB=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了翻折变换及勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com )，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
20．矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为____．
【答案】30或10
【分析】
根据角平分线定义求出∠DAE=∠EAB， ( http: / / www.21cnjy.com )根据矩形的性质得出AD=BC，DC=AB，DC∥AB，求出∠DEA=∠EAB，求出∠EAB=∠BEA，推出AB=BE，①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，得出x 4x=36，求出x即可；②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，得出4x 3x=36，求出x即可．
【详解】
如图，
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∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，
∴∠DEA=∠BEA，
∴∠EAB=∠BEA，
∴AB=BE，
①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴x 4x=36，
解得：x=3，
即AD=BC=4x=12，AB=CD=3x，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；
②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴3x 4x=36，
解得：x=，
即AD=BC=4x=4，AB=CD=3x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+3）=14；
故答案为30或14．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线定义的应用，能进行分类讨论是解此题的关键，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等且平行．2-1-c-n-j-y
21．如图，将矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为_____．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】12
【解析】
试题分析：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
解：由折叠的性质知，AF=AB，EF=BE．所以矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和为9+3=12．
故矩形ABCD的周长为12．
故答案为12．
考点：翻折变换（折叠问题）．
三、解答题
22．如图所示，矩形纸片中，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，则______．
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【答案】5.8
【解析】
【分析】
通过折叠联系轴对称图形，再利用轴对称图形的边、角关系和勾股定理相关知识即可完成解答
【详解】
解：设，则，
由轴对称性质知：，
由勾股定理得：，
即，
解得．
由纸条折叠图得，所以．
【点睛】
最短距离和折叠是轴对称图形的两种重要的考查形式，要引起足够注意.
23．如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.www-2-1-cnjy-com
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【答案】∠ADB＝30°，BD＝16.
【解析】
【分析】
根据矩形的对角线互相平分且相等可得OD= ( http: / / www.21cnjy.com )OC，再求出E是OD的中点，然后判断出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠CDB=60°，再根据∠ADC=90°列式计算即可求出∠ADB；再根据矩形的轴对称性得到CD=2OF，然后进行计算即可得解．21*cnjy*com
【详解】
由矩形的性质可知OD=OC，
∵OE：BE=1：3，
∴E是OD的中点．
又∵CE⊥OD，
∴OC=CD，
∴OC=CD=OD，
即△OCD是等边三角形，故∠CDB=60°，
∴∠ADB=∠ADC-∠CDB=30°，
由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8，
所以，BD=2OD=2CD=16．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，矩形的轴对称性．【版权所有：21教育】
24．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，
求证：四边形BCDE是矩形．
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【答案】见解析
【详解】
分析：证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，AE=AD，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴BE=CD．
又∵DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形．
如图，连接BD,CE,
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在△ACE和△ABD中，
∵AC=AB，AE=AD，∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE=BD．
∴四边形BCED为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
25．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于
F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）矩形，理由见解析
【解析】解：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°。
∵点O是EF的中点，∴OE=OF。
又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）。
（2）四边形ABCD是矩形。理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD。
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形。
∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC。∴平行四边形ABCD是矩形。
（1）根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角
∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF。
（2）根据△BOE≌△DOF可得DO=BO ( http: / / www.21cnjy.com )，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。21世纪教育网版权所有
26．已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED, EF⊥ED．求证: AE平分∠BAD．
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【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：根据矩形的性质和E ( http: / / www.21cnjy.com )F⊥ED得出△FBE≌△ECD(AAS) 又∵矩形ABCD ∴AB="BE=CD" ∴∠BAE=∠BEA=∠EAD=45゜即AE平分∠BAD21cnjy.com
试题解析：∵ABCD为矩形 ∴∠B=∠C=90° ∵EF⊥ED ∴∠BEF+∠CED=90° ∵∠BEF+∠BFE=90°
∴∠CED=∠BFE 又∵EF=ED ∴△FBE≌△ECD ∴BE=CD ∵AB=CD ∴AB=BE
∴△ABE为等腰直角三角形 ∴∠BAE=45° ∴∠EAD=45° ∴AE平分∠BAD．
考点：(1)、矩形的性质；(2)、三角形全等的判定与性质.
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