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18.3 特殊的平行四边形：矩形
一、单选题
1．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E则AE的长是（ ）
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A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4
【答案】D
【详解】
解：连接EC，由矩形的性质可得AO=CO，
又因EO⊥AC，则由线段的垂直平分线的性质可得EC=AE，
设AE=x，则ED=AD-AE=5-x，在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2=DE2+DC2，
即x2=（5-x）2+32，解得x=3.4．
故选D．
2．一次数学课上，老师请同 ( http: / / www.21cnjy.com )学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为 ( )平方厘米．21世纪教育网版权所有
A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或20
【答案】C
【解析】
试题解析：如图四边形ABCD是矩形，
本题可分三种情况：
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如图(1):△AEF中，
②如图(2):△AGH中，
在中，
根据勾股定理有：
③如图(3):△AMN中，
在中，
根据勾股定理有：
故选C.
3．菱形具有而矩形不具有性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分且相等
【答案】C
【解析】
A. 菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误；
B. 菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误；
C. 菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直(互相垂直时是正方形)，故本选项正确；
D. 菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误．
故选C.
4．如图，在矩形中，，，平分，过点作于点，延长，交于点，下列结论中：①；②；③；④．正确的是（ ）
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A．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
求出OA=OC=OD=OB，求出∠ADB=3 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，求出∠ABO=60°，得出等边三角形AOB，求出AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，根据以上结论推出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
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∴∠BAD=90°，
∵AD= ，AB=1，
,
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，
∴②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，
∴③正确；
作HG⊥BC的延长线于点G，
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∴HG∥AB，∠BAF=∠FHG=45°，
∴∠CHG=∠FHG-∠H=45°-15°=30°，
∵AB=1，AD= ，
∴BD=AC=CH=2，
∴,
∵∠BAF=∠FHG=45°，∠AFB=∠HFG，
∴△ABF∽△HGF，
即
，
故①错误；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，△COD是等边三角形，
∵CE⊥BD，
，
即BE=3ED，∴④正确；
即正确的有②③④3个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，角平分线定义，定义三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的综合运用，难度偏大，对学生提出较高的要求．21教育网
5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD.
∴△OAB是等腰三角形.
∵∠AOB=60° ，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA.
∵AB=2，AB=OA，
∴OA=2.
∵OA=OC，OA=2，
∴AC=4.
故选B.
6．已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（ ）
A．B．C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【详解】
解：A选项中，根据对顶角相等，得与一定相等；
B、C项中无法确定与是否相等；
D选项中因为∠1=∠ACD，∠2＞∠ACD，所以∠2＞∠1．
故选：D
7．如图，矩形的周长为 ，两条对角线相交于点，过点 作的垂线 ，分别交于 点，连结，则 的周长为（ ）21·cn·jy·com
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A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【解析】
∵ABCD为矩形，∴AO=OC．∵EF⊥AC，且过O点，∴AE=EC．
∴△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10（cm）.
8．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，则图中全等的直角三角形共有（ ）www.21-cn-jy.com
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A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【答案】C
【解析】
E是CD中点，DE=EC，矩形ABCD，可得AD=BC，AB=CD，
∠DCB=∠DCF=90 ,AD∥BF，∠DAE=∠EFC，
图中全等的直角三角形有：∠DEA=∠CEF，∠DAE=∠EFC，DE=EC，
在△AED和△FEC中
则△AED≌△FEC(AAS)，
∴CF=AD=BC，
在△BDC和△FDC中
,△BDC≌△FDC(SAS)，
同理,△BDC ≌△DBA,即,△BDC≌△FDC≌△DBA，
△AED≌△FEC,△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对。
故选C.
9．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′ 等于（ ）
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A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】
解：根据题意得：∠DAE=∠EAD′，∠D=∠D′=90°．
∵∠BAD′=30°，
∴∠，
∴∠AED′=90°-30°=60°．
故选C．
10．矩形ABCD中的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )A．B．C．D按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，B．D两点对应的坐标分别是（2，0）.（0，0），且A．C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（1，﹣2） D．（，﹣）
【答案】B
【解析】
已知B，D两点的坐标分别是（2，0）、（0，0），∴OB=2，
连接AC，因为A、C两点关于x轴对称，所以，21·世纪*教育网
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所以四边形ABCD为正方形，
即可知A坐标为（1，1），
所以点C坐标为（1，-1）．
故选B． 2-1-c-n-j-y
11．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（ ）
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A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】C
【解析】
在矩形ABCD中，
∵EF∥AB,AB∥DC，
∴EF∥DC,则EP∥DH；故∠PED=∠DHP；
同理∠DPH=∠PDE;又PD=DP;所以△EPD≌△HDP;则S△EPD=S△HDP；
同理,S△GBP=S△FPB；
则(1)= = =
(2)= = =
(3) =+=+=
(4)=+=+ =
(5)=+=+=
故选C.
12．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝60°，则∠AED的大小是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．60° B．50° C．75° D．55°
【答案】A
【解析】
∵∠AED′是△AED沿AE折叠而得，
∴∠AED′=∠AED．
∵∠ ( http: / / www.21cnjy.com )DEC=180°，即∠AED′+∠AED+∠CED′=180°，
∴∠AED=(180° 60°)÷2=60°．故选A．21cnjy.com
点睛:本题考查翻折变换问题，图形的 ( http: / / www.21cnjy.com )折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．21*cnjy*com
13．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
【答案】B
【详解】
由图可以看出两条路的宽度为：1m，长度分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为：20m，30m，
所以，可以得出路的总面积为：20×1+30×1-1×1=49m2，
又知该矩形的面积为：20×30=600m2，
所以，耕地的面积为：600-49=551m2．2·1·c·n·j·y
故选B.
二、填空题
14．如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB＝，，求点A′的坐标为__．
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【答案】(，)
【解析】
试题分析：由已知条件可得：BC=1，OC=2．设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E，易得△BCF≌△OA′F，那么OA′=BC=1，设A′F=x，则OF=2-x．利用勾股定理可得A′F=，OF=，利用面积可得A′E=A′F×OA′÷OF=，利用勾股定理可得OE=，所以点A’的坐标为（ ，）．
试题解析：：∵OB= OB=,,
∴BC=1，OC=2
设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E
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∵纸片OABC沿OB折叠
∴OA=OA′，∠BAO=∠BA′O=90°
∵BC∥A′E
∴∠CBF=∠FA′E
∵∠AOE=∠FA′O
∴∠A′OE=∠CBF
∴△BCF≌△OA′F
∴OA′=BC=1，设A′F=x
∴OF=2-x∴x2+1=（2-x）2，
解得x=
∴A′F=，OF=
∵A′E=A′F×OA′÷OF=
∴OE=
∴点A’的坐标为（ ，）．
考点：1．坐标与图形性质；2．矩形的性质；3．翻折变换（折叠问题）．
15．在矩形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为__．
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【答案】（4，3）
【解析】
∵A（4，1），B（0，1），C（0，3），四边形ABCD是矩形，
∴点D的横坐标为4，纵坐标为3，
∴点D的坐标为（4，3）；【出处：21教育名师】
故答案为（4，3）.
点睛:本题重点考查了坐标与图形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )主要利用了矩形的对边平行且相等的性质，矩形的面积，解决本题的关键是能够根据矩形的性质来完成求点的坐标和矩形面积.21教育名师原创作品
16．如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中 ( http: / / www.21cnjy.com )点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于_________．
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【答案】126°
【解析】
展开如图：
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∵∠COD＝360°÷10＝36°，∠ODC＝36°÷2＝18°，
∴∠OCD＝180°﹣36°﹣18°＝126°．
故选C．
17．如图，点A、D、G ( http: / / www.21cnjy.com )、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a、b、c的大小是_________．21*cnjy*com
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【答案】a=b=c
【详解】
连接OA，OD，OM．因为四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABOC、DEOF、HMON均为长方形，长方形的对角线相等，所以OA=BC，OD=EF，OM=HN．所以BC=EF=HN，即a=b=c．【版权所有：21教育】
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18．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝______．
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【答案】75°
【详解】
∵∠EAF是∠DAE折叠而成，
∴∠EAF=∠DAE，∠ADC=∠AFE=90°，∠EAF= ，
在△AEF中∠AFE=90°，∠EAF=15°，
∠AEF=180° ∠AFE ∠EAF=180° 90° 15°=75°
故答案为：75°.
三、解答题
19．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积是多少？
【答案】
【解析】
分析：根据矩形的性质推出OA=OC，AB∥C ( http: / / www.21cnjy.com )D，证△AOE≌△COF，得出阴影部分的面积等于△DOC的面积，求出△DAO的面积和△DOC的面积相等，△DAB和△DCB的面积相等即可．
本题解析：∵四边形为矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，
在△EBO与△FDO中，∠EOB＝∠DOF，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO，△EBO≌△FDO，
∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB＝S△OBC＝S矩形ABCD．
20．如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝8，DF＝4，则菱形ABCD的边长为多少？
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【答案】8
【解析】
分析：连接OM，根据菱形的性质和勾股定理求解即可.
本题解析:如图，连接OM，
根据菱形的对角线互相垂直平分，得OD＝4，即圆的半径是8，
在直角△AOM中，OM＝8，AM＝4
根据勾股定理，得OA＝4，
在直角△AOD中，根据勾股定理得到：AD＝＝8
即菱形的边长是8．
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21．如图，矩形的长与宽分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足什么数量关系？
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【答案】
【解析】
分析：利用圆柱的底面周长和剩余长方形的长之间的等量关系列出方程计算．
本题解析：组成圆柱后，圆柱的底面周长＝剩余长方形的长．
，
整理得．
点睛：解决本题的关键是得到圆柱的底面周长和剩余长方形的长之间的等量关系．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是多少？
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【答案】15°
【解析】
分析：根据直角三角形30 ( http: / / www.21cnjy.com )°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAE=30°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABE的度数，再根据矩形的四个角都是直角列式计算即可得解．【来源：21·世纪·教育·网】
本题解析：∵AB＝2AD，AE＝AB．
∴AE＝2AD．
∴直角△ADE中∠AED＝30°．
∵AB∥CD
∴∠EAB＝∠AED＝30°．
又∵AE＝AB．
∴∠AEB＝∠ABE＝＝75°．
∴∠CBE＝15°．
点睛：本题考查了矩形的性质,直角三角形角所 ( http: / / www.21cnjy.com )对的直角边等于斜边的一半的性质,等腰三角形两底角相等的性质,根据边的关系判断出是解本题的关键,也是突破口.www-2-1-cnjy-com
23．矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，则对角线AC与边BC所成的角是多少度？
【答案】30°
【解析】分析：根据矩形的对角线的性质，结合等腰三角形的性质即可求解.
本题解析：根据矩形的对角线相等且互相平分得到：OB＝OC．
则∠ACB＝∠OBC．
∵∠AOB＝∠ACB+∠OBC
∴∠ACB＝30°．
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18.3 特殊的平行四边形：矩形
一、单选题
1．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E则AE的长是（ ）
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A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4
2．一次数学课上，老师请同学们在一 ( http: / / www.21cnjy.com )张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为 ( )平方厘米．21世纪教育网版权所有
A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或20
3．菱形具有而矩形不具有性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分且相等
4．如图，在矩形中，，，平分，过点作于点，延长，交于点，下列结论中：①；②；③；④．正确的是（ ）
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A．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④
5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
6．已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（ ）
A．B．C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．如图，矩形的周长为 ，两条对角线相交于点，过点 作的垂线 ，分别交于 点，连结，则 的周长为（ ）21cnjy.com
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A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm
8．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，则图中全等的直角三角形共有（ ）www.21-cn-jy.com
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A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
9．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′ 等于（ ）
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A．30° B．45° C．60° D．75°
10．矩形ABCD中的顶点A．B．C．D ( http: / / www.21cnjy.com )按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，B．D两点对应的坐标分别是（2，0）.（0，0），且A．C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（1，﹣2） D．（，﹣）
11．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（ ）
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A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
12．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝60°，则∠AED的大小是（ ）
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A．60° B．50° C．75° D．55°
13．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）21教育网
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A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
二、填空题
14．如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB＝，，求点A′的坐标为__．
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15．在矩形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为__．
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16．如图，一张矩形纸片沿AB对折 ( http: / / www.21cnjy.com )，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于_________．
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17．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a、b、c的大小是_________．21·cn·jy·com
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18．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝______．
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三、解答题
19．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积是多少？2·1·c·n·j·y
20．如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝8，DF＝4，则菱形ABCD的边长为多少？【来源：21·世纪·教育·网】
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21．如图，矩形的长与宽分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足什么数量关系？
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22．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是多少？
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23．矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，则对角线AC与边BC所成的角是多少度？
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