18.2.2 特殊的平行四边形 菱形(基础讲解)（含解析）

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18.4 特殊的平行四边形：菱形
【学习目标】
1. 理解菱形的概念.
2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．
【知识总结】
一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【注】：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 21·cn·jy·com
二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
【注】：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. 2·1·c·n·j·y
（2）菱形的面积有两种 ( http: / / www.21cnjy.com )计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.21·世纪*教育网
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
【注】：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.21教育网
【典型例题】
【类型】一、菱形的性质
例1、如图，在菱形中，分别是和上的点，且
（1）求证：
（2）若，求的度数．
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【思路点拨】
（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明△ADE≌△CDF；
（2）根据△ADE≌△CDF，得到∠ADE=∠CDF，然后根据四边形ABCD是菱形，∠ADC=150°进一步得到∠ADB=∠ADC=75°，从而∠EDB=∠ADB-∠ADE=∠ADB-∠CDF=25°．www-2-1-cnjy-com
【答案与解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AB=CB，AD=DC，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=150°，
∵∠ADB∠ADC=75°，2-1-c-n-j-y
∵∠CDF=50°，
∴∠EDB=∠ADB-∠ADE=∠ADB-∠CDF=25°．
【总结升华】
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质．
　
【训练】如图，E、F分别是矩形ABCD的边 BC、AD上的点，且BE DF．
（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；
（2）若四边形 AECF 是菱形，且 CE 10，AB 8，求线段BE的长．
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【分析】
（1）证明，利用一组对边平行且相等证明平行四边形；
（2）根据菱形的性质得到，再用勾股定理求出BE的长．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴，
在中，．
【总结升华】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．21世纪教育网版权所有
【类型】二、菱形的判定
例2、如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接．若，求证：四边形是菱形．21*cnjy*com
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【思路点拨】根据平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，可以得到AD=CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE=∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED=∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到DE=BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE=DE，即可得到四边形EBFD为菱形．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案与解析】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
( http: / / www.21cnjy.com )∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE∥BF，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠AED=∠CFB，
在△ADE和△CBF中，【出处：21教育名师】
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE=DE，
∴四边形EBFD为菱形．【版权所有：21教育】
【总结升华】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21教育名师原创作品
【训练】在RtABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
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（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC DF＝10．
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【总结升华】本题主要考查平行四边形与菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形与菱形的性质与判定是解题的关键．www.21-cn-jy.com
【类型】三、菱形中的图形变换
例3、 如图，在菱形中，，，为上一动点，为中点．
（1）求菱形的面积；
（2）求的最小值．
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【答案】（1）；（2）．
【思路点拨】
（1）连接，，根据四边形是菱形，，可得是等边三角形，根据为中点，得到，，根据勾股定理有，利用即可得出菱形的面积；21*cnjy*com
（2）连接，根据四边形为菱形，即有点与点关于对称，得，可知当点、、在一条线段上时，取值最小，即时， 根据（1）可解．
【答案与解析】
解：（1）如答图，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵为中点．
∴，．
在中，．
∴．
（2）如答图，连接，
∵四边形为菱形，
∴点与点关于对称．
∴．
∴．
当点、、在一条线段上时，取值最小．
即时，取得最小值．
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【点拨】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，菱形是轴对称图形的性质，知道点与点关于对称是解题的关键．21cnjy.com
【训练】如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求证：判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）若，，求四边形的面积．
（1）证明：四边形是菱形． 理由如下
由题意可得， ，
∴，
∵FG∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是菱形；
（2）解：∵在矩形中，，
∴，
∴，∴，
设，则，
∵，
∴，
解得， ，
∴，
∴四边形的面积是：．
【点拨】本题考查菱形的判定和性质定理，涉及到等角对边、勾股定理等知识点，比较综合．
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