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18.4 特殊的平行四边形：菱形
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）21cnjy.com
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】B
【解析】
试题解析：在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．
故选B．
2．用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】B
【解析】
由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故选B．
3．如图，下列条件之一能使平行四边形是菱形的为（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】A
【分析】
菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
【详解】
① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
D、 ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故选A．
【点睛】
此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
4．红丝带是关注艾滋病防治问题的 ( http: / / www.21cnjy.com )国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形
【答案】C
【解析】
试题解析：
( http: / / www.21cnjy.com / )
过点A作于E，于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
点睛：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
5．在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】B
【解析】
试题解析：用两个边长为的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．
故选B．
6．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【解析】试题解析：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．【出处：21教育名师】
故选D．
7．汶川地震后，某电视台法 ( http: / / www.21cnjy.com )制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是………………………（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．正方形 B．等腰梯形
C．菱形 D．矩形
【答案】C
【解析】略
8．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相垂直 B．对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
【答案】D
【解析】
菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，
故选D．
9．四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【解析】
试题解析：整理配方式子
由非负数的性质可知：
∴四边形一定是菱形，
故选C．
10．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．是正方形 B．是长方形 C．是菱形 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】
根据垂径定理和菱形的判定方法求解．
【详解】
解：∵弦AB垂直平分半径OC，
由垂径定理知，OC垂直平分AB，
∴OC与AB互相垂直平分，
∴四边形OACB是菱形．
故选C
11．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12m B．20m C．22m D．24m
【答案】B
【解析】
试题解析：连接AC，已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出 为正三角形，以的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是边长的，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为 21*cnjy*com
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
【答案】C
【解析】试题解析：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴A、B、D都不正确；
∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形是菱形，
∴C正确．
故选C．
13．下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（ ）
A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等
C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直
D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角
【答案】D
【解析】
试题分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，根据方法判定即可．21·cn·jy·com
A、错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；
B、可判定为矩形，而不一定是菱形；
C、可判定为等腰梯形，而不是菱形；
D、正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形，21·世纪*教育网
故选D．
考点：本题考查菱形的判定方法
点评：解答本题的关键是掌握好菱形的判定方法：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．21*cnjy*com
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．CF＞GB B．GB=CF C．CF＜GB D．无法确定
【答案】B
【解析】
试题解析：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中,△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中,∠CAD+∠ACD=，
在Rt△ABC中,∠CAB+∠B=，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH，EH=GB，
∴CF=GB.
故选B.
15．如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
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A．36° B．72°
C．120° D．44°
【答案】C
【解析】
试题解析：如图，连接AD，BD，
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∵AB=AC，AC=CD，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵DE垂直平分腰AB，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A的度数为
故选C.
二、填空题
16．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是___________（只填一个你认为正确的即可）．21教育网
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【答案】AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD
【解析】
试题解析：四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，
再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可添加：AC⊥BD或AB=BC,或BC=CD,或CD=DA,或AB=AD(答案不唯一)
17．如图，如果要使 ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】AB＝BC(答案不唯一)
【解析】试题解析：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=BC或AC⊥BD．2-1-c-n-j-y
18．如图，□ABCD中，AE ( http: / / www.21cnjy.com )、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_______（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】AC⊥EF或AF=CF等
【解析】
试题解析：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF.
证明：∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠AFB，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=FAD，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
同理ED=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC⊥EF.
故答案为AC⊥EF.
19．在四边形ABCD中，对角线A ( http: / / www.21cnjy.com )C，BD交于点O，从(1)AB＝CD；(2)AB∥CD；(3)OA＝OC；(4)OB＝OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如(1)(2)(5) 四边形ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________ 四边形ABCD是菱形；________ 四边形ABCD是菱形．【版权所有：21教育】
【答案】(1)(2)(6) (3)(4)(5)
【解析】
(1)(2)可以得到四边形ABCD是平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形，AC平分∠BAD，可以得到ABCD是菱形；(3)(4) 可以得到四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD,可以得到四边形ABCD是菱形.
20．若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
【答案】AB=BC或者AC⊥BD
【解析】
试题解析：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：或
故答案为：或
三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
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【答案】（1）证明见解析（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
【详解】
（1）证明：∵AB=AC
点D为BC的中点
∴∠BAE=∠CAE
又∵AB=AC，AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
∵AE=2AD，∴AD=DE
又点D为BC中点，∴BD=CD
∴四边形ABEC为平行四形
∵AB=AC
∴四边形ABEC为菱形
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）证明见解析；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由见解析.
【分析】
（1）由四边形ABCD是平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；www.21-cn-jy.com
（2）先证明BE与DF平行且相等， ( http: / / www.21cnjy.com )然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BEDF是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：
解：由（1）可得BE=DF，
又∵AB∥CD，
∴BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
连接EF，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF∥AE，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∵∠ADB是直角，
∴AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．
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【点睛】
1、平行四边形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、菱形的判定
23．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF//AB交AC于F
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（1）求证：AE=DF，
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）平行四边形AEDF为菱形；理由详见解析
【解析】
试题分析：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；
（2）先根据已知中的两组平 ( http: / / www.21cnjy.com )行线，可证四边形DEFA是 ，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证 AEDF实菱形．【来源：21cnj*y.co*m】
试题解析：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，
同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.菱形的判定．
24．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．21教育名师原创作品
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【答案】证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点，
∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD （SAS ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
【解析】略
25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
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（1）求证：△ABC≌△DCB
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．2·1·c·n·j·y
【答案】（1）证明见解析；（2）BN＝CN；证明见解析；
【详解】
（1）如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．4分
（2）据已知有BN＝CN．证明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形．·······6分
由（1）知，∠MBC=∠MCB，∴BM=CM，
∴四边形BMCN是菱形．∴BN=CN．（8分）
（1）由SSS可证△ABC≌△DCB；
（2）BN=CN，可先证明四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN21世纪教育网版权所有
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18.4 特殊的平行四边形：菱形
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）21世纪教育网版权所有
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
2．用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
3．如图，下列条件之一能使平行四边形是菱形的为（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
4．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志 ( http: / / www.21cnjy.com )，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）21cnjy.com
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A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形
5．在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
6．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
7．汶川地震后，某电视台法制频道在端 ( http: / / www.21cnjy.com )午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是………………………（ ）www.21-cn-jy.com
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A．正方形 B．等腰梯形
C．菱形 D．矩形
8．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相垂直 B．对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
9．四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
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A．是正方形 B．是长方形 C．是菱形 D．以上答案都不对
11．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）21教育网
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A．12m B．20m C．22m D．24m
12．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
13．下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（ ）
A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等
C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直
D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．CF＞GB B．GB=CF C．CF＜GB D．无法确定
15．如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
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A．36° B．72°
C．120° D．44°
二、填空题
16．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是___________（只填一个你认为正确的即可）．21·世纪*教育网
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17．如图，如果要使 ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________．
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18．如图，□ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_______（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）www-2-1-cnjy-com
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19．在四边形ABCD中，对角线AC，BD ( http: / / www.21cnjy.com )交于点O，从(1)AB＝CD；(2)AB∥CD；(3)OA＝OC；(4)OB＝OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如(1)(2)(5) 四边形ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________ 四边形ABCD是菱形；________ 四边形ABCD是菱形．2-1-c-n-j-y
20．若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
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22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．
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23．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF//AB交AC于F
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（1）求证：AE=DF，
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
24．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．21·cn·jy·com
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25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
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（1）求证：△ABC≌△DCB
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．【来源：21·世纪·教育·网】
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