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18.4 特殊的平行四边形：菱形
一、单选题
1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
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A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D．AC=BD
2．如图，菱形中,，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线BD的长是（ ）
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A． B． C．6 D．3
4．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（ ）
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A．14 B．16 C．18 D．20
5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若∠B=50°，则∠AFE的度数为（ ）
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A．50° B．60° C．65° D．70°
6．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）21世纪教育网版权所有
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A．6 B．8 C．14 D．28
7．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，，则菱形的面积为（ ）
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A． B． C． D．
8．如图，菱形的对角线相交于点，于点，连接，若，则的度数是( )
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A．25° B．22.5° C．30° D．15°
9．一个菱形的边长为，面积为，则该菱形的两条对角线的长度之和为( )
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，点在边上，.若，则边的长为( )
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A． B． C． D．
11．如图，菱形的对角线，交于点，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为( )21教育网
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A． B． C． D．
12．如图，在菱形ABCD中MN分别在AB、CD上且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若∠DAC=62°，则∠OBC的度数为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．28° B．52° C．62° D．72°
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为( )
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A． B． C． D．
14．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
15．在四边形中，，再补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是（ ）
A． B．
C． D．与互相平分
16．如图，已知△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( )2·1·c·n·j·y
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A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
17．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
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A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
18．如图，在中，对角线为的中点，经过点的直线交 于点，交于点，连接.现在添加一个适当的条件，使四边形是菱形，下列条件：①；②；③为的中点.其中正确的有( )【来源：21·世纪·教育·网】
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A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
19．下列说法中不正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
20．如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
21．如图，是菱形的对角线，分别是边的中点，连接，，则下列结论错误的是（ ）
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A． B． C．四边形是菱形 D．四边形是菱形
22．如图，等边三角形沿射线向右平移到的位置，连接，则下列结论：①；②互相平分；③四边形 是菱形；④.其中正确的个数是( )21·cn·jy·com
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A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
23．如图，在平行四边形中，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形(______________________).(请在横线上填上理由)
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24．如图，是一个菱形衣挂的平面示意 ( http: / / www.21cnjy.com )图，每个菱形的边长为16 cm，当锐角∠CAD＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是_______cm.(结果保留根号)www-2-1-cnjy-com
25．如图，菱形的对角线相交于点分别是边上的中点，如果，那么菱形的边长为_______.21cnjy.com
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26．已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=24，则菱形ABCD的面积为__________。
27．如图，在菱形中，，垂直为点，连接.若，，则菱形的边长为______.
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28．如图，在菱形中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则_______，_______.2-1-c-n-j-y
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29．如图，两个完全相同的菱形（四条边都相等 ( http: / / www.21cnjy.com )的四边形）的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2019厘米后停下，则这只蚂蚁停在点_____．
30．如图，A、B两点的坐标分别为，点是平面直角坐标系内一点.若以O、A、B、C四点为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为________.21*cnjy*com
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31．如图，矩形的对角线相交于O，∠AOB＝120°，，若则四边形的周长为______________．【来源：21cnj*y.co*m】
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三、解答题
32．如图，已知四边形是菱形，于点，于点.
(1)求证：.
(2)若，求的度数.
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33．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，.
(1)求证：.
(2)若，，当四边形是菱形时，求的长.
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34．如图，已知是菱形的对角线，延长至点，使得，连接.
(1)求证：.
(2)过点作，垂足为点.若，求的长.
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35．如图，，平分，交于点，平分，交于点，连接.求证：四边形是菱形.
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18.4 特殊的平行四边形：菱形
一、单选题
1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
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A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D．AC=BD
【答案】B
【详解】
要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA=BC，
故选B．
2．如图，菱形中,，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据菱形的性质得出AB∥CD，∠BAD=2∠1，求出∠BAD=30°，即可得出∠1=15°．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，∠D=15 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，∴AB∥CD，∠BAD=2∠1，∴∠BAD+∠D=180°，∴∠BAD=180°﹣150°=30°，∴∠1=15°．2-1-c-n-j-y
故选D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
3．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线BD的长是（ ）
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A． B． C．6 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AC，交BD于点O，先 ( http: / / www.21cnjy.com )判断出△ABC是等边三角形，再根据菱形的对角线互相垂直平分和等边三角形的性质求出AO、BO，然后根据菱形的对角线互相平分求出BD即可得解．21·世纪*教育网
【详解】
解：连接AC，交BD于点O，
∵菱形ABCD中∠ABC=60°，AB=3，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC
∴AO=×3=，
∴BO=，
∴BD=2BO=2×=，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选B
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
4．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【解析】
试题分析：利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3，
∴BC=AB==5，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18．故选C．
考点：菱形的性质，勾股定理.
5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若∠B=50°，则∠AFE的度数为（ ）
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A．50° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
由菱形的性质和等腰三角形的性质可得∠BCA=∠BAC=65°，由三角形中位线定理可得EF∥BC，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，且∠B=50°
∴∠BCA=∠BAC=65°
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC
∴∠AFE=∠BCA=65°
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形中位线的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
6．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）
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A．6 B．8 C．14 D．28
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意求出的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】
解：四边形是菱形，
，，
菱形的周长为24，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积三角形的面积，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值．
7．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，，则菱形的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据EF是△ABC的中位线，由 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形中位线定理求出BC的长.连接BD，然后根据菱形的对角线互相垂直的性质用勾股定理求出BD的长，最后用菱形的面积公式求解．
【详解】
解：连接BD
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∵E、F分别是AB，AC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=4，
是菱形
AC与BD互相垂直平分，
BD经过F点，
则S菱形ABCD=
故选：A.
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理BC、用勾股定理求出BF是关键．
8．如图，菱形的对角线相交于点，于点，连接，若，则的度数是( )
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A．25° B．22.5° C．30° D．15°
【答案】B
【分析】
求出∠HDO，再证明∠DHO=∠HDO即可解决问题；
【详解】
∵，
∴.
∵四边形是菱形，
∴°，
∵，
∴，
∴.
∵，∴，
∴.
故选B.
【点睛】
此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握菱形具有 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．判断OH为直角三角形斜边上的中线．
9．一个菱形的边长为，面积为，则该菱形的两条对角线的长度之和为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图，根据菱形的性质可得， ，，再根据菱形的面积为，可得①，由边长结合勾股定理可得②，由①②两式利用完全平方公式的变形可求得，进行求得，即可求得答案.21教育网
【详解】
如图所示：
四边形是菱形，
， ，，
面积为，
①
菱形的边长为，
②，
由①②两式可得：，
，
，
即该菱形的两条对角线的长度之和为，
故选C．
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【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的面积，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
10．如图，在菱形中，点在边上，.若，则边的长为( )
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由菱形的性质得出AD∥BC，BC=AB=AD，由直角三角形的性质得出AB=BC=BE，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE2+22=（BE）2，解得：BE=，即可得出结果．21cnjy.com
【详解】
∵四边形是菱形，
∴.
∵.∴.
∴，∴，
∴.
在中，由勾股定理得，
解得，∴.
故选B.
【点睛】
此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．21*cnjy*com
11．如图，菱形的对角线，交于点，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为( )【版权所有：21教育】
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由菱形性质得到AO，BO长度，然后在利用勾股定理解出即可
【详解】
由菱形的性质得
为直角三角形
故选C
【点睛】
本题主要考查直角三角形勾股定理以及菱形的性质，本题关键在于利用菱形性质求出直角三角形的两条边
12．如图，在菱形ABCD中MN分别在AB、CD上且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若∠DAC=62°，则∠OBC的度数为（ ）
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A．28° B．52° C．62° D．72°
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OB，根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】
解：连接OB，
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∵四边形ABCD为菱形
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=62°，
∴∠BCA=∠DAC=62°，
∴∠OBC=90°-62°=28°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为( )
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过点作轴于点，由直角三角形的性质求出长和长即可．
【详解】
解：过点作轴于点，
∵四边形为菱形，，
∴，OB⊥AC，，
∵，∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选D．
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【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
【答案】C
【解析】
【分析】
要使四边形ABCD是菱形，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )题中已知条件四边形ABCD的对角线互相平分可以运用方法“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”或“邻边相等的平行四边形是菱形”，添加AC⊥BD或AB=BC．
【详解】
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴要使四边形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，
故选：C．
【点睛】
考查了菱形的判定方法，关键是熟练 ( http: / / www.21cnjy.com )把握菱形的判定方法①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．【出处：21教育名师】
15．在四边形中，，再补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是（ ）
A． B．
C． D．与互相平分
【答案】D
【解析】
【分析】
由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．21*cnjy*com
【详解】
解：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定．此题比较简单，注意掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形定理的应用．
16．如图，已知△ABC，AB＝AC，将 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( )
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A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据翻折得出AB=BD，AC=CD，推出AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
∵ 将 △ABC 延底边 BC 翻折得到 △DBC ，
∴AB=BD ， AC=CD ，
∵AB=AC ，
∴AB=BD=CD=AC ，
∴ 四边形 ABDC 是菱形；
故选A.
【点睛】
本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
17．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
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A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【解析】
试题解析：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选B．
考点：菱形的判定；作图—复杂作图．
18．如图，在中，对角线为的中点，经过点的直线交 于点，交于点，连接.现在添加一个适当的条件，使四边形是菱形，下列条件：①；②；③为的中点.其中正确的有( )
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A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
由在 ABCD中，O为AC的中点 ( http: / / www.21cnjy.com )，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得答案．www-2-1-cnjy-com
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴.
∵为的中点，
∴.
在和中，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
①∵，
∴，
∴四边形是矩形，故错误.
②∵，
∴四边形是菱形，故正确
③∵，
∴.
∵为的中点，，
∴四边形是菱形，故正确.
故选C.
【点睛】
此题考查菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．证得四边形AFCE是平行四边形是解题的关键．
19．下列说法中不正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
【答案】C
【分析】
根据菱形的判定与性质即可得出结论.
【详解】
解：A．四边相等的四边形是菱形；正确； ( http: / / www.21cnjy.com )
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．
20．如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【详解】
解：∵四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
当时，
由得：，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
故选C．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
21．如图，是菱形的对角线，分别是边的中点，连接，，则下列结论错误的是（ ）
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A． B． C．四边形是菱形 D．四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据菱形的性质和三角形的中位线以及菱形的判定可得AC⊥BD且DO=BD,再根据三角形的中位线可得EF=BD,即可得出结论21·cn·jy·com
【详解】
∵是菱形的对角线，
∴AC⊥BD且DO=BD,
∵分别是边的中点，
∴EF=BD，EF//BD，
∴EF=DO, ∴选项A正确．
∵AC⊥BD，EF//BD
∴，∴选项B正确．
∵是菱形的对角线，
∴BC=CD，O为AC的中点
∵分别是边的中点，
∴EO//BC//AD，FO//CD//AB且EO=FO=BC=DC
∴四边形是菱形∴选项C正确．
∵EF//BD，FO//AB
∴.四边形是平行四边形
∴选项D错误．
故选D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和判定、三角形的中位线定理、平行四边形的判定以及平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．www.21-cn-jy.com
22．如图，等边三角形沿射线向右平移到的位置，连接，则下列结论：①；②互相平分；③四边形 是菱形；④.其中正确的个数是( )2·1·c·n·j·y
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
先求出∠ACD=60°，继而可判断 ( http: / / www.21cnjy.com )△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断③正确，根据③的结论，可判断④正确．
【详解】
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，故①正确：
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分，故②正确；.
由①可得AD=AC=CE=DE，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形是菱形，
∴.故④正确故选D.
【点睛】
此题考查平移的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是先判断出△ACD是等边三角形.
二、填空题
23．如图，在平行四边形中，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形(______________________).(请在横线上填上理由)
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【答案】有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【分析】
根据菱形的判定定理即可解答．
【详解】
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
【点睛】
此题考查菱形的判定定理，解题关键在于掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
24．如图，是一个菱形衣挂的平 ( http: / / www.21cnjy.com )面示意图，每个菱形的边长为16 cm，当锐角∠CAD＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是_______cm.(结果保留根号)
【答案】
【解析】
如图，连接CD、EF分别交AB于点M、N，
∵四边形ACOD是菱形，∠CAD=60°，
∴∠AMC=90°，∠CAM=30°，
∴CM=AC=8，
∴AM=，
∴AO=16，AB=48，
同理可得：BN=，
∴CE=MN=.
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25．如图，菱形的对角线相交于点分别是边上的中点，如果，那么菱形的边长为_______.
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【答案】
【分析】
由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=AC=4，OB=BD，证出EF是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出BD=2EF=12，得出OB=6，由勾股定理求出AB即可．
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，
∴.
∵分别是边上的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴
∴.
【点睛】
此题考查菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理得出AC，由勾股定理求出AB是解题的关键．
26．已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=24，则菱形ABCD的面积为__________。
【答案】120
【解析】
【分析】
根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【详解】
解：菱形ABCD的面积
【点睛】
此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
27．如图，在菱形中，，垂直为点，连接.若，，则菱形的边长为______.
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【答案】
【分析】
设DE=x，根据菱形的性质以及题意可得Rt△AED和Rt△CDE，利用勾股定理列出x的方程即可．
【详解】
∵在菱形中，垂足为点，
∴.
设，在中，.
∴，
∴.
在中，∵，，
∴，解得，
∴.
【点睛】
此题考查菱形的性质，解题的关键是设公共边DE为未知数来解直角三角形，此题难度不大．
28．如图，在菱形中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则_______，_______.
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【答案】1
【分析】
由菱形的性质可得AB=AD=CD=4，A ( http: / / www.21cnjy.com )B∥CD，由“ASA”可证△AEF≌△DEH，可得AF=HD=1，由三角形面积公式可求△CEF的面积．
【详解】
∵四边形是菱形，
∴.
∵点是的中点，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴.
∴.
故答案为：1，.
【点睛】
此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明AF=HD=1是解题的关键．
29．如图，两个完全相同的菱形（ ( http: / / www.21cnjy.com )四条边都相等的四边形）的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2019厘米后停下，则这只蚂蚁停在点_____．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，一只蚂蚁由A点出发沿菱形的边循环运动，即每8厘米一个循环，行走2019厘米后停下，根据此点计算可得．
【详解】
∵AB=BC=CD=DE=EF=FC=CG=GA=1cm，
∴蚂蚁按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，每走1个8cm，就回到A点，
∵2019÷8=252……3，
∴行走2019cm后停下，蚂蚁停在D点．
故答案为D．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
30．如图，A、B两点的坐标分别为，点是平面直角坐标系内一点.若以O、A、B、C四点为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为________.
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【答案】
【分析】
作BH⊥OA于H．首先证明OA=AB=5，再利用菱形的性质即可解决问题.
【详解】
如图，过点作于点.
∵，
∴.
在中，，
∴.
∵四边形是菱形.
∴，
∴.
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【点睛】
此题考查菱形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
31．如图，矩形的对角线相交于O，∠AOB＝120°，，若则四边形的周长为______________．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】16
【分析】
首先由CE∥BD，DE∥ ( http: / / www.21cnjy.com )AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝4，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
( http: / / www.21cnjy.com )∴BD＝AC，DO＝BO，AO＝CO，
∴OD＝OA，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOA＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO＝AO＝AD＝OC＝4，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质以及矩形的性质，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
三、解答题
32．如图，已知四边形是菱形，于点，于点.
(1)求证：.
(2)若，求的度数.
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【答案】(1)证明见解析；(2)∠EAF=70°.
【分析】
（1）首先根据菱形的性质得到 ( http: / / www.21cnjy.com )AB=AD，∠B=∠D，再利用AAS证明△ABE≌△ADF，于是得到AE=AF；
（2）首先根据垂直等知识求出∠BAE的度数，结合全等三角形的知识以及菱形邻角互补即可求出∠EAF的度数．21教育名师原创作品
【详解】
(1)证明∵，
∴.
∵四边形是菱形，
∴.
在和中，，
∴，
∴.
(2)∵于点，，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴,∴.
在四边形中，.
【点睛】
此题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的四边相等，邻角互补等知识．
33．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，.
(1)求证：.
(2)若，，当四边形是菱形时，求的长.
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【答案】(1)证明见解析；(2)AF=3.
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABC≌△D ( http: / / www.21cnjy.com )EF；
（2）由直角三角形的性质可得AC=6，∠ACB=60°，由菱形的性质可得CF=BC=BF=3，即可求解．
【详解】
(1)【证明】∵，∴ .
∵，∴，
即，且，
∴.
(2)∵，
∴.
∵四边形是菱形，∴，
∴，
∴.
【点睛】
此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，求BF的长是解题的关键．
34．如图，已知是菱形的对角线，延长至点，使得，连接.
(1)求证：.
(2)过点作，垂足为点.若，求的长.
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【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】
（1）连接BD，交AC于点O，由菱形的性质可得AO=CO，∠BOC=90°，由三角形的中位线定理可得OB=AE，BD∥AE，即可得结论；
（2）由勾股定理可求AC的长，由菱形的面积公式可求DF的长．21世纪教育网版权所有
【详解】
证明：(1)如图，连接，交于点.
∵四边形是菱形，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴，∴.
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(2)∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
【点睛】
此题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是解题的关键．
35．如图，，平分，交于点，平分，交于点，连接.求证：四边形是菱形.
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【答案】详见解析
【分析】
由角平分线和平行线的性质先证出，，从而有，得到四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是菱形．
【详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理．
∴，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了菱形，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键.
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