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18.5 特殊的平行四边形：正方形
一、单选题
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角相等 D．对角线互相垂直
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．
【详解】
正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键．
2．正方形面积为，则对角线的长为（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】B
【分析】
根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．
【详解】
设对角线长是x．则有
x2=36，
解得：x=6．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，注意 ( http: / / www.21cnjy.com )结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．21教育网
3．如图，在菱形中，，则以为边的正方形的周长为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12 B．8 C．16 D．20
【答案】C
【分析】
证明是等边三角形，得出，求正方形周长
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴正方形的周长为.
故选C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质以及正方形的周长公式，是较为常见的几何题目
4．我们知道：四边形具有不稳定性．如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（，1） B．（2，1）
C．（2，） D．（1，）
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件得到AD′=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD′=，于是得到结论．
【详解】
解：∵AD′=AD=2，
AO=AB=1，
OD′=，
∵C′D′=2，C′D′∥AB，
∴C′（2，），
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
5．下列说法正确的是( )
A．四个角都相等的四边形是正方形 B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【分析】
根据正方形判定定理进行判断，A、B、C不满足判定条件，故选D
【详解】
四个角都相等的四边形是矩形，故错误；
四条边都相等的四边形是菱形，故错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故正确.
故选D.
【点睛】
本题是对正方形判定定理的考核，掌握正方形的概念以及判定定理，方可进行判断
6．如图所示，正方形ABCD中，E， ( http: / / www.21cnjy.com )F是对角线AC上两点，连接BE，BF，DE，DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．∠1＝∠2 B．BE＝DF C．∠EDF＝60° D．AB＝AF
【答案】B
【分析】
由正方形的性质，可判定△CDF≌△CBF，则BF=FD=BE=ED，故四边形BEDF是菱形．
【详解】
由正方形的性质知，∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )D=∠ACB=45°，BC=CD，CF=CF，
∴△CDF≌△CBF，
∴BF=FD，
同理，BE=ED，
∴当BE=DF，有BF=FD=BE=ED，四边形BEDF是菱形．
故选B．【来源：21cnj*y.co*m】
【点睛】
考查了菱形的判定，解题关键是灵活运用全等三角形的判定和性质，及菱形的判定.
7．如图，在正方形中，点在上，，垂足分别为，，则的长为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】D
【分析】
作辅助线PB，求证，然后证明四边形是矩形，
【详解】
如图，连接.
在正方形中，.
∵，
∴，∴.
∵，
∴四边形是矩形，
∴.∴.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选D.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理（SAS）以及矩形对角线相等的性质，从而求出PD的长度
8．如图，四边形中，，，于，若线段，则四边形的面积是（ ）．
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题解析：过A点作CD的垂线,交CD的延长线于F点,如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则四边形AECF是矩形
在△ABE和△DAF中，
则
又∵四边形AECF是矩形.
∴四边形AECF为正方形，
而四边形ABCD的面积是6，
故选D.
二、填空题
9．如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是__________．
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【答案】
【分析】
先求出的度数，即可求出.
【详解】
解：由题意可得，，
故答案为
【点睛】
本题考查了等腰与等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.www.21-cn-jy.com
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，以斜边为一边向右上方作正方形ABDE，连接CD，则CD的长为_____．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
过D作DG⊥CB交CB的延长线于 ( http: / / www.21cnjy.com )G，根据正方形的性质得到AB＝BD，∠ABD＝90°，根据余角的性质得到∠CAB＝∠DBG，根据全等三角形的性质得到BG＝AC＝2，DG＝BC＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
如图所示：过D作DG⊥CB交CB的延长线于G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°，
∵∠ACB＝∠DGB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝∠ABC+∠DBG＝90°，
∴∠CAB＝∠DBG，
在△ABC和△BDG中
，
∴△ABC≌△BDG（AAS），
∴BG＝AC＝2，DG＝BC＝1，
∴CD＝＝＝.
故答案为：．
【点睛】
考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
11．如图，在中，，点分别是边的中点，延长到点，使，得四边形.若使四边形是正方形，则应在中再添加一个条件为__________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】答案不唯一，如∠ACB=90° 或∠BAC=45°或∠B=45°
【分析】
先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可，再利用∠ACB=90°得出答案即可．
【详解】
∠ACB=90°时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形，
点D. E分别是边AB、AC的中点，
∴DE//BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°，
∴矩形ADCF是正方形．
故答案为∠ACB=90°．
【点睛】
此题考查正方形的判定，解题关键在于掌握判定法则
12．如图，在正方形的右侧作等边三角形，分别连接 交于点，连接，则________.
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【答案】45°
【分析】
证明，求出和的度数，求出的度数
【详解】
∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，
∴，，
∴.
∵，
∴，∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考察了全等三角形的判定定理（SAS），利用全等的性质、三角形内角和为 ，从而求出和的度数是解题的关键。【版权所有：21教育】
13．如图，菱形的面积为，正方形的面积为，则菱形的边长为_______．
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【答案】；
【分析】
根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【详解】
因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以，
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以，
所以菱形的边长=．
故答案为：13．
【点睛】
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．
三、解答题
14．如图，点是边长为4的正方形对角线上一点(不同A、C重合)，点在线段上，且.
(1)若，求的长；
(2)求证：.
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【答案】(1)CE=；(2)证明见解析.
【分析】
（1）过点作，得出、BF的长度以及，
（2）证明，得出，得出，从而证明
【详解】
(1)【解】过点作，分别交于点，如图所示.
∵四边形是正方形，
∴四边形和四边形都是矩形，
和都是等腰直角三角形
又∵，
∴，
，
又∵.∴，
∴.
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(2)【证明】由(1)得在和中，
∴，
∴，∴.
∴，
∴，∴.
【点睛】
本题考察了辅助线的应用、勾股定理的运用、全等三角形的证明以及垂直的概念，运用好辅助线是解题的关键
15．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．
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【答案】（1）证明见解析；（2）AB⊥BC时，四边形AEOF正方形．
【分析】
（1）根据中点的定义及菱形的性质可得BE=DF，∠B=∠D，BC=CD，利用SAS即可证明△BCE≌△DCF；
（2）由中点的定义可得OE为△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的中位线，根据三角形中位线的性质可得OE//BC，根据正方形的性质可得∠AEO=90°，根据平行线的性质可得∠ABC=∠AEO=90°，即可得AB⊥BC，可得答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴BE=AB，DF=AD，
∴BE=DF，
在△BCE和△DCF中，，
∴△BCE≌△DCF．
（2）AB⊥BC，理由如下：
∵四边形AEOF是正方形，
∴∠AEO=90°，
∵点E、O分别是边AB、AC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE//BC，
∴∠B=∠AEO=90°，
∴AB⊥BC．
【点睛】
本题考查菱形的性质、全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定及正方形的性质，菱形的四条边都相等，对角相等；正方形的四个角都是直角；熟练掌握菱形和正方形的性质是解题关键．21cnjy.com
16．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．21·世纪*教育网
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）20cm（3）当AF=5 cm时,四边形BFEG是正方形.
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质可得出AB⊥BC、 ( http: / / www.21cnjy.com )∠B=90°，根据EF⊥AB、EG⊥BC利用“垂直于同一条直线的两直线互相平行”，即可得出EF∥GB、EG∥BF，再结合∠B=90°，即可证出四边形BFEG是矩形；
（2）由正方形的周长可求出正方形的边长，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据正方形的性质可得出△AEF为等腰直角三角形，进而可得出AF=EF，再根据矩形的周长公式即可求出结论；2·1·c·n·j·y
（3）由正方形的判定可知：若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，结合AF=EF、AB=10cm，即可得出结论．2-1-c-n-j-y
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC,∠B=90°.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴EF∥GB,EG∥BF.
∵∠B=90°，
∴四边形BFEG是矩形；
(2)∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB==10cm.
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=EF，
∴四边形EFBG的周长C=2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm.
(3)若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，
∵AF=EF，AB=10cm，
∴当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质.熟练应用正方形的性质进行推理、求值是解题的关键.
17．如图1，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为O．
（1）求证：CE=FG；
（2）如图2，连接OB，若AD=3DE，∠OBC=2∠DCE．
求的值；
若AD=3，则OE的长为_________（直接写出结果）．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
（1）过点B作BM∥FG交CD于M ,构造三角形，证△BCM≌△CDE，可得; CE=BM=FG;(2) 过点B作BM∥FG交CD于M , 连接MO，由（1）证BC=BO，再证MC=MO=MG=ED，又AD＝3DE，所以；（3）由(1)(2)可得DE=OM=1,BO=AD=3,21世纪教育网版权所有
又BM=CE=，再根据面积公式得OC=2×.
【详解】
（1）过点B作BM∥FG交CD于M ,
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易证四边形FBMG为平行四边形
∴FG=BM，
由BC=CD;∠BCM=∠CDE;∠MBC=∠ECD
可证△BCM≌△CDE，
∴CE=BM=FG；
（2）过点B作BM∥FG交CD于M ,
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由（1）知△BCM≌△CDE，又∠OBC＝2∠DCE ,
MC=ED，∠MBC＝∠DCE＝∠MBO，
由BM∥FG得MB⊥CE，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴BC=BO，连接MO，
∴BM垂直平分OC，
∴MC=MO，
又∵∠GOM=∠BMO=∠BMC=∠OGM
∴MC=MO=MG=ED，
又AD＝3DE，
∴；
（3）∵AD=3，
∴由(1)(2)可得
DE=OM=1,BO=AD=3,∴BM=CE= ,
OC=2× =2×= ,
∴OE=CE-CO＝.
【点睛】
本题考核知识点：正方形. 此题是正方形综 ( http: / / www.21cnjy.com )合题，难度较大，解题的重点是构造三角形，通过全等得到线段相等，利用勾股定理及三角形面积公式可求得线段的长度.21*cnjy*com
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18.5 特殊的平行四边形：正方形
一、单选题
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角相等 D．对角线互相垂直
2．正方形面积为，则对角线的长为（ ）
A．6 B． C．9 D．
3．如图，在菱形中，，则以为边的正方形的周长为( )
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A．12 B．8 C．16 D．20
4．我们知道：四边形具有不稳定性．如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）21世纪教育网版权所有
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A．（，1） B．（2，1）
C．（2，） D．（1，）
5．下列说法正确的是( )
A．四个角都相等的四边形是正方形 B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
6．如图所示，正方形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，E，F是对角线AC上两点，连接BE，BF，DE，DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（ ）21教育网
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A．∠1＝∠2 B．BE＝DF C．∠EDF＝60° D．AB＝AF
7．如图，在正方形中，点在上，，垂足分别为，，则的长为( )
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A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
8．如图，四边形中，，，于，若线段，则四边形的面积是（ ）．
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A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是__________．
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10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，以斜边为一边向右上方作正方形ABDE，连接CD，则CD的长为_____．21·cn·jy·com
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11．如图，在中，，点分别是边的中点，延长到点，使，得四边形.若使四边形是正方形，则应在中再添加一个条件为__________.
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12．如图，在正方形的右侧作等边三角形，分别连接 交于点，连接，则________.
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13．如图，菱形的面积为，正方形的面积为，则菱形的边长为_______．
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三、解答题
14．如图，点是边长为4的正方形对角线上一点(不同A、C重合)，点在线段上，且.
(1)若，求的长；
(2)求证：.
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15．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．21cnjy.com
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．
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16．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．www.21-cn-jy.com
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
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17．如图1，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为O．
（1）求证：CE=FG；
（2）如图2，连接OB，若AD=3DE，∠OBC=2∠DCE．
求的值；
若AD=3，则OE的长为_________（直接写出结果）．
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