第二章平面向量及其应用 单元检测卷 （word含解析）

第二章平面向量及其应用单元检测卷
一、单选题
1．已知向量 ，，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是非零向量，若，，且，则实数的值为（ ）
A．3 B．
C．12 D．
3．在中，角所对的边分别为.若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知单位向量，满足，则（ ）
A．2 B． C． D．3
7．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作砖石，”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，，根据这些信息可得到（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
10．在四边形ABCD中，，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
11．已知等边△的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，△，△是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，，则（ ）
A． B． C． D．大小不能确
二、填空题
13．已知平面向量，满足，，，则______.
14．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．
15．等边△ABC中，AB＝6，，，则______.
16．平面向量，，满足，且，，则下列说法正确的是______.
① ②在方向上的投影的数量是1
③的最大值是 ④若向量满足，则的最小值是
三、解答题
17．已知向量, .
(1)求；
(2)当时，求y的值.
18．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
19．已知坐标平面内，，，，．
(1)当，，三点共线时，求的值；
(2)当取最小值时，求的坐标，并求的值．
20．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的面积为，，求的面积.
21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
(1)求a的长度；
(2)求周长的最大值．
22．已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量为.
(1)若与垂直，求的大小；
(2)若与的夹角为，求向量与夹角的余弦值.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用平面向量的坐标运算可得结果.
【详解】
由已知可得.
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
根据共线向量的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
因为，，，
所以，
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
利用正弦定理进行求解.
【详解】
由正弦定理得：，即，解得：.
故选：A
4．D
【解析】
【分析】
由向量的加法三角形法则和向量加法三角形法则可得.
【详解】
；；
；.
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
利用向量减法和数量积的坐标运算可表示出，解方程即可.
【详解】
，，，解得：.
故选：B.
6．C
【解析】
【分析】
根据模的运算先求出，进而解出.
【详解】
由题意，，由，所以.
故选：C.
7．A
【解析】
【分析】
首先在中利用余弦定理求得的值，然后结合诱导公式即可确定的值．
【详解】
在中，由余弦定理可得：
，
．
故选：A．
8．B
【解析】
【分析】
根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果.
【详解】
故选B
9．D
【解析】
【分析】
依据向量投影的定义解之即可.
【详解】
向量与的夹角为，
在方向上的投影为
故选：D
10．D
【解析】
【分析】
根据向量的线性关系及向量和差的模相等易得ABCD为矩形，进而求的大小，再应用数形结合判断与的夹角大小.
【详解】
因为，所以四边形ABCD为平行四边形.
因为，所以四边形ABCD的对角线相等，
综上，四边形ABCD为矩形.
因为，所以，得，
故与的夹角为.
故选：D
11．C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，把向量用向量和表示，结合可求得的值.
【详解】
由已知条件,图形如下图所示：
,
解得.
故选：.
12．B
【解析】
【分析】
构建直角坐标系，根据题意设，，，，，，再应用向量数量积的坐标运算求m、n，即可比较大小.
【详解】
构建如下图示的直角坐标系，令，，，，
所以，可设，，且，，
则，，
所以.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：构建直角坐标系，设点坐标，应用向量数量积的坐标运算求m、n的值或范围，比较它们的大小.
13．##0.5
【解析】
【分析】
根据向量的数量积公式即可求出.
【详解】
由题可得，
故.
故答案为：.
14．24:25
【解析】
【分析】
设三角形三边的边长分别为，分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解.
【详解】
解：由题意，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成，其中，
设三角形三边的边长分别为，则大正方形的边长为5 ，所以大正方形的面积，
如图，将延长到，则，所以，又到的距离即为到的距离，
所以三角形的面积等于三角形的面积，即，
所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积，
所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为.
故答案为：24:25.
15．22
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用坐标计算所求向量的数量积.
【详解】
如图，以BC所在直为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
AB＝6，，，
, ,
,
.
故答案为：22
16．①③④
【解析】
【分析】
根据给定条件求出，再结合平面向量的模、数量积运算逐一分析每个命题，推理计算作答.
【详解】
因，，，则，即，
，①正确；
在方向上的投影的数量是，②不正确；
由得，即，
当且仅当与同向共线时取“=”，
整理得：，解得，的最大值是，③正确；
作，如图，，即，
令，由得，在射线OA上取点E，使，过E作直线，
则有点M在直线l上，取OB中点C，过C作于点D，连接，
，当且仅当点M与点D重合时取“=”，
因此，的最小值是，④正确，
所以正确说法的序号是①③④.
故答案为：①③④
17．(1)5；
(2).
【解析】
【分析】
（1）若，则向量模长坐标公式为；（2）利用两向量垂直满足的条件列出方程，求解y的值
(1)
(2)
若，则，解得：
18．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理即求；
（2）利用正弦定理即得.
(1)
在中，由余弦定理可知：
,
(2)
在中，由正弦定理可知：，
即：
.
19．(1)；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线坐标表示即求；
（2）利用数量积的坐标表示可得，进而可得，再利用夹角公式即求.
(1)
∵，，，，
∴，，
∴，
当，，三点共线时，有，
，
解得．
(2)
∵，，
∴
，
∴当时，取得最小值，此时，
∴，，，，
∴．
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理转化为边的关系，再由余弦定理即可求解；
（2）由外接圆面积可得半径，由正弦定理可得c，代入三角形面积公式求解即可.
(1)
因为，
由正弦定理，得，整理得，
由余弦定理，得.
因为，所以.
(2)
设外接圆的半径为，则，所以.
由正弦定理，得，所以.
因为，，所以是等边三角形.
所以的面积为.
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦函数两角和公式与三角函数诱导公式将已知条件化解为，再利用正弦定理将其转化即可求解.
（2）通过向量数量积公式与余弦定理可得，再利用均值不等式即可求得的最大值，进而可求周长的最大值.
(1)
由，得，
由正弦定理得，得；
(2)
由，得，
由余弦定理得，得，
由，（当且仅当时取等号），
所以三角形ABC周长的最大值为．
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）易知，得到，再根据与垂直求解；
（2）由题意得，即，再利用平面向量的夹角求解.
(1)
解：由题意得，
即，则.
因为与垂直，
所以，化简为，
即，则.
(2)
由题意得，
则，
，
，
设向量与的夹角为，
所以.
答案第1页，共2页