高中数学北师大版（2019）必修 第二册 第一章三角函数单元测试卷 (word含解析）

第一章三角函数单元测试卷
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．如图，角以为始边，它的终边与圆相交于点，点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
4．为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
5．已知均为锐角，；.则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
6．函数，存在常数a，使得为偶函数，则可能为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，的图象如图，若，，且，则（　　）
A．0 B．1 C． D．
二、多选题
9．已知，则的值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
10．已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．函数的图象为，则以下结论中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称
C．函数在区间内是增函数 D．是偶函数
12．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对，，且，则的可能取值为（ ）．
A． B． C． D．
三、填空题
13．写出一个定义域为，周期为的偶函数________．
14．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为 ，则＋＝______.
15．已知函数的部分图象如图所示，则在上的最大值为______.
16．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得，则=_______．
四、解答题
17．已知函数．
(1)求函数的单调区间及取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性．
18．如图为一个公路隧道，隧道口截面为正弦曲线，已知隧道跨径为8.4m，最高点离地面4.5m．
(1)若设正弦曲线的左端为原点，试求出该正弦曲线的函数解析式；
(2)如果路面宽度为4.2m，试求出公路边缘距隧道顶端的高度．
19．已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 5 0
(1)请将上表数据补充完整并直接写出函数的解析式；
(2)若，求函数的图象的对称中心的坐标及对称轴的方程；
(3)若，求函数的单调区间．
21．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求方程在区间内的所有实数根之和.
22．（2021·全国·高一专题练习）已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．
(1)求函数的解析式；
(2)若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式可求得结果.
【详解】
.
故选：D.
2．A
【解析】
【分析】
由三角函数定义求解即可.
【详解】
根据三角函数定义，.
故选：A
3．A
【解析】
【分析】
由题可得，根据正弦函数的性质即得.
【详解】
∵函数，
∴函数为最小正周期为的奇函数.
故选：A.
4．D
【解析】
【分析】
将函数表示成函数的形式即可判断作答.
【详解】
因，
所以函数的图象，可由函数的图象向右平行移动个单位长度.
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
由均为锐角，可以通过举例，当时，不成立，然后再判断时，是否成立，然后根据充分条件，和必要条件的概念进行判断．
【详解】
解：若，则，而，
故不是的充分条件；
因为均为锐角，若，则，
由正弦函数在单调递增，所以，是的必要条件；
故是的必要非充分条件.
故选：B．
6．B
【解析】
【分析】
求出，得和都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解．
【详解】
是偶函数，
不可能是奇函数，因此和都是偶函数，
为偶函数，则，
为偶函数，则，，
只有时，，
故选：B．
7．A
【解析】
【分析】
首先根据，求得，再根据，确定函数的解析式，并求得平移后的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值.
【详解】
因为，所以，即，，
又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位后，
所得函数，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以，，即，，
当时，，所以的最小值为.
故选:A.
8．A
【解析】
【分析】
根据图象求得函数解析式，再由，，且，
得到的图象关于对称求解.
【详解】
由图象知：，
则，，
所以，
因为在函数图象上，
所以，
则，
解得，
因为，则，
所以，
因为，，且，
所以的图象关于对称，
所以，
故选：A
9．ACD
【解析】
【分析】
根据所在的象限分类讨论即可.
【详解】
显然的终边不在坐标轴上，
当是第一象限角时，，
当是第二象限角时，，
当是第三象限角时，，
当是第四象限角时，，
故选：ACD
10．ABC
【解析】
【分析】
由所在的象限求出的范围，再求出的范围，最后对分类讨论，即可判断；
【详解】
解：因为角是第一象限角，所以，，所以，， 当，时，，，位于第一象限，当，时，，，位于第二象限，当，时，，，位于第三象限，综上可得位于第一、二、三象限；
故选：ABC
11．BC
【解析】
【分析】
利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D选项.
【详解】
对于A选项，因为，故图象不关于直线对称，A错；
对于B选项，因为，故图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，
所以，函数在区间内是增函数，C对；
对于D选项，为奇函数，D错.
故选：BC.
12．AC
【解析】
【分析】
由图像平移可得，分析，，可得为偶函数，结合范围可得，代入，分析即得解
【详解】
将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，故函数
对，，即，
故为偶函数，所以，，
又，所以，
故
，所以，，
，所以，，
可得和均为的奇数倍，故的可能取值为，．
故选：AC
13．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
结合定义域与周期与奇偶性，写出符合要求的三角函数即可.
【详解】
满足定义域为R，最小正周期，且为偶函数，符合要求.
故答案为：
14．##0.5
【解析】
【分析】
根据函数的周期性和奇偶性及分段函数的性质求函数值.
【详解】
解：由题意得：
函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数解析式，再根据所在区间求出最大值.
【详解】
，解得，由，所以，.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以，所以的最大值为.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
根据三角函数图象的平移变换求得g(x)，然后考察最值点可得.
【详解】
由题知
所以
所以
则Z， Z，
即Z， Z，
所以
当时，.
故答案为：
17．(1)单调递增区间为，单调递减区间为，函数取最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是.
(2)函数为奇函数，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）先用诱导公式化简，再用整体法求解函数单调区间及函数取最值时自变量的取值范围；（2）利用函数奇偶性定义进行判断.
(1)
，令，，即，，令，，即，，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
令，，即，时，函数取得最大值；令，，即，时，函数取得最小值，所以函数取得最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是
(2)
函数定义域为R，且，故函数为奇函数.
18．(1)
(2)m.
【解析】
【分析】
（1）由题可设，结合条件即求；
（2）将代入函数解析式即得.
(1)
根据题意，设该正弦曲线的解析式为，
则，，，
∴，
故该正弦曲线的解析式为.
(2)
根据题意，将代入函数解析式得：
，
即公路边缘距隧道顶端的高度为m.
19．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的值；
（2）利用诱导公式以及弦化切可求得结果.
(1)
解：因为，且，则为第三象限角，故，
因此，.
(2)
解：原式.
20．(1)表格见解析，
(2)对称中心的坐标为，；对称轴方程为，
(3)单调增区间为，，单调减区间为，
【解析】
【分析】
（1）由表格数据得到，，即可求出与，即可得到函数解析，再完成表格即可；
（2）首先求出的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（3）首先求出的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
(1)
解：根据表中已知数据可得，再由，解得，所以．数据补全如下表：
0 π 2π
0 5 0 0
(2)
解：因为．
由，，解得，，
即图象的对称中心为，．
由，，解得，，
即图象的对称轴方程为，．
(3)
解：，由，，解得，．
由，，解得，．
所以，函数的单调增区间为，，单调减区间为，．
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由图像得，并求解出周期为，从而得，再代入最大值，利用整体法，从而求解得，可得解析式为；（2）作出函数与的图像，可得两个函数在有四个交点，从而得有四个实数根，再利用三角函数的对称性计算得实数根之和.
(1)
由图可知，，∴
∴，又点在的图象上
∴，∴，
，，∵，∴，∴.
(2)
由图得在上的图象与直线有4个交点，
则方程在上有4个实数根，
设这4个实数根分别为，，，，且，由，得
所以可知，关于直线对称，∴
，关于直线对称，∴，∴
【点睛】
求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令或，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
22．(1)；
(2)或．
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式；
（2）设，将方程转化为函数与公共点问题.
(1)
角的终边经过点，,
,
,
由时，的最小值为，
得，即，
,
.
(2)
∵，
，
，
设，
问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根．
，，
作出曲线，与直线的图象．
时，；时，；时，．
当或时，直线与曲线有且只有一个公共点．
的取值范围是：或．
答案第1页，共2页