第五章复数单元检测卷 （word含解析）

第五章复数单元检测卷
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
5．设复数，则复数z的共轭复数等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为（ ）
A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3
7．若复数（，为虚数单位）满足，其中为的共扼复数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．对于非零实数a，b，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a，b，下列式子仍然恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．复数，则（ ）
A．在复平面内对应的点的坐标为
B．在复平面内对应的点的坐标为
C．
D．
10．已知复数，则正确的是（　　）
A．z的实部为﹣1 B．z在复平面内对应的点位于第四象限
C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为
11．已知复数（i为虚数单位），复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A．复数在复平面内对应的点位于第二象限
B．
C．
D．的最大值为
12．欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（ ）
A．对任意的，
B．在复平面内对应的点在第二象限
C．的实部为
D．与互为共轭复数
三、填空题
13．是虚数单位，复数_________．
14．设i是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为______．
15．已知复数z的虚部为1，且，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为___________.
16．已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量=(a，b)，对应复数z=a+ib，向量x逆时针旋转一个角度，得到复数，于是对应向量.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC的两个顶点坐标是A(1，2)，B(3，4)，则C的坐标是___________.(任写一个即可)
四、解答题
17．已知复数，，求：
（1）；
（2）.
18．已知，复数，i是虚数单位．
（1）若复数z为纯虚数，求m的值；
（2）若复数z在复平面内对应点A位于第二象限，求m的取值范围．
19．已知复数，其中，
（1）若是虚数时，求的取值范围；
（2）若复数表示的点在第四象限，求的取值范围．
20．已知复数（为虚数单位）．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
21．已知复数是一元二次方程的根．
（1）求；
（2）若复数虚部大于零，复数的虚部为1，是纯虚数，求．
22．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
(1)求的值；
(2)记复数，求复数的模．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为，故，故
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
3．B
【解析】
【分析】
由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
，
.
故选：B.
4．C
【解析】
【分析】
首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】
，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
5．A
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则及共轭复数的概念即得.
【详解】
因为，
所以.
故选：A．
6．B
【解析】
【分析】
直接根据根与系数的关系求解.
【详解】
根据题意，方程的另一个根为.
故选：B.
7．D
【解析】
【分析】
先求出，得到，即可求出的值.
【详解】
因为，所以，所以，解得：，
所以.
.
故选：D
8．A
【解析】
【分析】
对于选项A：结合复数的乘法和模长公式即可判断；选项B：计算，然后根据复数运算结果举出反例即可；选项CD：复数的平方可能为虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数与实数既不能比较大小也不相等.
【详解】
不妨令，，
选项A：，
从而，故A正确；
选项B：，
当，时，，故B错误；
因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故CD错误.
故选：A
9．AD
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为，即可得答案；
【详解】
在复平面内对应的点的坐标为，．
故选：AD.
10．BD
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.
【详解】
因为，
所以z的实部为1，虚部为-1，
在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，
共轭复数为，
故AC错误，BD正确.
故选：BD
11．ABD
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.
【详解】
对于A选项，复数在复平面内对应的点的坐标为，该点位于第二象限，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，由题意可得，
因为，则，C错；
对于D选项，，则，
所以，，D对.
故选：ABD.
12．ABD
【解析】
【分析】
利用复数的概念、几何意义、复数的模的概念及共轭复数的含义即得.
【详解】
对于A选项，，A正确；
对于B选项，，而，，故在复平面内对应的点在第二象限，B正确；
对于C选项，，实部为，C错误；
对于D选项，，又，故与互为共轭复数，D正确.
故选：ABD.
13．
【解析】
【分析】
将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，属于基础题.
14．-3
【解析】
【分析】
根据给定等式结合复数的除法运算直接计算作答.
【详解】
因，则，于是得，
所以复数的虚部为-3.
故答案为：-3
15．
【解析】
【分析】
由题意设对应点为且，结合已知可得，即知z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离.
【详解】
由题意，设对应点为，则，
∴，则.
∴z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为.
故答案为：.
16．(答案不唯一)
【解析】
【分析】
首先设出的坐标，然后分别写出，，利用向量的旋转公式即可求解.
【详解】
不妨设的坐标为，且是逆时针旋转得到，
因为A(1，2)，B(3，4)，所以，，
从而对应的复数为，
对应的复数为，
所以，解得，，
故C的坐标是.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据复数的除法先化简，再根据乘法运算即可得解；
（2）根据复数的除法运算求解即可.
【详解】
.
（1）.
（2）.
18．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）按照复数的相关概念列方程组求解；（2）利用复数的几何意义列不等式组求解.
【详解】
解：（1）若复数z为纯虚数，则，解得.
（2）若复数z在复平面内对应点A位于第二象限，则，解得：.
19．（1）且；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据是虚数得出虚部不为0可求；
（2）根据复数表示的点在第四象限列出不等式即可求出.
【详解】
解：（1）∵是虚数，∴，
解得：且；
（2）复数表示的点在第四象限，
∴，即，得：，
所以，的取值范围为.
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据复数是纯虚数，列出方程，从而可得答案；
（2）根据，则复数是实数，则，从而可求得答案.
【详解】
解：（1）因为复数是纯虚数，
所以，解得，
所以；
（2）因为，
所以，解得.
21．（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将，配方成，从而可得答案；
（2）根据复数虚部大于零，结合（1）看求得，设，
根据是纯虚数，求得实数a，进而可求得．
【详解】
解：（1）由，则，
解得，
所以或；
（2）因为复数虚部大于零，所以，
又复数的虚部为1，可设，
则，
因为是纯虚数，
所以，解得,
所以，
所以.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题知，即，再根据复数相等求解即可；
（2）由（1）得，故，再求模即可.
(1)
解：知是关于的方程的一个根，
所以，即，
所以，解得.
所以
(2)
解：由（1）得复数，
所以
所以复数的模为
答案第1页，共2页