第四章三角恒等变换 单元检测卷 （word含解析）

第四章三角恒等变换单元检测卷
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C．3 D．5
3．已知角的终边经过点，则( )
A． B．
C． D．
4．函数的最小正周期为，则的值为（ ）．
A．2 B．4 C．1 D．
5．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为θ，那么（ ）
A．5 B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2或6
10．已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是函数图象的一个对称中心
C．是函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象
12．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若，则______．
14．已知，均为锐角，若，则值为____________．
15．定义运算“ ”：.设函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为_______.
16．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，，延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆叫做康威圆．若在中，，，，则由该直角三角形生成的康威圆的面积为______．
三、解答题
17．已知为第二象限角，且．
(1)求与的值；
(2)的值．
18．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)当时，求的值域.
19．已知函数的部分图象如图所示，且在处取得最大值，图象与轴交于点．
(1)求函数的解析式；
(2)若，且，求的值．
20．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知.
(1)若，且，求的值.
(2)若，求的值.
21．（1）在条件①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角为锐角，_____．求角的大小；
（2）是否存在角和，当，时，等式同时成立？若存在，则求出和的值；若不存在，请说明理由．
22已知函数的最小值为.
(1)求函数的最大值；
(2)把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，且函数在上为增函数，求的最大值.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
利用余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】
.
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质进行计算.
【详解】
解：由题意得：
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出sinθ和cosθ，用余弦和角公式展开即可计算.
【详解】
∵角的终边经过点，则P到原点距离为，∴，，
∴.
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
根据二倍角的余弦公式可得，结合求最小正周期的公式计算即可.
【详解】
解：，
由得函数的最小正周期为，
∴，
故选：A．
5．A
【解析】
【分析】
先求得直角三角形的直角边，由此求得，进而求得.
【详解】
由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为1，
设图中直角三角形较短的直角边长为，可得出直角三角形较长的直角边长为，
由勾股定理可得，解得，，
所以，因此，.
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
由得，根据正余弦二倍角公式及切化弦公式即可求解．
【详解】
由得，
由
又因为
所以
故
故选：A
7．C
【解析】
【分析】
结合同角的平方关系以及二倍角公式即可求出结果.
【详解】
由及，解得，或，.因为，所以，，所以，，
所以，
故选：C.
8．A
【解析】
【分析】
利用三角函数的伸缩平移变换规律求解变换后的解析式，再根据二倍角公式化简.
【详解】
将函数的图象先向右平移个单位长度，得函数解析式为，再将函数向下平移1个单位长度，得函数解析式为.
故选：A
9．C
【解析】
【分析】
由已知可得，再由诱导公式及，结合差角正切公式即可求.
【详解】
因为，则，解得，又，
所以.
故选：C.
10．A
【解析】
【分析】
根据诱导公式、二倍角正弦公式、辅助角公式，化简可得的解析式，经伸缩、平移变换后可得，根据所得函数为偶函数，可得的表达式，分析即可得答案.
【详解】
由题意可知，
，
将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象，
然后再向左平移个单位长度，可得的图象，
因为所得的图象关于y轴对称，为偶函数，
所以，解得，
取，得．无论k取任何整数，无法得到B、C、D的值.
故选：A．
11．B
【解析】
【分析】
先得到函数，再利用正弦函数的性质判断.
【详解】
函数
，
所以函数的最小正周期为 ，故A正确；
因为 ，所以函数的一个对称中心为 ，故B错误；
因为 ，所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故D正确.
故选：B
12．D
【解析】
【分析】
根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C及边c，再求出的范围即可计算作答.
【详解】
在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：，
即有，而，则，又，
由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
是锐角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以．
故选：D
【点睛】
思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.
13．
【解析】
【分析】
根据诱导公式得，结合二倍角的余弦公式求出即可.
【详解】
因为，
所以，
所以，
则.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
由两角和的余弦公式求得的值，再由特殊角的三角函数值得结果．
【详解】
由已知，
又，均为锐角，所以，所以．
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
求出的表达式，根据图象平移性质得，结合对称关系即可求解的最小值．
【详解】
由题意，得．
将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
则，因的图象关于y轴对称，
所以，即，则的最小值为．
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
由康威圆的形成得出其圆心为内切圆的圆心．由正切的二倍角公式求得得出三角形的各边长，求得内切圆半径后得出康威圆的半径，从而得其面积．
【详解】
由题意得，，结合圆的对称性，康威圆的圆心在∠ACB的平分线上,
同理可得，康威圆的圆心在∠ABC的平分线上，
则康威圆的圆心即为内切圆的圆心．
∵，
∴，解得（舍去），
又，∴，．
易知康威圆的圆心到直线AB的距离即为的内切圆半径r，则，
由垂径定理知康威圆的半径，，∴所求面积为．
故答案为：．
17．(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)结合同角三角函数关系即可求解；
(2)齐次式分子分母同时除以cosα化为tanα即可代值求解.
(1)
∵
∴，
∴，
∵为第二象限角，
故，
故；
(2)
.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据辅角公式可得，由此即可求出的最小正周期；
（2）根据，可得，在结合正弦函数的性质，即可求出结果.
(1)
解：
所以最小正周期为；
(2)
，
，的值域为.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据图象可得函数的周期，从而求得，结合函数在处取得最大值，可求得的值，再根据图象与轴交于点，可求得，从而可得解；
（2）根据（1）及角的范围求得，，再利用两角差的余弦公式进行化简可求解.
(1)
由图象可知函数的周期为，所以.
又因为函数在处取得最大值
所以，所以，
因为，所以，
故.
又因为，所以，
所以.
(2)
由（1）有，
因为，则，
由于，从而，
因此.
所以
.
20．(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）诱导公式化简可得，结合，求解即可；
（2）代入，结合诱导公式化简可得，即，利用二倍角公式化简可得，代入即得解
(1)
由题意，
若，
则或
(2)
若，则
即，即
故
21．（1）选①，；选②，；选③，；（2）存在，，.
【解析】
【分析】
（1）若选①，对式子进行弦化切，然后求出，进而求得答案；若选②，利用平方关系化简为关于的式子，进而求得答案；若选③，对式子进行切化弦，进而求出，然后求出答案；
（2）先用诱导公式进行化简，进而将两式平方后相加，然后求出答案.
【详解】
（1）若选择①，由于，因为A为锐角，可得.
若选择②，由于（负值舍去），因为A为锐角，可得A＝．
若选择③，因为，因为A为锐角，sinA＞0，可得，可得A＝.
（2）存在使等式同时成立．理由如下：
由条件得，两式平方相加得，，
∵，∴或．
若，则，而，则，满足题意.
若，则，而，不合题意.
综上可知，.
22．(1)
(2)4
【解析】
【分析】
（1）化简函数为，再根据函数的最小值为求解；
（2）利用平移变换得到的图象，再由在上为增函数求解.
(1)
解：，
，
，
函数的最小值为
，
解得，
则，
函数的最大值为2.
(2)
由（1）可知：把函数向右平移个单位，
可得函数的图象.
在上为增函数，
函数的周期
，即的最大值为4.
答案第1页，共2页