第六章立体几何初步 单元检测卷 （word含解析）

第六章立体几何初步单元检测卷
一、单选题
1．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（ ）.
A． B． C． D．
2．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ 　　）
A． B．
C． D．
3．如图，已知正方体的棱长为1，则异面直线与所成角大小为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．45°
4．若是空间两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
①若，且，则；
②若，且则；
③若，且，则；
④若，则.
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
5．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
8．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40°
C．50° D．90°
二、多选题
9．已知空间中的两个不同平面、和两条不同直线、，若，，，则（ ）
A．直线、可能平行 B．直线、可能异面
C．直线、可能垂直 D．直线、可能相交
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，底面ABCD，M为PA的中点，则下列叙述中正确的是（ ）
A．PC//平面MBD
B．平面PAC
C．异面直线BC与PD所成的角是
D．直线PC与底面ABCD所成的角的正切值是
11．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水(未满)，现将容器底面一边固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（ ）
A．水的部分始终呈棱柱状
B．水面四边形的面积为定值
C．棱始终与水面平行
D．若，，则是定值
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN
C．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
三、填空题
13．已知圆柱的母线长，底面半径，则该圆柱的侧面积为_______．
14．下列命题：
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行；
③如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线垂直于这个平面；
⑤如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么直线也和斜线垂直．
其中正确命题的序号为______．
15．如图所示的四边形是边长为的正方形，对角线，相交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．给出以下5个结论：
①；②和都是等边三角形；③平面平面；④；⑤三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和．
其中所有正确结论的序号是____________．
16．某中学开展劳动实习，学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬纸片加工制作成轴截面的顶角为60°，高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球形冰淇淋（内切），则该球形冰淇淋的表面积为___________.
四、解答题
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．
（1）求证：AD∥平面PBC；
（2）求证：AB⊥平面PAD
18．如图，在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，D，E分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
19．如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点.
(1)求此圆锥的表面积：
(2)求异面直线PQ与SO所成角的大小.
20．已知三棱柱中，分别是与的中点，为等边三角形，
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
21．如图1，直角梯形ABCD中AD∥，将梯形沿中位线EF折起并连接AB，CD得到图2所示的多面体，且
(1)证明：BE⊥平面AEF；
(2)求点F到平面ACE的距离.
22．直三棱柱中，为正方形，，，为棱上任意一点，点、分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)当点为中点时，求直线和平面所成角的正弦值.
第六章立体几何初步单元检测卷答案
一、单选题
1．【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件结合几何体是圆柱，再由圆柱的体积公式直接计算作答.
【详解】
以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是以2为底面圆半径，高为2的圆柱，
由圆柱的体积公式得：，
所以所得到的几何体的体积为.
故选：B
2．【答案】A
【解析】
【分析】
利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．
【详解】
对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行：
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
故选：A．
3．【答案】B
【解析】
【分析】
平移与组成三角形即可求得异面直线与所成角
【详解】
如图：连接则,则即为异面直线与所成角，
故选：B
4．【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间的线、面位置关系的判定逐一判断可得选项.
【详解】
对于①：若，，所以或，又，所以，故①正确；
对于②：若，且则或相交，故②不正确；
对于③：若，且，则与面不一定垂直，故③不正确；
对于④：若，由线面平行判定得，故④正确.
综上得：命题 ①④正确，
故选：B.
5．【答案】C
【解析】
【分析】
补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，求出外接球半径，即可得出答案.
【详解】
解：因为四棱锥为阳马，侧棱底面，
如图，补全该阳马所得到的长方体，
则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为，
则，
所以，
所以该阳马的外接球的表面积为.
故选：C.
6．【答案】A
【解析】
【分析】
分别求得三棱柱外接球表面积与四棱锥体积即可解决.
【详解】
取三棱柱上底面中心D，下底面中心，连接、.取中点O，连接
则点O为三棱柱外接球球心，为三棱柱外接球半径.
由，可得，
则
则三棱柱外接球表面积为
延长交与，则为四棱锥的高
则
则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为
故选：A
7．【答案】A
【解析】
【分析】
由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.
【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
8．【答案】B
【解析】
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.
【详解】
画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..
由于，所以，
由于，
所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.
故选：B
二、多选题
9．【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据已知条件可知、无交点，由此可得出结论.
【详解】
由于，，，则、无交点，故直线、可能平行、异面或垂直.
故选：ABC.
10．【答案】CD
【解析】
【分析】
利用反证法，根据线面平行的性质定理，结合题意，可判断A的正误；利用反证法，根据线面垂直的性质定理，可判断B的正误；根据异面直线成角的几何求法，即可判断C的正误；根据线面角的几何求法，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
设，则E不是中点，假设平面
因为平面，平面平面，
所以，
因为M为中点，所以E是中点，与题意矛盾，所以A错；
假设平面，则，
因为直角梯形ABCD所，，
所以知与不垂直，与假设矛盾，故B错；
因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，为，
因为是等腰直角三角形，所以，
故异面直线与所成的角是，所以C对．
因为底面，
所以直线与底面所成的角为，
又因为，，
所以，所以D对．
故选：CD．
11．【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用棱柱的定义即可判断选项A，由水面四边形的边长在变化，即可判断选项B，利用线面平行的判定定理即可判断选项C，由于水平放置时，水的高度是定值，从而求出为定值，即可判断选项D
【详解】
解：由于四边形与四边形全等，且平面‖平面，则由棱柱的定义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A正确，
因为‖，平面，所以平面，因为平面，所以，因为‖，，所以因为四边形为矩形，所以水面四边形的面积等于，因为水面四边形的边长不变，在变化，所以水面四边形的面积在变化，所以B错误，
容器底面一边固定在底面上时，‖‖，所以由线面平行的判定定理可知，棱始终与水面四边形平行，所以C正确，
如图，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，另一部分下降相同的高度，设，则，所以为定值，所以当，时， 是定值，所以D正确，
故选：ACD
12．【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于A，连接，，可证得，从而可得结论，对于B，连接PQ，，当Q是的中点时，由线面平行的判定可证得，对于C,利用求解，对于D，分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积
【详解】
如图，在正方体中，连接，，
因为N，P分别是，的中点，所以，
又因为，所以，
所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；
连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以，
因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；
连接，，，
因为，
所以，
故选项C正确；
分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，
则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，
设所求外接球的直径为2R，
则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，
即，
所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．【答案】
【解析】
【分析】
利用圆柱的侧面积公式求解.
【详解】
因为圆柱的母线长，底面半径，
所以该圆柱的侧面积为,
故答案为：
14．【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据线线、线面和面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
①，根据平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线平行.所以①正确，
②，根据线面平行的判定定理可知：如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行，所以②正确.
③，结合面面平行的判定定理可知：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.所以③正确.
④，如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线可能在这个平面内，所以④错误.
⑤，如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，直线时，，但与不垂直.所以⑤错误.
故答案为：①②③
15．【答案】①②④
【解析】
【分析】
由线面垂直判定以及性质判断①；由勾股定理以及面面垂直的性质判断②；取的中点，连接，，由余弦定理以及面面角的定义证明平面与平面不垂直；由体积公式得出；由，判断⑤.
【详解】
因为正方形的对角线互相垂直，所以，且，由线面垂直的判定可知平面，所以，即①正确；因为正方形的边长是，所以，又平面平面，所以平面，所以，即和都是等边三角形，②正确；如图，取的中点，连接，，得，，所以就是二面角的平面角，而，所以不是直角．即平面与平面不垂直，③错误；因为，所以④正确；因为，，所以三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和，不是和，所以⑤错误．综上，可知①②④正确．
故答案为：①②④
16．【答案】
【解析】
【分析】
由圆锥与球的关系可求出球的半径，利用球表面积公式求解.
【详解】
如图，
由题意知，,,
故在中，,
设内切球球心为，则,
在中，，
所以，解得，
所以，
故答案为：
四、解答题
17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用底面是矩形，得到AD∥BC，进而证明AD∥平面PBC；
（2）由AB⊥AD，再由面面垂直的性质定理证明．
【详解】
（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又AD平面PBC，BC平面PBC，
∴AD∥平面PBC；
（2）证明：∵底面ABCD是矩形，
∴AB⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据正棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、等腰三角形的性质进行证明即可；
（2）根据三棱锥的等积性进行求解即可.
(1)
在正三棱柱中，平面，
又平面，∴．
∵D是的中点，为正三角形，
∴．
又，，平面，
∴平面．
(2)
在正三棱柱中，平面，
又平面，，
∴点D到直线的距离为．
∴．
由（1）知点B到平面的距离为，
∴．
19．【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知利用公式求得底面积和侧面积即可得出结果.
（2）取OA的中点M，连接PM，又点P为母线SA的中点，所以，故为PQ与SO所成的角，计算即可得出结果.
(1)
圆锥的底面半径，截面三角形SAB是等边三角形，
底面积侧面积 ，
圆锥的表面积.
(2)
取OA的中点M，连接PM，又点P为母线SA的中点，所以，故为PQ与SO所成的角.
由，，点Q为半圆弧AB的中点，知，在 中，，
在中，，
在中，,
所以.
所以求异面直线PQ与SO所成角的大小为.
20．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接，由线面平行的判定定理易证MP平面，平面，再根据面面平行的判定定理可得平面平面，从而平面；
（2）不妨设，由平面知识容易算出，再根据勾股定理的逆定理可证，，从而由线面垂直的判定定理证出平面．
(1)
如图所示：
取中点，连接，则，因为平面，平面，所以MP平面，因为分别的中点，所以，又，所以，因为平面平面，故平面，
因为平面平面，于是平面平面，
又平面所以平面.
(2)
不妨设，则.
依题意，故为等腰底边上的中线，则.于是，
因为，所以，同理，则，
又平面平面，所以平面.
21．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)证明AE⊥平面BEF，从而得AE⊥BE即可；
(2)利用等体积法即可求：.
(1)
由梯形中位线性质可得
折起后，
平面，
∴平面AEF；
(2)
由(1)BE⊥平面AEF，得三棱锥C—AEF的高,
底面积，∴三棱锥C—AEF的体积,
又由题设，
∵，设点F到平面ACE的距离为h，
则，即求点F到平面ACE的距离等于.
22．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）连接AM，证明，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）利用等体积法求出点B到平面的距离，可得点到平面的距离，再借助线面角的正弦公式计算作答.
(1)
在直三棱柱中，为棱上任意一点，连接AM，如图，
因点、分别为，的中点，则，而平面，平面，
所以平面.
(2)
直三棱柱中，令，则，而，点为中点，
则有，，，，
又平面，平面，则，而，平面，有平面，
平面，于是得，又点为中点，即，，
，令点到平面的距离为h，由得：
，即，解得，
因平面经过线段的中点M，则点到平面的距离等于点到平面的距离h，
即，而，令直线和平面所成角为，则，
所以直线和平面所成角的正弦值为.