第三章 变量之间的关系(考点讲解)（含解析）

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第三章 变量之间的关系
【学习目标】
1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；
2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系.
3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.
4．能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测.
【考点总结】
要点一、变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量.
特别说明：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 是自变量，是因变量.
要点二、用表格表示变量间关系
借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.
特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等.21教育网
要点三、用关系式表示变量间关系
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.21·cn·jy·com
特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.
要点四、用图象表示变量间关系
图象是我们表示变量之间关系的又一种方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.www.21-cn-jy.com
特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色.2·1·c·n·j·y
【例题讲解】
类型一、常量、自变量与因变量
例1、根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：21*cnjy*com
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱www-2-1-cnjy-com
【分析】
（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；
（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；
（3）提供变化情况得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；
（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．
【点睛】
本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．
【训练】某公交车每月的支 ( http: / / www.21cnjy.com )出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．
x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y（元） ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 …
（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x与每月利润y分别是　 　变量和　 　变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到　 　人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【答案】（1）每月的乘车人数，每月利润；（2）2000人；（3）4000元
【分析】
（1）根据函数的定义即可求解；
（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损，即可求解；
（3）有表中的数据推理即可求解．
【详解】
解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；
故答案为：每月的乘车人数，每月利润；
（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损，
故答案为：2000；
（3）有表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，利润为0元， ( http: / / www.21cnjy.com )故每月乘车人数为4000人时，每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．2-1-c-n-j-y
【点睛】本题考查了根据表格与函数知识，正确读懂表格，理解表格体现变化趋势是解题关键．
类型二、用表格表示变量间关系
例2、一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动秒内的速度经测量如下表：
时间（秒）
速度（米/秒）
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用时间表示时间，表示速度，那么随着的变化，的变化趋势是什么？
（3）当每增加秒，的变化情况相同吗？在哪个时间段内，增加的最快？
（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为千米/小时，试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．21cnjy.com
【答案】（1）时间与速度；时间；速度；（2）到和到，随着的增大而增大，而到，随着的增大而减小；（3）不相同；第秒时；（4）秒．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】
（1）根据表中的数据，即可得出两个变量以及自变量、因变量；
（2）根据时间与速度之间的关系，即可求出的变化趋势；
（3）根据表中的数据可得出的变化情况以及在哪秒钟，的增加最大；
（4）根据小汽车行驶速度的上限为千米/小时，再根据时间与速度的关系式即可得出答案．
【详解】
解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量；
（2）如果用表示时间，表示速度，那么随着的变化，的变化趋势是到和到，随着的增大而增大，而到，随着的增大而减小；21世纪教育网版权所有
（3）当每增加秒，的变化情况不相同，在第秒时，的增加最大；
（4）由题意得：千米/小时=（米/秒），
由，且，
所以估计大约还需秒．
【点睛】本题主要考查函数的表示方法，常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量，然后结合图表得到问题的答案即可．【版权所有：21教育】
【训练】某路公交车每月有人次乘坐，每月的收入为元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是与的部分数据．21*cnjy*com
/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
/元 1000 2000 4000 6000 …
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）请将表格补充完整．
（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润收入支出费用）
【答案】（1）反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量；（2）表格见解析；（3）7000人次．
【分析】
（1）根据表格即可得出结论；
（2）由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元，即可得出结论；
（3）先求出每增加1人次乘坐，每月的收入就增加2元，然后求出总收入即可求出结论；
解：（1）反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量．
（2）由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元，
表格补充如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）（元）
（人次）
答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次
【点睛】此题考查的是变量与常量的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
类型三、用关系式表示变量间关系
例3.按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
①题中有几个变量？
②你能写出两个变量之间的关系吗？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①有2个变量；②能，函数关系式可以为y=4x+2．
【解析】
试题分析：①根据变量和常量的定义可得结果；
②由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2．21·世纪*教育网
试题解析：①观察图形：x=1时，y=6，x=2时，y=10；x=3时，y=14；…
可见每增加一张桌子，便增加4个座位，
因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．
故可坐人数y=4x+2，
故答案为：有2个变量；
②能，由①分析可得：函数关系式可以为y=4x+2．
【训练】已知，如图，在直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，AB＝8．P是线段AC上的一个动点，当点P从点C向点A运动时，运动到点A停止，设PC＝x，△ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】y＝﹣x+24．
【分析】
过点B作BD⊥AC于D，则BD为AC边上的高．根据△ABC的面积不变即可求出BD；根据三角形的面积公式得出S△ABP＝AP BD，代入数值，即可求出y与x之间的关系式．21教育名师原创作品
【详解】
如图，过点B作BD⊥AC于D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵S△ABC＝AC BD＝AB BC，
∴BD＝；
∵AC＝10，PC＝x，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x，
∴S△ABP＝AP BD＝×（10﹣x）×＝﹣x+24，
∴y与x之间的关系式为：y＝﹣x+24．
【点睛】此题考查直角三角形的面积求法，列关系式的方法，能理解图形中三角形的面积求法得到高线BD的值是解题的关键.
类型四、用图象表示变量间关系
例4、巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条 ( http: / / www.21cnjy.com )笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；
(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；
(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】(1)t，s；(2)2，6；(3)小明距起点的距离为300米．
【分析】
解析
(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变
(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答
【详解】
解：(1)在上述变化过程中，自变量是t，因变量是s；
(2)朱老师的速度＝2(米/秒)，小明的速度为＝6(米/秒)；
故答案为t，s；2，6；
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师
根据题意得6t＝200+2t，解得t＝50(s)，
则50×6＝300(米)，
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于看懂图中数据
【训练】如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）此变化过程中， 是自变量， 是因变量；
（2）甲的速度 乙的速度（大于、等于、小于）；
（3）6时表示 ；
（4）路程为150km，甲行驶了 小时，乙行驶了 小时；
（5）9时甲在乙的 （前面、后面、相同位置）；
（6）乙比甲先走了3小时，对吗？ .
【答案】（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对.
【解析】
试题分析：（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量，路程是因变量；
（2）甲走6小时行驶100千米，乙走3小时走100千米，则可得到他们的速度的大小；
（3）6时两图象相交，说明他们相遇；
（4）观察图形得到路程为150千米，甲行驶9小时，乙行驶了7-3=4小时；
（5）观察图象得到t=9时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些；
（6）观察图象得到甲先出发3小时后，乙才开始出发.
试题解析：解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象，则t是自变量，s是因变量；
（2）甲的速度是100÷6=千米/小时，乙的速度是100÷3=千米/小时，所以甲的速度小于乙的速度；
（3）6时表示他们相遇，即乙追赶上了甲；
（4）路程为150千米，甲行驶9小时，乙行驶了7-3=4小时；
（5）t=9时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些，所以9时甲在乙的后面；
（6）不对，是乙比甲晚走了3小时.
故答案为（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对.
考点：函数的图象.
【训练】根据图回答下列问题.
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(1)图中表示哪两个变量间的关系
(2)A、B两点代表了什么
(3)你能设计一个实际事例与图中表示的情况一致吗
【答案】（1）时间与价钱；（2）A点表示250元，B点表示150元；
（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:
5月1日花150元 5月2日花100元 5月3日花250元 5月4日花200元
5月5日花300元 5月6日花150元 5月7日花250元
【解析】试题分析：认真分析表中数据再结合身边的事例即可得到结果.
（1）图中表示时间与价钱的关系；
（2）A点表示250元，B点表示150元；
（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:
5月1日花150元 5月2日花100元 5月3日花250元 5月4日花200元
5月5日花300元 5月6日花150元 5月7日花250元
考点：本题考查的是函数的图象
点评：解答本题的关键是读懂图象，得到图象的特征及规律，再根据这个规律解决问题.
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