-第六章立体几何初步 单元检测卷 (word含解析）

第六章立体几何初步单元检测卷
一、单选题
1．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．8
3．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ）
A． B．3 C． D．
4．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和DD1的中点，则异面直线和B1M所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．60°
5．某圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
9．在三棱柱中，M，N分别为棱AB，AC的中点，则直线与的位置关系为( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．无法判断
10．如图1，在高为h的直三棱柱容器中，，．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高h为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
11．如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，G是的中点，现在沿，及将这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，则在这个空间图形中必有（ ）
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
12．已知几何体是正方体，则（ ）
A．平面 B．在直线上存在一点E，使得
C．平面 D．在直线上存在一点E，使得平面
二、填空题
13．已知圆柱的底面半径为，体积为4π，则该圆柱的侧面积为__________．
14．我国古代数学著作《九章算术.商功》阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”彆臑是一类特殊的三棱锥，它的四个面都是直角三角形.如图，已知三棱锥是一个鳖臑，且平面ABC，，则___________.
15．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，的中点.设三棱锥F－ADE的体积为，三棱柱的体积为，则＝________.
16．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中L，N，M，h分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为a，高为h，可得该正四棱锥的体积为．类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O的表面积为，若用距离球心O都为2cm的两个平行平面去截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为______．
三、解答题
17．如图，在三棱柱中，点D是AB的中点．
(1)求证：∥平面．
(2)若平面ABC，，求证：平面．
18．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
19．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：面面．
20．如图，在多面体中，为等边三角形，，，，，F为EB的中点.
(1)证明：平面；
(2)求多面体的体积.
21．如图，在四棱锥中，面，，∥，AB=2AD=2CD.
(1)求证：；
(2)试问：线段上是否存在点，使得面，若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
22．如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面ABCD，，，，M，E分别为，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点M到平面ADE的距离．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
由空间中线线，线面，面面间的位置关系判断即可.
【详解】
A：，，则无法判断n与的位置关系，A为假命题；
B：，，则无法判断n与的位置关系，B为假命题；
C：，，则m∥n或m与n是异面直线，C为假命题；
D：，，则n⊥β，D为真命题.
故选：D.
2．C
【解析】
【分析】
由斜二测还原图形计算即可求得结果.
【详解】
在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，，可得，.
还原原图形如图：则，则
.
故选：C
3．C
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.
【详解】
设底面半径为，高为，母线为，如图所示：
则圆锥的体积，所以，即，
，则，
又，所以，故．
故选：C．
4．C
【解析】
【分析】
根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，然后再求解即可.
【详解】
过点作交于，交于，易知,
所以，而，
所以，故，所以异面直线和B1M所成的角为.
故选：C
5．D
【解析】
【分析】
根据圆锥侧面积公式求出底面半径，进一步求出圆锥的高，再用公式求体积即可.
【详解】
设圆锥的母线长和底面半径分别为l，r，则，解得，
所以圆锥的高，则该圆锥的体积.
故选：D
6．B
【解析】
【分析】
根据可证三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，再根据题意可求出该长方体的体对角线长，进而求出球的表面积.
【详解】
由题意，作出三棱锥，如图所示，
因为平面，所以，又，所以，
又，所以平面；
同理平面，则两两互相垂直，
将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，如下图所示，
又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，
又，，所以该长方体的体对角线长为，
即球的直径，其中是球的半径；
所以球的表面积为.
故选:B.
7．D
【解析】
【分析】
根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可.
【详解】
A，若，则或异面，故该选项错误；
B，若，则或相交，故该选项错误；
C，若，则α，β不一定垂直，故该选项错误；
D，若，则利用面面垂直的性质可得，故该选项正确.
故选：D.
8．C
【解析】
【分析】
取中点，连接，，证明平面，从而可得为与平面所成角，再利用三角函数计算的正弦值.
【详解】
取中点，连接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴为与平面所成角，由题意，，，在中，.
故选：C
9．B
【解析】
【分析】
作出图像，连接MN，由四边形是梯形是梯形即可判断.
【详解】
如图所示，连接MN，则MN∥BC且MN＝BC，
又∵BC∥且BC＝，∴MN∥且MN≠，
∴四边形是梯形，故与是梯形的两条腰，∴直线与相交.
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
利用两个图形装水的体积相等即可求解.
【详解】
在图1中，
在图2中，，
.
故选：A.
11．B
【解析】
【分析】
分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得、、三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断与平面垂直.
【详解】
解：根据折叠前后不变，可得平面，故B正确；
因为过点只有一条直线与平面垂直，故A不正确；
因为，所以平面，又平面，
所以平面平面，过点作直线垂直于平面，该直线一定在平面 内，故C不正确；
因为不垂直于，所以平面不正确，故D不正确.
故选：B．
12．D
【解析】
【分析】
与平面相交，所以选项A错误；假设在直线上存在一点E，使得，找到矛盾，所以选项B错误；假设平面，找到矛盾，所以选项C错误；当E与重合时， 平面，所以选项D正确．
【详解】
由题得与平面相交，所以选项A错误；
假设在直线上存在一点E，使得，因为，所以,这不可能，所以选项B错误；
假设平面，则平面，所以平面，所以, 实际上，,所以平面不可能，所以选项C错误；
当E与重合时，因为平面,平面,所以平面，所以选项D正确．
故选：D
13．8π
【解析】
【分析】
根据条件先计算出母线长，再通过计算可求解.
【详解】
因为底面半径为，体积为，设母线为，则，得，
所以圆柱的侧面积为：，
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
由题设易知，结合已知条件即可求的长度.
【详解】
由题设，△、△、△、△均为直角三角形，
又，
∴，，则，
∴.
故答案为：.
15．1∶24##
【解析】
【分析】
分别算出三棱锥F－ADE的与原三棱柱的底面积之比和高之比，进而根据椎体和柱体的体积公式求得答案.
【详解】
设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积.
∵D，E分别为AB，AC的中点，∴的面积等于.
又∵F为的中点，∴F到底面ABC的距离是到底面ABC距离h的一半，即为.
∴于是三棱锥F－ADE的体积，则.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
根据球的表面积公式求出球的半径，进而得出两个截面圆的半径，求出截面圆的面积，结合题意给的体积公式计算即可.
【详解】
由球O的表面积为，得球O的半径为3，
则两个截面圆和的半径都为，
根据对称性，几何体的中截面为圆O，其面积为；
所以几何体的体积为．
故答案为：.
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)连接，交于点，连接，用中位线证明即可；
(2)证明CD⊥AB，CD⊥即可.
(1)
连接，交于点，连接
∵是三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴是的中点.
∵点是的中点，∴是的中位线，∴，
又平面，平面，∴∥平面.
(2)
∵平面，平面，∴，
∵，，∴，
∵，平面，
∴平面.
18．(1)
(2)证明详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据锥体的体积公式，即可求出结果；
（2）根据线面垂直的判定定理，即可证明面，又由中位线定理，可得，进而证明出结果.
(1)
解：∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，
∴；
(2)
证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵底面，面，
∴，
又，∴面，
又，分别是，的中点，
∴，
∴平面.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)连接AC交BD于O，连接OE，由中位线即可得，得证；
(2)证明BD⊥平面PAC即可.
(1)
连接AC，交BD于O，连接OE，
在△CAP中，，∴，
又∵平面BDE，平面BDE，∴∥平面BDE；
(2)
∵PO⊥底面ABCD，则PO⊥BD，
又∵是正方形，则AC⊥BD，且，∴BD⊥平面PAC.
∵平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.
20．(1)证明见详解
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，构造平行四边形，由线线平行得到线面平行；（2）先证明出面面垂直，进而作出四棱锥的高，求出底面积和高，利用锥体体积公式进行求解.
(1)
取EC中点M，连结DM,MF，因为F是EB的中点，所以MF∥BC，
∵ ， ，∴四边形AFMD为平行四边形
∴∥.又平面，平面，∥平面.
(2)
∵，∴，
又∵，，∴平面，平面
∴平面平面，
过E作AB的垂线，垂足为H，
则EH为四棱锥的高.由题知.
底面四边形为直角梯形，其面积，
∴.
21．(1)证明见解析
(2)存在，点在线段上，靠近点的三等分点
【解析】
【分析】
（1）线面垂直得到线线垂直，作出辅助线证明线线垂直，可证明线面垂直；
（2）构造平行线，利用相似得到线线平行，进而得到线面平行，得到E点的位置.
(1)
∵面，面，
∴，
取AB的中点F，连接CF，因为，，AB=2AD=2CD，
所以AF=CD，故四边形ADCF为正方形，所以CF⊥AB，，又CF=BF，所以，从而，
又，
∴面，又面，∴；
(2)
存在点，在线段上，靠近点的三等分点，即，
证明如下：连接,交于，再连接，

∵,△DOC∽，∴，
又，
∴，面，面，
∴面.
22．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE，即可得到，，从而得到四边形为平行四边形，则，又，所以，即可得证．
（2）由面面垂直的性质得到平面，则，再由得到平面，从而得到平面，最后根据利用等体积法求出点到平面的距离；
(1)
证明：如图，
分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE，
则，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又．所以．
因为平面，平面，
所以平面．
(2)
解：因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，
所以平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为，，所以，，平面，所以平面，
因为，所以平面
．
因为，，所以平面MHPE，所以，
故
设点M到平面ADE的距离为d，
则，
解得．
所以点M到平面ADE的距离为．
答案第1页，共2页