广东省深圳市罗湖区2021-2022学年九年级下学期 寒假作业检查（开学考）数学试题（含答案）

(
2
) (
+
) (
200
200
) (
．
) (
D
)2021—2022 学年度第二学期寒假作业检查 初三年级数学试卷 3.5
说明：
1. 答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．
2. 考生必须在答题卷上按规定作答，凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．
3. 全卷共 4 页，考试时间 90 分钟， 满分 100 分．
一．单选题（每题 3 分， 共 30 分）
1．如图， 该几何体的左视图是( )
A ． B ． C．
2．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个， 这些球除颜色外都相同． 小明通过多次试验发现， 摸出红球的 频率稳定在 0.25 左右， 则袋子中红球的个数最有可能是( )
A ．5 B ．10 C ．12 D ．15
3．将抛物线y x2 2x 3向左平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位， 得到的抛物线的解析式为( )
A. y (x 3)2 4 B. y (x 1)2 4 C ．y (x 1)2 3 D. y (x 1)2 2
4．如图， 在菱形ABCD 中， A 60 ，AB 2 ，点 M 为边AD 的中点， 连接BD 交 CM 于点N ，则 BN 的长是( )
4
A ． 1 B ． 3
C ． D ． 3
5．如图， 学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形． 为便于管理，要在中间开辟一横两纵 共三条等宽的小道，使种植面积为 600 平方米， 则小道的宽为多少米？ 若设小道的宽为x 米，则根据题意， 列方程 为 ( )
A ．35 20 35x 20x 2x2 600
C ．(35 2x)(20 x) 600
B ．35 20 35x 2 20x 600
D ．(35 x)(20 2x) 600
第 1 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图
6．如图， 为了测量一条河流的宽度， 一测量员在河岸边相距 200 米的P 、 Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置， T 在P 的正北方向， 且T 在 Q 的北偏西70 方向， 则河宽(PT的长） 可以表示为( )
A ．200tan70°米 B．
米 C ． 200sin 70 米 D ． 米
tan 70 sin 70
7．给出一种运算： 对于函数y xn ，规定y nxn 1 ．例如： 若函数y x4 ，则有y 4x3 ．已知函数y x3 ，则方程 y 27 的解是( )
A ．x1 3 ，x2 3 B ．x1 2 ，x2 2 C ．x1 x2 0 D ．x1 3 ，x2 = 3
(
B
．
2
D
．
4
) (
5
) (
4
) (
k
)8．下列说法正确的是( )
A．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．任意两个等腰三角形相似
C．一元二次方程x2 ax 2 0 ，无论a取何值， 一定有两个不相等的实数根
D．关于反比例函数y ，y 的值随x 值的增大而减小 x
9．二次函数y ax2 4x 2 的图象和一次函数y ax a(a 0) 的图象在同一平面直角坐标系中可能是( )
A． B． C ． D．
10 ．如图， △ABC 中，∠BAC＝120°，∠ACB＝45°， 分别以AB、AC 为边向三角形ABC 外部作正方形ABDE 和
正方形ACFG，连接 CE、BG 交点为 K，CE、AG 交点为 N，延长 CA 交 BG 于点 M，连接 CG．则下列结论：
①△ABG≌△AEC；②BG⊥CE；③AM＝AN；④2CF2＝KG CE，其中正确的有（
A ．1
C ．3
二．填空题（每题 3 分， 共 15 分）
11．若 b 3 ，则 a b 的值等于 ． a 2 b
12．若一元二次方程ax2 bx 2022 0 有一根为x = 1 ，则 a b ．
(
）个．
第
10
题图
)
13．如图， 小颖身高为160cm ，在阳光下影长AB 240cm，当她走到距离墙角（点D)150cm 处时， 她的部分影子投
射到墙上， 则投射在墙上的影子DE 的长度为 cm ．
14 ．如图， 在平面直角坐标系中， ABC 的边 AB //x 轴，点 A 在双曲线y (x 0) 上，点 B 在双曲线 x
y (x 0) 上，边 AC 中点D 在x 轴上， ABC的面积为 8，则 k ．
x
15．如图， a / /b / /c ，直线a 与直线b 之间的距离为3 ，直线c 与直线b 之间的距离为2 3 ，等边 ABC 的三个顶
点分别在直线a 、直线 b 、直线c 上， 则等边 ABC 的边长是 ．
第 13 题图 第 14 题图
第 15 题图
三．解答题（共 7 小题， 共 55 分）
16 ．(8 分)解下列方程：（ 1）2x2+3x+1＝0； （2） ( 3) = 3 ．
17 ．(6 分)计算： 3 3 0 4 cos 30 ．
18 ．(6 分)从一副普通的扑克牌中取出四张牌， 它们的牌面数字分别为 2 ，3 ，3 ，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上， 洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是 3 的概率为 ；
（2）将这四张扑克牌背面朝上， 洗匀． 从中随机抽取一张， 不放回， 再从剩余的三张牌中随机抽取一张． 请利用画 树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
19 ．(8 分)在 ABC 中， AB 12 ，
（1）求证： ABD∽CBA ；
（2）求 DE 的长．
AE 14 ，BD 6 ，BC 24 ，且 BAE DAC ．
20．(8 分)某药店新进一批桶装消毒液， 每桶进价 35 元， 原计划以每桶 55 元的价格销售， 为更好地助力疫情防控，
现决定降价销售． 已知这种消毒液销售量y （桶 ) 与每桶降价x （元 )(0 x 20) 之间满足一次函数关系，其图象如
图所示：
（1）求 y 与x 之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利 1760 元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
(
3
) (
5
) (
1
) (
1
) (
2
) (
1
)21 ．(10 分)已知 O 为坐标原点， 直线l :y x 2与x 轴、 y 轴分别交于 A 、C 两点， 点B(4, 2) 关于直线l 的对称 2
点是点E ，连接EC 交x 轴于点D ．
（1）求证： AD CD ；
（2）求经过B 、 C 、D 三点的抛物线的函数表达式；
（3）当 x 0时， 抛物线上是否存在点P ，使 SPBC SOAE ？若存在， 请直接写出点P 的坐标； 若不存在， 说明理
由．
22．(9 分)在 ABCD 中， BAD ，DE 平分 ADC ，交对角线AC 于点 G ，交射线AB 于点E ，将线段EB 绕点
E 顺时针旋转 得线段EP ．
（1）如图 1, 当 120 时,连接AP ，请写出线段AP 和线段AC 的数量关系， 并说明理由；
（2）如图 2,当 90 时,过点B 作BF ⊥ EP于点F ，连接AF ，请直接写出线段 AF ，AB ，AD 之间的数量关系；
（3）当 120 时，连接AP ，若 BE AB ，请直接写出 APE 与 CDG 面积的比值． 2
(
1
) (
2
1
) (
1
)深圳中学初中部 2021-2022 学年第二学期寒假作业检查
初三年级数学试卷答案
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B C B A C D D
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
题号 11 12 13 14 15
答案 5 3 2022 60 3 2
三、解答题（本题目共 55 分）
16 ．解： (1) x1 = ，x2 1 ，……4 分 2
(2) x1 3 ，x2 1 ， ……4 分
17. 原式 3 8 1 4 2 10 2 2 10 ．……6 分 2
18 ．解： 解：（ 1） ；……2 分
2
（2）画树状图如图：
共有 12 种等可能的结果， 抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有 2 种，
抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为 ．……6 分 12 6
19. 解：（ 1）证明： AB 12 ，
BD 6 1 BA 12 1
， ，
BA 12 2 BC 24 2
BD BA
，
BA BC
又 B B ，
ABD∽CBA ；……4 分
AE 14 ，BD 6 ，BC 24 ，
(
b


100
) (
2
) (
1
)
（2） ABD∽CBA ，
BAD C ，
BAE DAC ，
BAD CAE ，
C CAE ，
CE AE 14 ，
DE BC BD CE 24 6 14
4 ．……8 分
20. 解：（ 1）设 y 与x 之间的函数关系式为： y kx b ，
将点(1,110) 、(3,130) 代入一次函数表达式得：
(
解得
：
，
)k 10
故函数的表达式为： y 10x 100 ；……4 分
110 k b
，
130 3k b
（2）由题意得： (10x 100) (55 x 35) 1760 ，
整理， 得x2 10x 24 0 ．
解得x1 12 ，x2 2 （舍）．
所以55 x 43 ．
答：这种消毒液每桶实际售价 43 元． ……8 分
21 ．（1）证明： y x 2 与x 轴、
A(4, 0) ， C(0, 2) ，
B(4, 2) ，
OA / /BC ，
BCA OAC ，
点B(4, 2) 关于直线l 的对称点是点E
ACD ACB ，
ACD OAC ，
AD CD ；……3 分
y 轴分别交于 A 、 C 两点，
(
2
) (
3
) (
2
2
) (
3
5
4


)（2）解： 设OD m，由对称可得 CE BC 4 ， AE AB OC 2 ， AED B 90 ， CD AD 4 m ，
在RtOCD 中， OD2 OC2 CD2 ， m2 22 (4 m)2 ，
3 3
m ， D( ， 0) ，
设经过B 、 C 、D 三点的抛物线的函数表达式为：
把B(4, 2) ， C(0, 2) ，D( ，0) 代入得：
c 2 16a 4b c 2 ，解得： (
a


b


c


0
)9 3 4 2 (
a

) (
15
32
) 8 b ． 15 c 2
经过B ， C ，D 三点的抛物线的函数表达式为：
y ax2 bx c ，
(
y


8
x
2

32
x


2
；
……
7
分
)15 15
（3）存在，点 P 的坐标为( ，0) 或 ( ，0) 或 ( ，4) ．……10 分 2 2 2
22.(1) = ； ……1 分
方法一：如图 1，连接PB ，PC ，
四边形ABCD 是平行四边形， AD / /BC ，AB / /CD ，
120 ，即 BAD 120 ，
B ADC 60 ， BEP 60 B ， 由旋转知： EP EB ， BPE是等边三角形， BP EP ， EBP BPE 60 ，
CBP ABC EBP 120 ，
AEP 180 BEP 120 ， AEP CBP ，
DE 平分 ADC ， ADE CDE 30 ， AED CDE 30 ADE ， AD AE ，
AE BC ， APE CPB(SAS) ，
AD BC ，
AP CP ， APE CPB ，
APE CPE CPB CPE ，即 APC BPE 60 ，
APC是等边三角形， AP AC ；……4 分
方法二：如图 1，延长PE 交 CD 于点Q ，连接 AQ ， 四边形ABCD 是平行四边形，
AD / /BC ， AB / /CD ，
120 ，即 BAD 120 ， B ADC 60 ，
BEP 60 B ， PE / /BC / /AD ，
四边形ADQE 和四边形BCQE 是平行四边形， DE 平分 ADC ， ADE CDE 30 ，
AED CDE 30 ADE ， AD AE ， 四边形ADQE 是菱形，
EAQ AEQ 60 ， AEQ是等边三角形，
AE AQ ， AQE 60 ，
四边形BCQE 是平行四边形，
PE BE CQ ， B CQE 60 ，
AEP 120 ， AQC AQE CQE 120 ， AEP AQC ， AEP AQC(SAS) ， AP AC ；
(2) AB2 AD2 2AF2 ，……6 分
理由： 如图 2，连接 CF ，在 ABCD 中， BAD 90 ，
ADC ABC BAD 90 ， AD BC ，
DE 平分 ADC ， ADE CDE 45 ， AED ADE 45 ， AD AE ， AE BC ，
BF ⊥ EP ， BFE 90 ，
(
BEF





BAD



90


45
，
)1 1 1
2 2 2
EBF BEF 45 ， BF EF ，
……4 分
FBC FBE ABC 45 90 135 ， AEF 180 FEB 135 ，
CBF AEF ， BCF EAF(SAS) ，
CF AF ， CFB AFE ，
AFC AFE CFE CFB CFE BFE 90 ，
AC AF ，
在RtABC 中， AB2 BC2 AC2 ， AB2 AD2 2AF2 ；……6 分
(
4
4
) (
2
) (
2
) (
S
CDG
2
4
) (
4
3
) (
2
) (
3
) (
3
5
) (
a
) (
a
)(3) APE 与 CDG 面积的比值为3或5 ．……9 分(一个答案得 2 分， 两个答案得 3 分)
方法一：由（ 1）知， BC AD AE AB BE ，
1
BE AB ， AB CD ， AB CD 2BE ，
2
设BE a ，则 PE AD AE a ，AB CD 2a ，
①当点E 在 AB 上时， 如图 3，过点 G 作 GM ⊥ AD于点M ，作 GN ⊥ CD 于点N ， 过点 C 作CK ⊥ AD 于点K ，过点 A 作 AH ⊥ PE 的延长线于点H ，
当 120 时， B ADC 60 ，
DE 平分 ADC ， GM ⊥ AD ， GN ⊥ CD ，
(
S
ACD


AD
CK


a
2
a
sin
60


a
，
)1 1 2
2 2 2
1
(
S
CDG


2


CD


2
a


2
，
S
ADG
1
AD
GM
AD
a
)CD GN
2
(
S
CDG


2
S
ADG
，
S
CDG


S
ACD


a
2
，
)3 3
由（ 1）知 PE / /BC ， AEH B 60 ，
H 90 ， AH AE sin 60 a ，
(
S
APE


PE
AH


a
a


a
，
)1 1 2
2 2 2 4
(
APE




．
)S a
a
GM GN ，
②如图 4，当点E 在AB 延长线上时，
(
由
①
同理可得：
S
CDG


S
ACD




2
a
3
a


a
，
)2 2 1 3 2
5 5 2 2 5
(
S
APE


PH
AE



a
3
a


a
，
)1 1 3 2
2 2 2 4
3 2
SAPE 4 5
SCDG 3 2 4
5
综上所述， APE 与 CDG 面积的比值为 或 ．
4 4
(


) (
2
2
1
EG
1
ED
) (


(
)


，
) (
S
S
S
S
S
1
3
) (
3
5
) (
S
AEG
AE
2
3
2
9
) (
S
S
S
S
1
5
9
5
) (
3
) (
APE
APE
ADE
AEG
)方法二：如图 3 ，四边形ABCD 是平行四边形，
AD / /BC ， AB / /CD ，AB CD ，
(
AEG
∽
CDG
，
AEG


(
)
2
，


，
)S AE EG AE
(
S
CD
DG
CD
)CDG
①当点E 在 AB 上时，
1
BE AB ， 2
又 EG AE
DG CD
当 120 时，
1 1
AE BE AB CD ，
， ，即 3 ，
2 ED 3 EG
B ADC 60 ，
SAEG AE 2 1
(
S
CD
4
)CDG
(
AED




3
，
S
EG
)S ED
AEG
DE 平分 ADC ， ADE 30 ，
AED 180 BAD ADE 30 ADE ， AE AD ，
EP EB AE ，EP / /AD ，
EP AD AE ， AEP DAE 120 ，
AED EAP(SAS) ， SAED SEAP ，
(
APE


APE
AEG


AED
AEG


3


；
S
S
S
S
S
4
4
)CDG AEG CDG AEG CDG
②如图 4，当点E 在AB 延长线上时，
1 BE AB ， 2 3 3 AE AB CD ， 2 2
由①知， AD AE CD ，
2
1 1
EP BE AE AD ， EP / /AD ，
3 3
(
APE
)S EP 1
(




，
S
AD
3
)ADE
EG AE 3 ED 5
， ，
DG CD 2 EG 3
(
ADE
)S ED 5
(




，
S
EG
3
)AEG
(


(
)


(
)


，
S
CD
2
4
)CDG
(










；
S
S
S
S
3
3
4
4
)CDG ADE AEG CDG
综上所述， APE 与 CDG 面积的比值为 或 ．
4 4