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3.4《探索图形》教案 教学设计
教学内容：探索图形
教学时间： 月 日
课堂类型：新授课
教学目标：
1、进一步认识和理解正方体特征，从而得出正方体涂色情况各有几块小正方体的结论。
2、经历“找规律”的全过程，获得“化繁为简”的解决问题的经验，培养学生的空间想象力。
3、体会分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想，积累数学思维的活动经验。
教学重点：
学会化繁为简，从简单的情况找规律，解决复杂问题的思想方法。
教学难点：
判断一个数是不是3的倍数。
教学方法：
启发式教学、自主探索、合作交流、讨论法、讲解法
教具准备：
多媒体PPT
教学过程：
互动导学内容安排
教学环节 师生互动 设计意图
课堂导入(约5分钟) 复习正方体的特征 课件出示： （1）师：今天我们要学习的是什么？（探索图形）探索什么图形？（正方体） （2）师：回顾一下正方体的顶点、棱、面有什么特征？ （8个顶点、12条棱，6个面，棱的长度相等，面的大小相同） 师：正方体是我们第三单元学过的知识，同学们已经掌握的很好了，对正方体表面积、体积的计算不在话下了，今天这节课是需要我们发挥想象力的一节课，同学们有没有信心？ 2、引出问题 （1）拼成这个大正方体需要几块？（10 =1000） 师：你是怎么想的？也就是说算大正方体中有多少个棱长1cm的小正方体，其实就是算这个大正方体的体积，对么？
探究新知(14分钟) 课件出示： （1）师：今天我们要学习的是什么？（探索图形）探索什么图形？（正方体） （2）师：回顾一下正方体的顶点、棱、面有什么特征？ （8个顶点、12条棱，6个面，棱的长度相等，面的大小相同） 师：正方体是我们第三单元学过的知识，同学们已经掌握的很好了，对正方体表面积、体积的计算不在话下了，今天这节课是需要我们发挥想象力的一节课，同学们有没有信心？ 2、引出问题 （1）拼成这个大正方体需要几块？（10 =1000） 师：你是怎么想的？也就是说算大正方体中有多少个棱长1cm的小正方体，其实就是算这个大正方体的体积，对么？ 师：如果把这个大正方体表面涂上颜色，需要涂几个面？（6个面） （3）师：请同学们观察一下，每个独立的小正方体会有几个面被涂上颜色 谁上来指一指？如果根据涂色的情况给它们分类，可以怎么分？ (分为四类，三面涂色、俩面涂色、一面涂色、没有涂色的） （3）师：每一类小正方体分别有多少个呢？请你先来数一数。 师：数完了吗？谁来说一说 (学生各抒己见） 师：你有什么感觉？ （4)教师：这个图形太复杂了，我们数起来不方便。你们有什么好办法，可以让我们方便又快速的解决这种复杂问题？ （教师引导学生先研究简单的图形，发现规律之后，再利用规律去解决复杂的图形。学生想不到再点明） 师：寻找到其中的规律，再去解决，是个好办法，该如何寻找呢？ 师：四年级下册我们研究鸡兔同笼的时候，数据过于复杂，我们是从较小的简单数据研究起，要解决这个复杂问题，我们也可以从简单的情况研究起，找到其中规律，再来解决这个复杂问题。 二、合作探究。 1.发现规律。 （1)师：你认为棱长为几厘米的正方体比较简单，可以让我们容易找到答案？ 预设：生：棱长为1cm的正方体（有研究的价值么？）没有。（为什么？),6个面都涂满了，（是的，它比较特殊，只有一种情况） 生：棱长为2cm的正方体（不错，还有吗？）棱长为3cm的正方体，棱长为4cm的正方体。（这三个图形研究起来是挺方便的） （2）师：下面，我们就先来研究这三个图形，你打算怎么研究？ 预设：生：我打算数一数三面涂色、俩面涂色、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有几块。它们分别在大正方体的什么位置。 师：想法不错，为了让我们的研究更加具体有目的，我把你们刚刚所说的进行了一个归纳，请看。 出示活动建议。 ①分工：组长记录、一名组员归纳，其余组员观察汇报。 ②观察三个图形中三面涂色、俩面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体各有几块，它们都在大正方体的什么位置？ ③把结果填在导学单中。 师:接下来4人一组，小组合作研究 （4)汇报交流。 预设：学生只汇报各有几块，不汇报在大正方体的什么位置。 生：棱长为2的大正方体三面涂色的小正方体有8块； 棱长为3的大正方体三面涂色的小正方体有8块，俩面涂色的有8块（12块） 师：有不同意见，给大家演示一下，说说你的理由。 ······ 师：同学们刚刚都只说了正方体不同涂色情况的块数，那么它们分别在大正方体的什么位置呢？ 生：三面涂色的在大正方体的顶点上，俩面涂色的都在大正方体的棱中间，一面涂色的都在大正方体的面中间，没有涂色的都在大正方体里面。（若学生表述无太大区别，则无需纠正，若未答到点，稍微引导一下） 师：同意他的说法吗？（同意/不同意）那接下来让我们一起来验证一下。 （课件演示，验证答案。） 引导学生发现： 三面涂色的都是8块，都在大正方体的顶点上。 俩面涂色的都在大正方体棱的中间。 一面涂色的都在面的中间，中间是个正方形。 没有涂色的在正方体的中间。 三面涂色的 课件演示棱长2cm的 师：三面涂色的有八个，都在哪个位置？（顶点） 师：棱长3cm三面涂色的会在哪个位置？（顶点上）三面涂色的有几个？（8个）为什么是8个 （因为正方体有8个顶点） 演示棱长3cm的 师：棱长4cm的呢？ 生：会在大正方体的顶点上，也是8个，因为正方体有8个顶点。 演示棱长4cm的 教师归纳小结 师：看来不管是棱长为几厘米的大正方体，三面涂色的小正方体都在顶点上，而大正方体只有8个顶点，所以三面涂色的小正方体块数就是8块。（板书：顶点上） 俩面涂色的 师：棱长2cm的有俩面涂色的吗？对的，都是三面涂色的。看来棱长2cm的也是一个比较特殊的，只有一种涂色情况，后面还需要再研究它么？ 课件演示棱长3cm的 师：俩面涂色的都在大正方体的什么位置上？（棱中间） 师：有几个？一共有几个？你是怎么知道的？ 预设：生：我是数出来的（不错，能算出来么？你是怎么想的？） 生：我们知道棱长3cm的正方体一条棱上2面涂色的块数是1，有12条棱，1x12=12块。 师：那么棱长4cm的正方体呢？你是怎么想的？ 生：2x12=24，棱长-2算出一条棱上的块数，再乘12算出一共的。 教师归纳小结 师：看来不管是棱长为几厘米的大正方体，俩面涂色的小正方体都在棱中间，而正方体有12条棱，所以用（棱长-2个顶点）算出一条棱上俩面涂色的块数，再乘以12，就能算出一共的块数。 （板书：棱中间） 一面涂色的 课件演示3cm的 师：一面涂色的都在大正方体的什么位置？（面中间）你能算出来一共有几个吗？说说你的理由？ 生：有6个，一个面上，一面涂色的有1个，大正方体有6个面，所以是1x6=6块。 课件演示4cm的 师：棱长4cm的呢？你能算出来吗？为什么这么算？ 生：一个面上，一面涂色的有4个，大正方体有6个面，所以是4x6=24块。 师：一个面上的4块你是看出来还是算出来的？能算出来吗？怎么算？ 生：大正方体的棱长-2个顶点就是中间正方形的边长。 师：所以棱长4cm中一个面中的四块可以用2 表示，棱长为3cm中一个面上的1块我们也可以用1 表示。 教师归纳小结 师：通过前面的演示，很明显一面涂色的小正方体都在面的中间，我们知道正方体有6个面，只需要算出一个面中有几个一面涂色的，再乘以6个面，就可以知道一共有多少块。 没有涂色的 师：没有涂色的在哪里？（在正方体里面） 棱长为3cm的正方体演示 师：把涂色的小正方体拿开后，剩下的就是没有涂色的小正方体，仔细观察，是什么样的图形？（正方体）有几个？（1个） 棱长为4cm的正方体演示 师：又是个什么样的图形？（还是个正方体）棱长为几？（2cm）是看出来的吗？除了看，能算出来吗？（大正方体的棱长-2） 师：一共有多少块？怎么算的？ （2 =8） 教师归纳小结： 师：刚刚汇报的时候有同学是用总共的块数减去三面涂色、俩面涂色、一面涂色的块数算出来的，通过这个演示，我们可以看到，还可以用大正方棱长-2个顶点，算出里面正方体的棱长，再用棱长x棱长x棱长（棱长 ）算出没有涂色的块数。 ③学生初步发现规律： 1. 验证猜想。 （1)师：给棱长为2cm，3cm，4cm的大正方体涂色，它们有这样的规律。 师：如果老师给棱长为5cm、6cm的大正方体涂色，会不会也有这样的规律？你能不能试着想一想它们的涂色情况是怎样的？ 课件出示：学生汇报猜想。 第⑤个大正方体： 第⑥个大正方体 三面涂色 8(在顶点位置） 8 二面涂色 3x12=36（在棱的中间） 4x12=48 一面涂色 3 x6=54 （在面的中间） 4 x6=96 没有涂色 3 =27 4 =64 师生共同归纳： 三面涂色 师:有几个？在什么位置？（顶点上，有8个顶点，所以有8个） 二面涂色 师：你是怎么算的？（每条棱上小正方体块数－2)x12 一面涂色 师：你是怎么算的？在正方体每个面除去周边一圈的位置，因为正方体有6个面，所以有（每条棱上小正方体块数－2) x6 （2)学生边汇报边演示，验证学生的猜想。 3.总结规律 师：谁来总结一下正方体涂色情况的规律？ 生：······（听明白了么？你来说说。）
巩固提升(18分钟) 基础练习： 拓展练习：
课堂小结(约3分钟) 三面涂色 8(在顶点位置） 8 二面涂色 3x12=36（在棱的中间） 4x12=48 一面涂色 3 x6=54 （在面的中间） 4 x6=96 没有涂色 3 =27 4 =64
板 书
教学反思 这节课数学味道很浓，让学生经历遇到复杂问题时，先从简单问题下手，找到规律，再去解决复杂问题的过程，培养了学生的思维能力。学生在这堂课中学习的这个知识并不是重点，培养的逻辑思维，掌握的数学问题解决的策略才是重点，所以在最开始的时候一定要让学生切实感受到这个问题的复杂性，引导学生从简单的情况下手，化繁为简。中小学教育资源及组卷应用平台
3.4《探索图形》同步练习
一、填空
1. 下面的几何体是由8个小正方体摆成的，将这个几何体的所有表面（包括底面）涂上颜色。其中，只有1个面涂色的小正方体有__________________个，只有2个面涂色的有___________个，只有3个面涂色的有_____________个，只有4个面涂色的有__________个，只有5个面涂色的有_________个。
2. 下图是用27个小正方体拼成的一个大正方体，把它的表面都涂上色，请你想一想：
（1）位于顶点处的小正方体是__________面涂色的，一共有____________个。
（2）除顶点处位于棱上的小正方体是___________面涂色的，一共有__________个。
（3）位于表面中心处的小正方体是____________面涂色的，一共有__________个。
（4）剩下的就是没有涂色的，一共有__________个。
3. 把一个大正方体表面涂满红色，分割成若干个同样大小的小正方体，其中两面涂色的有24块，那么至少要将这个正方体分割成_____________块。
二、解答题
1. 下图是由棱长2 cm的正方体搭成的，所有表面涂成了蓝色。
（1）一共有多少个正方体？它的体积是多少？
（2）只有2个面涂色、只有3个面涂色、只有4个面涂色、只有5个面涂色的正方体各有多少个？
2. 用棱长是1cm的小正方体拼成如下图所示的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少块？
3. 观察下图，并回答问题。
下图是一个长方体，分割成若干个同样大小的小正方体。
（1）需要锯几次？能锯成多少个小正方体？
答：__________________________________________________。
（2）三面涂色的小正方体有多少个？
答：__________________________________________________。
（3）两面涂色的小正方体有多少个？
答：__________________________________________________。
（4）一面涂色的小正方体有多少个？
答：__________________________________________________。
4. 把长8厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体的表面涂上颜色，然后切成1立方厘米的小正方体。在这些小正方体中，六个面都没有涂色的有多少个？
答案
一、
1. 答案：1，0，1，4，2
解析：在数涂色的面时，可以先从最上面1个小正方体开始，最上面1个小正方体：5个面涂色，再查最右边的1个小正方体：5个面涂色；然后再查剩余的6个小正方体涂色的面的个数。
2. 答案：（1）三，8，（2）两，12，（3）一，6，（4）1
3. 答案：64
解析：两面涂色的都在棱上，每条棱上有24÷12＝2个，棱长：2＋2＝4个，4×4×4＝64个
二、
1. 答案：（1）9个，72cm3
（2）只有2个面涂色的有1个，只有3个面涂色的有4个，只有4个面涂色的有2个，只有5个面涂色的有2个。
2. 答案：
三面涂色的小正方体的块数=8；
两面涂色的小正方体的块数=（n-2）×12
=（5-2）×12
=36（块）
一面涂色的小正方体的块数=（n-2）2×6
=（5-2）2×6
=54（块）
没有涂色的小正方体的块数=（n-2）3
=（5-2）3
=27（块）
解析：这个大正方体的棱长是5，根据4类小正方体与正方体棱长或顶点间的关系可以求出4类小正方体的块数。
3. 答案：（1）12次，105个；
（2）8个；
（3）（5＋3＋1）×4＝36（个）；
（4）（5×1＋1×3＋3×5）×2＝46（个）
4. 答案：（8－2）×（6－2）×（5－2）＝72（个）(共43张PPT)
人教版 / 数学 /小学/ 五年级下册/第三单元 长方体和正方体
探索图形
容积和容积单位数
分数的产生和意义
探索图形
1
2
进一步认识和理解正方体特征，从而得出正方体涂色情况各有几块小正方体的结论
经历“找规律”的全过程，获得“化繁为简”的解决问题的经验，培养学生的空间想象力
3
体会分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想，积累数学思维的活动经验。
重点
难点
探索规律的归纳方法
学会化繁为简，从简单的情况找规律，解决复杂问题的思想方法
我们研究探索
8个
8个
8个
8个
8个
8个
8个
棱长 棱等分的份数 三面涂色的位置 三面涂色的个数
3cm 3
4cm 4
5cm 5
ncm n
8个
8个
8个
顶点
顶点
顶点
8
8
8
顶点
8
12个
12个
12个
24个
12个
24个
36个
棱长 棱等分的份数 两面涂色的位置 两面涂色的个数
3cm 3
4cm 4
5cm 5
ncm n
12个
24个
36个
棱上
棱上
棱上
1×12
2×12
3×12
棱上
（n-2）×12
6个
6个
6个
24个
6个
24个
54个
棱长 棱等分的份数 一面涂色的位置 一面涂色的个数
3cm 3
4cm 4
5cm 5
ncm n
6个
24个
54个
面中间
面中间
面中间
1 2 × 6
2 2 ×6
3 2 ×6
面中间
（n-2） 2 ×6
1个
8个
27个
棱长 棱等分的份数 未涂色的位置 未涂色的个数
3cm 3
4cm 4
5cm 5
ncm n
1个
8个
27个
中心
中心
中心
1 3
2 3
3 3
中心
（n-2） 3
棱长 棱等分的份数 三面涂色的位置 三面涂色的个数
n cm n
两面涂色的位置 两面涂色的个数
一面涂色的位置 一面涂色的个数
未涂色的位置 未涂色的个数
中心
（n-2） 3
面中间
（n-2） 2 ×6
棱上
（n-2）×12
顶点
8
有一个棱长是7厘米的正方体表面涂成蓝色，然后把它截成棱长1厘米的小正方体，请观察有两个面涂成蓝色的小正方体有（ ）个。
（n-2）×12
=（7-2）×12
=60（个）
一个长为7cm，宽为6cm，高为5cm的长方体玩具，把它的表面涂成绿色，然后分割成棱长为1cm小正方体，这些小正方体中三面涂有颜色的有（ ）个两面涂有颜色的有（ ）个，一面涂有颜色的有（ ）个，未涂有颜色的有（ ）个。
三面涂有颜色的小正方体有8个。
长上有两面涂有颜色小正方体个数：5×4=20（个）
宽上有两面涂有颜色小正方体个数：4×4=16 （个）
高上有两面涂有颜色小正方体个数：3×4=12 （个）
两面涂有颜色的小正方体个数：20+16+12=48 （个）
长和高的面上一面涂有颜色的小正方体个数：
5×3×2=30（个）
长和宽的面上一面涂有颜色的小正方体个数：
5×4×2=40（个）
宽和高的面上一面涂有颜色的小正方体个数：
4×3×2=24（个）
一面涂有颜色的小正方体个数：30+40+24=94（个）
未涂有颜色的小正方体的个数：5×4×3=60（个）
当我们遇到比较复杂的问题，解决起来有困难时，可以尝试先从简单的情况开始，看能否发现规律，再应用规律去解决复杂的问题，这是一种解决问题常用的思想方法。我们也可以用这样的方法去探索新知识。
谢谢观看
