4.4.1《最大公因数》教学设计 教案
教学内容：最大公因数
教学时间： 月 日
课堂类型：新授课
教学目标：
1、理解公因数和最大公因数的意义。
2、利用公因数、最大公因数解决简单的实际问题。
3、进一步发展初步的推理能力，体验数学与生活的联系，增强数学意识。
教学重点：
理解公因数和最大公因数的意义。
教学难点：
利用公因数、最大公因数解决简单的实际问题。
教学方法：
启发式教学、自主探索、合作交流、讨论法、讲解法
教具准备：
多媒体PPT
教学过程：
互动导学内容安排
教学环节 师生互动 设计意图
课堂导入(约5分钟) 1.师：同学们，你们还记得因数和倍数、质数和合数的有关知识吗？现在就让老师来考考你们吧！（课件第2张） (1) 一个数的最小因数是（1），最大因数是（它本身）。 (2) 一个数，只有1和它本身2个因数，这样的数叫做（质数），一个数，除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这样的数叫做（合数）。 怎样找一个数的因数呢？ 用这个数依次除以1、2、3、4...如果商是整数，那么除数和商都是这个数的因数。 2.同学们对因数的知识掌握得非常好，今天我们将继续深入学习因数的有关知识。 （板书课题：最大公因数） 复习旧知，培养学生的迁移能力，为学习新知识做准备。
探究新知(14分钟) 1. 探究公因数和最大公因数的特点。 （1）8和12的公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？ 生1：我先找到8的因数和12的因数有哪些，再找这两个数公有的因数，最后看公有的最大因数是多少。 8和12的公有的因数是1，2，4。公有的最大因数是4 生2：也可以这样表示： 8和12公有的最大因数是4。 2.总结公因数和最大公因数的意义。 （1）什么是公因数？什么是最大公因数？ 生1： 1、2、4是8和12公有的因数，叫做它们的公因数。其中4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。 生2：几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。 3.探究最大公因数的求法。 （1）小组合作：怎样求18和27的最大公因数？ （2）汇报交流： 你是怎样想的？ 生1：我先找出18的因数有：1,2,3,6,9,18；再找出27的因数有：1,3,9,27。18和27的公因数有1,3,9，其中最大的一个是9，所以18和27的最大公因数是9。 生2：我看18的因数中哪些是27的因数，发现18的因数中1,3,9也是27的因数。18和27的最大公因数是9.（课件第8张） 你还有其他方法吗？ 生3: 利用分解质因数法，可以比较简便地求出两个数的最大公因数。（课件第12张） 24=2×2×2×3 36=2×2×3×3 24和36公有的质因数有：2,2,3，所以24和36的最大公因数：2×2×3=12 生4：为了简便，可以把分解质因数法写成短除法的形式。 观察短除法式子，小组讨论，思考：（1）每次用什么去除？（课件第13、14张） （2）除到什么时候为止？ （3）怎样求出最大公因数？ 生：先用24和36公有的质因数2去除，得到商是12和18，再用12和18公有的质因数2去除，得到商是6和9 ，再用6和9公有的质因数3去除，得到商2和3.2和3只有公因数1，除到这一步为止。所有的除数的积就是这两个数的最大公因数。 4.做一做（课件第15张） 把6和24的因数、公因数分别填在相应的位置，再圈出它们的最大公因数。 5、做一做。（课件第16张） 找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？ 4和8 12和36 2和7 8和9 14和15 生1： 4的因数：1,2,4 8的因数：1,2,4,8 4和8的公因数：1,2,4 4和8的最大公因数：4 4是8的因数，4的所有因数都是8的因数。4是4和8的最大公因数。 生2：（课件第17张） 12的因数：1,2,3,4,6,12 36的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36 12和36的公因数：1,2,3,4,6,12；最大公因数：12 12是36的因数，12的所有因数都是36的因数。12是12和36的最大公因数 如果两个数是倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数。 生3：（课件第18张） 2的因数：1， 2 7的因数：1，7 2和7的公因数：1 2和7的最大公因数：1 如果两个数都是质数，那么这两个数的最大公因数就是1。 生4：（课件第19张） 8的因数：1， 2，4，8 9的因数：1，3，9 8和9的公因数：1 8和9的最大公因数：1 8和9是相邻的两个自然数，这两个数的最大公因数是1。 生5：（课件第20张） 14的因数：1， 2，7，14 15的因数：1，3，5，15 14和15的公因数：1 14和15的最大公因数：1 14和15是相邻的两个自然数，这两个数的最大公因数是1。 相邻的两个自然数（0除外）的最大公因数是1. 如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大公因数就是1。 6、说一说：怎样求两个数的最大公因数？（课件第21张） 生1：列举法：先找出两个数的因数，再找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数。 生2：倍数关系：如果两个数是倍数关系，较小数就是这两个数的最大公因数。 生3：质数或相邻关系：如果两个数相邻或都是质数，这两个数的最大公因数就是1。 7、用最大公因数的知识解决问题。（课件第19张） 如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？ （1）阅读与理解：你知道了哪些信息？ 生1：我们知道了贮藏室的长16dm，宽12dm。要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满，而且使用的地砖必须都是整块，要求的问题是选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？ （2）分析与解答：（课件第21张） 生1：要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数。 生2：只要找出16和12的公因数，就可以知道选择边长是几分米的地砖了。 生3：16和12的最大公因数是几，边长最大就是几分米。 生4：16和12的公因数有1，2，4，其中最大公因数是4。（课件第22张） 生5：可以选边长是1dm、2dm、4dm的正方形地砖，边长最大是4dm。 （3）回顾与反思：（课件第23、24、25张） 边长为1dm、2dm、4dm的正方形地砖在储藏室的长、宽上都是整数块吗？ 可以在长方形纸上画一画来验证。 通过画图可以看出，可以选边长是1dm、2dm、4dm的正方形地砖，边长最大是4dm。 通过学生自己利用以前学过的因数的知识，找出这两个数的公有的因数和公有的最大因数，培养学生迁移类推的能力。 通过学生自己思考，讨论，找出求两个数的最大公因数的方法，培养学生的思维能力。
巩固提升(18分钟) 基础练习： 拓展练习：
课堂小结(约3分钟)
课后作业 完成教材63页1、2、4、5题
板 书
教学反思 教材共提供了三种不同的方式求两个数的最大公因数，方法一：分别写出两个数的因数，再找最大公因数；方法二：先找出一个数的所有因数，再看哪些因数是另一个数的因数，最后从中找出最大的；方法三：用分解质因数的方法找两个数的最大公因数。我还给学生补充了用短除法求最大公因数。这么多方法，教师应该向学生重点推荐哪种呢？教材中补充拓展的分解质因数方法学生是否都应掌握呢？短除法是否都应掌握呢？方法一与方法二相比，由于第一种方法便于观察比较，十分直观。因此，在课堂教学中许多学生暗暗地就选择了它。方法二与方法三相比，在数据偏大且因数较多时，如果用分解质因数的方法来求最大公因数不仅正确率高，而且速度也会大幅提高。但是用分解质因数的方法来求最大公因数对一些学生来说又有相当的难度，至于为什么要把两个数全部公有的质因数相乘，一些学生还不太明白。在教学中，我认为教师不能仅仅只是介绍，还有必要让学生们掌握这种方法技能。用短除法求最大公因数我感觉比较简单，学生好接受，好理解。学生可以选择自己喜欢的方法来求两个数的最大公因数。 学会了求两个数的最大公因数，教材又安排了直观的操作活动，主题图中出现的是一幅铺地砖的画面，从而去创设给贮藏室地面铺地砖的情境。这样安排有两点好处：一是学生通过操作活动，能体会公倍数和公因数的实际背景，加深对抽象概念的理解；二是有利于改善学习方式，便于学生通过操作和交流经历学习过程。为了充分体现新教材的编排意图，借助操作活动，让学生经历数学概念的形成过程。在回顾与反思环节中，利用多媒体展示3次铺砖的过程，进一步巩固了学生头脑中形成的概念。4.4.1《最大公因数》同步练习
一、填空题。
1、自然数a除以自然数b，商是16，那么数a和数b的最大公因数是（ ）。
2、所有自然数的公因数是（ ）。
3、21=3×7， 42=2×3×7，21和42的最大公因数是（ ）。
4、14和17的最大公因数是（ ）。
二、判断题。
1、 两个不同的质数的最大公因数一定是1。 （ ）
2、两个合数的公因数不可能只有1。 （ ）
3、偶数都有因数2，因此两个不同的偶数的公因数一定有1和2。
4、9和1没有最大公因数。 （ ）
三、选择题。
1、24和8的公因数有（ ）个．
A.3 B. 4 C.5 D. 6
2、18和32的最大公因数是（ ）．
A. 2 B. 4 C.6 D. 8
3、有两根铁丝，一根长12米，一根长16米，要把它们截成同样长的若干段，都不许有剩余，每段最长（ ）米。
A. 6 B. 5 C.4 D. 3
4、15和16的最大公因数是（ ）。
A. 1 B. 2 C. 3
四、 解答题。
1、把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？
2、用某数去除218，170都余2，问某数最大是多少？
3、现在有香蕉42千克，苹果112千克， ( http: / / www.21cnjy.com )平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了这两种水果各多少千克？
参考答案
一、填空题。
1. 答案：b
解析：自然数a除以自然数b，商是16，说明b是a的因数，b的最大因数是它本身，所以数a和数b的最大公因数就是b。
2.答案：1
解析：所有自然数都有因数1，所以所有自然数的公因数也是1。
3.答案：21
解析：21=3×7， 42=2×3×7，2 ( http: / / www.21cnjy.com )1和42的公有的质因数是3和7，那么21和42的最大公因数就是这两个公有的质因数的乘积3×7=21。
4.答案：1
解析：因为17是质数，它的因数只有1和它本身17，而14的因数中没有17，所以14和17只有公因数1，1也是这两个数的最大公因数。
二、判断题。
1.答案：√
解析：质数只有1和它本身这两个因数，所以两个不同的质数只有公因数1，那么它们的最大公因数一定是1。
2.答案：×
解析：两个合数的公因数也可能只有1，比如8和9，这两个数都是合数，它们的公因数只有1。
3.答案：√
解析：2的倍数都是偶数，说明偶数都有因数2，也都有因数1，因此两个不同的偶数的公因数一定有1和2。
4.答案：×
解析：9和1也有公因数1,也就是说9和1的最大公因数也是1。
三、选择题。
1. 答案：B
解析： 24和8的公因数有1,2,4,8，一共有4个．
2、答案：A
解析：18的因数有1,2,3,6,9,18；32的因数有1,2,4,8,16,32,18和32的最大公因数是2．
3、答案：C
解析：有两根铁丝，一根长12米，一根长16 ( http: / / www.21cnjy.com )米，要把它们截成同样长的若干段，都不许有剩余，求每段最长多少米。每段的长度既是12的因数，也是16的因数，要想每段米数最长，也就是求12和16的最大公因数。12和16的最大公因数是4，所以每段最长是4米。
4.答案：A
解析：15的因数有1,3,5,15；16的因数有1,2,4,8,16，所以15和16的最大公因数是1.
四、解答题
1.答案：120和80的最大公因数是40.120÷40=3（个）80÷40=2（个） 3×2=6（个）
答：可以裁成6块。
解析：把长120厘米，宽8 ( http: / / www.21cnjy.com )0厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，求可以裁成多少块，可以这样想：裁成的正方形的边长既是120的因数，也是80的因数，要想使这样的正方形面积最大，就是求120和80的最大公因数。120和80的最大公因数是40.所以裁成的正方形的边长是40厘米。长方形的长可以裁成120÷40=3个，宽可以裁成80÷40=2个，一共可以裁成3×2=6块。
2. 答案： 218-2=216,170-2=168.216和168的最大公因数是24.
答：这个数是24.
解析：用某数去除218，170都余2， ( http: / / www.21cnjy.com )说明216和168是这个数的倍数。求某数最大是多少，也就是求216和168的最大公因数。216和168的最大公因数是24，所以这个数是24.
3.答案： 42和112的最大公因数是14,42÷14=3（千克）112×14=8（千克）
答：最多分给了多少14个班；每班分得3千克香蕉，分得8千克苹果。
解析：现在有香蕉42千克，苹果11 ( http: / / www.21cnjy.com )2千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，说明分得的班数既是42的因数，又是112的因数。求最多是几个班，也就是求这两个数的最大公因数。42和112的最大公因数是14，所以最多分给了多少14个班；42千克香蕉平均分给14个班，每班分得3千克，112千克苹果平均分给14个班，每班分得8千克。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）(共36张PPT)
人教版 / 数学 /小学/ 五年级下册/第四单元 分数的意义和性质
最大公因数
分数的基本性质数
约分
最大公因数
1
2
理解公因数和最大公因数的意义
利用公因数、最大公因数解决简单的实际问题
3
进一步发展初步的推理能力，体验数学与生活的联系，增强数学意识
重点
难点
利用公因数、最大公因数解决简单的实际问题
理解公因数和最大公因数的意义
1.一个数的最小因数是（ ），最大因数是（ ）。
2.一个数，只有1和它本身2个因数，这样的数叫做（ ），一个数，除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这样的数叫做（ ）。
1
它本身
质数
合数
怎样找一个数的因数？
用这个数依次除以1、2、3、4...如果商是整数，那么除数和商都是这个数的因数。
公因数和最大公因数
8和12的公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？
8和12的公有的因数是1，2，4。公有的最大因数是4。
12的因数
8的因数
1，2，4，8
1，2，4，
6，12
8和12的公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？
也可以这样表示。
12的因数
8的因数
1，2，
8
6，12
4
8和12公有的因数
8和12公有的最大因数是4。
公因数和最大公因数
什么是公因数？什么是最大公因数？
1、2、4是8和12公有的因数，叫做它们的公因数。其中4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。
公因数和最大公因数
怎样求18和27的最大公因数？
求18和27的最大公因数。
18的因数：1，2，3，6，9，18
你是怎样想的？
27的因数：1，3，9，27
它们的公因数1,3,9中，9最大。
18和27的最大公因数是9。
求最大公因数
求18和27的最大公因数。
18的因数：1，2，3，6，9，18
你是怎样想的？
27的因数：1，3，9，27
我看18的因数中哪些是27的因数。
18和27的最大公因数是9。
你还有其他方法吗？
求最大公因数
利用分解质因数法，可以比较简便地求出两个数的最大公因数。
24=2×2×2×3
36=2×2×3×3
24和36的最大公因数：2×2×3=12
24 36
6 9
2
3
12 18
2
2 3
24和36的最大公因数：2×2×3=12
求最大公因数
观察思考：（1）每次用什么去除？
（2）除到什么时候为止？
（3）怎样求出最大公因数？
24 36
6 9
2
3
12 18
2
2 3
24和36的最大公因数：2×2×3=12
小组合作（3分钟）
求最大公因数
观察思考：（1）每次用什么去除？
（2）除到什么时候为止？
（3）怎样求出最大公因数？
24 36
6 9
2
3
12 18
2
2 3
24和36的最大公因数：2×2×3=12
…
用公有的质因数2除
…
用公有的质因数2除
用公有的质因数3除
…
…
除到两个商只有公因数1为止
…
所有除数的积就是这两个数的最大公因数。
求最大公因数
把6和24的因数、公因数分别填在相应的位置，再圈出它们的最大公因数。
24的因数
6的因数
24的因数
6的因数
6和24的公因数
1，
2
3，
6
4，
8
24
1，2，
3，6
1,2,3,4,
6,8,24
求最大公因数
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
12和36
4和8
8和9
2和7
14和15
8的因数：1,2,4,8
4的因数：1,2,4
4是8的因数，4的所有因数都是8的因数。4是4和8的最大公因数。
4和8的公因数：1,2,4
4和8的最大公因数：4
求最大公因数
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
12和36
4和8
8和9
2和7
14和15
36的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36
12的因数：1,2,3,4,6,12
12是36的因数，12的所有因数都是36的因数。12是12和36的最大公因数。
如果两个数是倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
12和36的公因数：1,2,3,4,6,12；最大公因数：12
求最大公因数
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
12和36
4和8
8和9
2和7
14和15
7的因数：1,7
2的因数：1,2
2和7都是质数，它们的公因数只有1。1是2和7的最大公因数。
如果两个数都是质数，那么这两个数的最大公因数就是1。
2和7的公因数：1
2和7的最大公因数：1
求最大公因数
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
12和36
4和8
8和9
2和7
14和15
9的因数：1,3,9
8的因数：1,2,4,8
8和9是相邻的两个自然数，这两个数的最大公因数是1。
8和9的公因数：1
8和9的最大公因数：1
求最大公因数
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
12和36
4和8
8和9
2和7
14和15
15的因数：1,3,5,15
14的因数：1,2,7,14
14和15是相邻的两个自然数，这两个数的最大公因数是1。
14和15的公因数：1
14和15的最大公因数：1
相邻的两个自然数（0除外）的最大公因数是1。
如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大公因数就是1。
求最大公因数
怎样找两个数的最大公因数？
列举法：先找出两个数的因数，再找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数。
倍数关系：如果两个数是倍数关系，较小数就是这两个数的最大公因数。
质数或相邻关系：如果两个数相邻或都是质数，这两个数的最大公因数就是1。
求最大公因数
小组合作（3分钟）
如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
解决问题
如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
1.阅读与理解
你知道了哪些信息？
贮藏室的长16dm，宽12dm。
16dm
12dm
整块正方形地砖正好铺满。
？dm
解决问题
2.分析与解答
要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数。
只要找出16和12的公因数，就可以知道选择边长是几分米的地砖了。
16和12的最大公因数是几，边长最大就是几分米。
解决问题
2.分析与解答
可以选边长是1dm、2dm、4dm的正方形地砖，边长最大是4dm。
16和12的公因数：1，2，3，4，6，12
16和12的公因数有1，2，4，其中最大公因数是4。
解决问题
3.回顾与反思
可以在长方形纸上画一画来验证。
边长为1dm、2dm、4dm的正方形地砖在储藏室的长、宽上都是整数块吗？
16dm
12dm
边长1dm
解决问题
3.回顾与反思
边长为1dm、2dm、4dm的正方形地砖在储藏室的长、宽上都是整数块吗？
16dm
12dm
边长2dm
解决问题
3.回顾与反思
边长为1dm、2dm、4dm的正方形地砖在储藏室的长、宽上都是整数块吗？
16dm
12dm
边长4dm
可以选边长是1dm、2dm、4dm的正方形地砖，边长最大是4dm。
解决问题
1.两个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
2.找最大公因数的方法：
（1）列举法。（2）倍数关系。
（3）质数或相邻关系。
1.填一填
（1）甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公约数是（ ）。
（2）36和60相同的质因数有（ ），它们的积是（ ），也就是36和60的（ ）。
（3）8和9的公因数是（ ），最大公因数是（ ）。
6
2，2
4
最大公因数
1
1
2.把下面分子和分母的最大公因数写在括号内。
2
5
3
1
13
7
用96朵红花和72朵白花做花束，如果每个花束里的红花和白花朵数相等，每个花束里最多有几朵花？
96的因数：1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96
96和72的最大公因数是24。
先求每个花束里红花或白花最多有几朵，也就是求96和72的最大公因数。
72的因数：1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72
每个花束里最多有红花和白花各24朵，所以每个花束里最多有24+24=48朵花。
1.两个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
2.找最大公因数的方法：
（1）列举法。
（2）倍数关系。
（3）质数或相邻关系。
完成教材63页1、2、4、5题
最大公因数
2.找最大公因数的方法：
（1）列举法。
（2）分解质因数法。
（3）质数或相邻关系。
1.两个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
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