沪科版（2012）初中数学七年级下册8.5因式分解的综合运用 教案

课题：因式分解的综合运用
教学目标
1.知识与技能：
理解因式分解的意义，掌握正确的因式分解的方法
2. 过程与方法：
学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思 维能力和综合运用能力。
3.情感与态度：
经历利用多种方法进行因式分解，进一步培养学生综合运用知识的能力
三、教学重点：掌握正确的因式分解的方法。
四、教学难点：因式分解的综合运用。
五、易错点：分解因式不彻底。
六, 教学过程：
一,课前回顾：
1,因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2，要点精析：
(1)因式分解研究的对象是多项式，结果是整式的积．
(2)因式分解是等式变形，形式改变但值不改变．
(3)因式分解必须分解到每个多项式的因式不能分解
为止．
二，传授新课
把下列各式分解因式：
(1)a3－4a2＋4a； (2)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9
(1)直接提取公因式a，再利用完全平方公式，进而得出答案；
(2)直接利用完全平方公式分解因式，进而利用平方 差公式分解因式．
解：
(1) a3－4a2＋4a
＝a(a2－4a＋4)
＝a(a－2)2；
(2) (x2－1)2＋6(1－x2)＋9
＝(x2－1－3)2
＝(x＋2)2(x－2)2．
例1,因式分解：x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)．
解析：先提取公因式(y2－1)，再对余下的多项式利用完全
平方公式继续分解，对公因式利用平方差公式分解 因式．
解： x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)
＝(y2－1)(x2＋2x＋1)
＝(y2－1)(x＋1)2
＝(y＋1)(y－1)(x＋1)2.
因式分解时，要注意综合运用所学的分解方法，
常用的分析思路是： (1)提公因式法；(2)公式法．
有时，需要反复利用公式法因式分解，直至每一个因式都不能分解为止．注意综合利用乘法公式，既用到平方差公式又用到完全平方公式．
.当多项式不能使用提取公因式法和公式法进行分解
时，可以将多项式进行分组，这种分解因式的方法
叫做分组分解法．一般地，这类多项式有四项或四 项以上．
2.分组的目的是组与组之间有公因式可提或可以运用公式进行分解．
三，巩固提高
1.分解因式：a2 －b2－c2 －2bc－2a＋1
分析：当被分解的式子是六项式时，应考虑运用分组分解法进行分解，先用完全平方公式，再用平方差公式解答．
解： a2－ b2－c2－ 2bc－2a ＋1
＝(a2－2a＋1)－ (b2 ＋ c2 ＋2bc)
＝(a－1)2－ (b＋ c)2
＝(a－1＋ b＋ c )(a－1－ b－c)．
四: 能力提升
1，若42x2－31x＋2能分解成两个因式的乘积且有一个因式为6x－4，设另一个因式为mx－n，其中m，n为常数．请你求m，n的值．
解：(6x－4)(mx－n)＝6mx2－4mx－6nx＋4n
＝6mx2－(4m＋6n)x＋4n，
由题意可得42x2－31x＋2＝6mx2－(4m＋6n)x＋4n，
6m=42,
m=7,
所以 4m+6n=31, 解得
n=0.5 .
4n=2,
对于有些多项式，直接用提公因式和公式法不能直接进行因式分解。用分组分解法分解后，仍好象缺一些项，这类的多项式该如何进行因式分解呢？
如：4x4+1
解：原式=（2x2）2+12
=（2x2）2+12 +4x2-4x2
=[(2x2)2+4x2+12]-4x2
=(2x2+1)2-(2x)2
=(2x2+2x+1) (2x2-2x +1)
用添项法使用的条件:
1）一般多使用完全平方公式。
2）直接用完全平方公式，缺项。
3）已给的数的次数比较高（都是2的倍数）。
因式分解 :
5x2–6xy–8y2
五：课堂小结
通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变” 的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利 用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解 法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公 式法继续分解，若上述方法都行不通，则可以尝试用配“十字相乘”法、换元法、待定系数法、拆项(添项)等方 法．
六：课外作业：
1.必做: 完成教材P77练习，习题8.4T2-T3
2.补充: 请完成《基础训练》剩余部分习题