3.1.5《圆柱体积公式的推导与计算》教案 教学设计
教学内容：圆柱体积公式的推导与计算
教学时间： 月 日
课堂类型：新授课
教学目标：
1.理解圆柱体积计算公式的推导过程,会运用公式计算圆柱的体积。
2.经历推导圆柱体积公式的过程,并能熟记公式。
3.初步建立空间观念和逻辑推理能力。。
教学重点：
圆柱体积公式的推导和应用。
教学难点：
理解圆柱体积公式的推导过程,并渗透等积变形的思想。
教学方法：
1.在教法上,教师充分利用多媒体直观教学演示,引导学生观察比较,使学生在丰富感性认识的基础上,在教师的指导下,推导出圆柱体积计算的公式,并运用已学公式解决实际问题,充分发挥直观教学在知识形成过程中的作用。
2.在学法上,通过观察、比较、推理让学生自主探究,利用小组合作交流概括出圆柱体积的推导过程,并利用所学知识解决实际问题。
教具准备：
多媒体PPT
教学过程：
互动导学内容安排
教学环节 师生互动 设计意图
课堂导入(约5分钟) 1.复习圆面积公式的推导过程:大家还记得我们在学习圆的面积时是怎样推导出圆的面积公式的吗 2.学生回忆,教师利用课件演示。 提问:当我们把圆分的没法再分时,所拼成的图形就是一个什么图形 3.回忆:我们在推导圆面积的公式时经历了怎样的过程 把新图形转化为旧图形,找到新旧图形的联系,推导出圆的面积公式。 课件展示法: 课件演示圆柱体积计算公式的推导过程: ①将圆柱等分4份、8份、16份、32份,使学生观察到由曲变直的变化。 ②展开想象:引导学生想象如果等分成64份、128份,再继续分下去会怎样,从而认可由曲变直的趋势。 ③得出结论:最后就能得到一个真正的长方体,而不是近似的长方体。 复习导入的特点既对旧知识进行了复习巩固,又给学生自由想象的空间,使学生勇于探索,有所收获。
探究新知(14分钟) 师生合作,探究新知 教学例5,圆柱体积计算公式的推导。 (1)用将圆转化成长方形求出圆的面积的方法来推导圆柱的体积。 (2)课件演示图形由曲到直的变化过程。 (3)通过观察,比较、讨论。 (4)引导归纳。 长方体的体积=底面积×高,所以圆柱的体积=底面积×高,即:V=Sh。 教学例6、 (1)教学例6 ①出示例6,并让学生思考:要知道杯子能不能装下这袋牛奶,需要先计算什么 ②学生尝试完成例6。 ③集体订正。 杯子的底面积: 3.14×(8÷2)2 =3.14×42 =3.14×16 =50.24(cm2) 杯子的容积: 50.24×10 =502.4(cm3) =502.4(mL) 答:因为502.4大于498,所以杯子能装下这袋牛奶。 在推导出圆柱体积的计算公式、学习完例6和例7的基础上,让学生及时消化吸收,教师提出质疑,师生共同系统整理。 质疑一:圆柱的体积推导公式的过程是怎样的 圆柱的体积公式是什么 师生共同总结:(1)圆柱体积公式的推导是通过把圆柱的底面分成许多相等的扇形,把圆柱切开拼起来,得到一个近似的长方体。分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于长方体。 (2)圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh。 质疑二:怎样解决有关求圆柱体积的实际问题 师生共同总结: (1) 分析题意,找到已知条件。 (2) 明确计算圆柱体积的计算公式。 (3) 根据实际情况列式计算。 推导圆柱体积计算公式时,需要学生观察、比较,形象地感悟其中的转化过程,只有这样才能帮助学生理解图形之间的联系和变化。 此环节教师引导学生利用公式,自主尝试解决问题,采取实物演示、合作探究、让学生独立计算汇报结果的方式传授知识,体现了“以学生为主体,教师为主导”的教学原则。
巩固提升(18分钟) 基础练习： 拓展练习：
课堂小结(约3分钟) 1.圆柱的体积计算公式:V=Sh; 2.圆柱的容积:容积的计算公式和计算方法和体积相同,但是单位不同; 3.不规则物体的体积:把不规则的物体转化成规则的。 衔接下节课的内容,大家已经学习了有关圆柱的知识,那么下节课我们学习有关圆锥的知识,给大家留一个任务:
教学反思 回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消化吸收的过程,这次内化把圆柱的体积公式和解决生活中有关求圆柱体积的实际问题真正掌握了。待改进之处:在解决有关不规则物体的体积时,对于大多数学生来说是一个难点,不好理解,学生在探索的过程中,需要教师在关键时刻给予适当的讲解和点拨,让学生在良好的合作研究氛围下,体会到转化思想的玄妙。3.1.5《圆柱体积公式的推导与计算》
一、填空题。
1. 一个圆柱的底面半径为2厘米，侧面展开后正好是一个正方形，圆柱的体积是（ ）立方厘米．
2. 一根圆柱形钢条，长2米，把它横截成两段，表面积增加了6平方分米，这根钢条的体积是（ ）立方米．
3.一段圆柱形木料，底面积是78.5平方分米，高是20厘米，它的体积是（ ）．
4. 把棱长2分米的正方体木块，削成一个体积最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（ ）．
二、判断题。
1．圆柱体的底面积越大，它的体积越大。( )
2. 圆柱体的高越长，它的体积越大。( )
3. 圆柱体的体积与长方体的体积相等。( )
4. 圆柱体的底面直径和高可以相等。( )
三、选择题。
1.一个长方形的长是6厘米，宽是2厘米．以它的长为轴旋转一周所得到的圆柱体的体积是（ ）
A. 75.36立方厘米
B. 150.72立方厘米
C. 56.52立方厘米
D. 226.08立方厘米
2. 圆柱体的底面半径和高都扩大2倍，它的体积扩大的倍数是（ ）
A. 2倍
B. 4倍
C. 8倍
3.一个正方形的边长2厘米，以正方形的一条边为轴旋转一周所得形体的体积是（ ）立方厘米．
A. 50.24
B. 12.56
C. 25.12
D. 6.28
四、解答题
1. 小明为了测量出一只鸡蛋的体积，按如下的步骤进行了一个实验：
①在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；
②将鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6厘米．
如果玻璃的厚度忽略不计，这只鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？（得数保留整数）
2. 将图中的长方形，以虚线为轴旋转一周，得到的立体形的体积是多少？
参考答案
一、填空题。
1. 157.75362.
6平方分米=0.06平方米
0.06÷2×2=0.06（立方米）
解析：增加的表面积是圆柱形钢条2个底面的面积，从而可以求出钢条的底面积，进而依据圆柱的体积公式求出这根钢条的体积．
3. 20厘米=2分米， 78.5×2=157（立方分米）
4. 3.14×（2÷2）2×2，
=3.14×1×2，
=6.28（立方分米）
二、判断题。
1.×
解析：圆柱体的高不变，底面积越大，它的体积越大。
2. ×
解析：圆柱体的底面积不变，高越长，它的体积越大。
3.×
解析：等底等高的圆柱体的体积与长方体的体积相等。
4.√
三、选择题。
1.A
解析：将一个长为6厘米，宽是2厘米的长方 ( http: / / www.21cnjy.com )形，以它的长为轴旋转一周所围成的圆柱体的底面半径是2厘米，高是6厘米；要求它们的体积，可利用圆柱的体积公式V=SH，列式解答即可．
2.C
解析：若圆柱的底面半径扩大2倍，则它的底面积就扩大4倍；高也扩大2倍，那么体积就扩大8倍，所以应选C。
3. C
四、解答题
1.底面积 S=πr2=3.14×（8÷2）2=50.24（平方厘米）
水的体积 V=sh=50.24×5=251.2（立方厘米）
放入鸡蛋后水的体积 V=sh=50.24×6=301.44（立方厘米）
鸡蛋的体积=放入鸡蛋后水的体积-水的体积
=301.44-251.2
=50.24（立方厘米）
≈50（立方厘米）
答：这只鸡蛋的体积大约是50立方厘米．
解析：圆柱的底面是圆形，又知道底面直径是8 ( http: / / www.21cnjy.com )厘米，则可以根据圆的面积公式算出这个圆柱的底面积；进而利用圆的体积公式算出水的体积和放入鸡蛋后水的体积，再根据“鸡蛋的体积=放入鸡蛋后水的体积-水的体积”这个等量关系算出鸡蛋的体积，最后不要忘记把答案保留整数．
2. 3.14×32×4，
=3.14×9×4，
=113.04（立方厘米），
答：得到的是一个圆柱体，体积是113.04立方厘米。
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人教版 / 数学 /小学/ 六年级下册/第三单元 圆柱与圆锥
圆柱体积公式的推导与计算
圆柱表面积（二）数
圆柱形规则容器容积计算方法
圆柱体积公式的推导与计算
1
2
理解圆柱体积计算公式的推导过程,会运用公式计算圆柱的体积
经历推导圆柱体积公式的过程,并能熟记公式
3
初步建立空间观念和逻辑推理能力
重点
难点
初步建立空间观念和逻辑推理能力
经历推导圆柱体积公式的过程,并能熟记公式
你们还记得圆的面积的计算公式吗，它是怎么推导出来的？
o
o
非常接近一个长方形，如果我们分得越小，把它们拼起来就越接近长方形。
我们只要算出这个长方形的面积，就知道了圆的面积。
从上图中可以看出圆的半径是r，长方形的长近似（ ），宽近似于（ ）。
因为长方形的面积＝（ ）×（ ）
所以圆面积＝（ ）×（ ）＝（ ）
如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ：
圆周长的一半
圆的半径
长
宽
πr
r
πr
S＝πr
我们用转化的方法，将圆的面积转化成了长方形，通过计算长方形面积，就算出了圆的面积。
想一想：圆的面积计算公式是怎样推导的？
圆
长方形
利用了（ ）的思想方法
转化
S圆=πr2
你还记得正方体和长方体的体积怎么计算吗？
圆柱的体积怎样计算呢？能不能将圆柱转化成我们学过的立体图形，计算出它的体积呢？
正方体体积=棱长×棱长×棱长
长方体体积=长×宽×高
或者=底面积×高
V=a×a×a
V=a×b×c
V=sh
把圆柱的底面分成许多相等的扇形。
把圆柱切开，再像这样拼起来，得到一个近似的长方体。
分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体。
①圆柱通过切拼后，转化为近似的长方体，什么变了 什么没变
②长方体的底面积与原来圆柱的哪部分有关系 有什么关系
③长方体的高与原来圆柱的哪部分有关系 有什么关系
④你认为圆柱的体积可以怎样计算
长方体的体积与圆柱的体积相等。
长方体的底面积等于圆柱的底面积。
长方体的高等于圆柱的高。
圆柱的体积＝ 底面积 × 高
长方体的体积＝ 底面积 × 高
用字母表示: V ＝Sh＝ πr2h
下图中的杯子能不能装下这袋牛奶？（数据是从杯子里面测量得到的。）
解决这个问题就是要计算什么
10cm
8cm
下图中的杯子能不能装下这袋牛奶？（数据是从杯子里面测量得到的。）
杯子的容积
容积的计算方法与体积的计算方法相同
10cm
8cm
杯子的底面积：3.14×(8÷2)2
＝3.14×42
＝3.14×16
＝50.24 (cm2 )
杯子的容积： 50.24×10
＝502.4 (cm3 )
＝502.4 (mL)
答：因为502.4大于498，所以杯子能装下这袋牛奶。
10cm
8cm
1.圆柱的体积计算公式:V=Sh;
2.圆柱的容积:容积的计算公式和计算方法和体积相同,但是单位不同;
3.不规则物体的体积:把不规则的物体转化成规则的。
衔接下节课的内容,大家已经学习了有关圆柱的知识,那么下节课我们学习有关圆锥的知识,给大家留一个任务:
75 ×90 ＝6750(cm3)
答：它的体积是6750cm3。
1. 一根圆柱形木料，底面积为75cm2 ，长90cm。它的体积是多少？
2. 一个圆柱的体积是80cm ,底面积是16cm2。它的高是多少厘米？
80 ÷16 ＝5（cm）
答：它的高是5cm。
3. 李家庄挖了一口圆柱形水井，地面以下的井深10米，底面直径为1米，挖出的土有多少立方米？
提示1：求挖出的土有多少立方米，实际上是求什么？
实际上是求井下部分圆柱的容积。
提示2：要求这个圆柱的容积，需要知道哪些数据？
需要知道这个圆柱的底面积和高
提示3：你能想办法算出来吗？
V圆柱=Sh = πh
=3.13××10
=3.14××10
7.85(
r = 米）
d =
答：挖出的土方有7.85立方米。
（ ）
答：两个花坛中共需要填土7.065立方米。
两个花坛需要填土：7.065×0.5×2
＝7.065（m ）
学校建了两个同样大小的圆柱形花坛。花坛的底面内直径为3m，高为0.8m。如果里面填土的高度是0.5m，两个花坛中共需要填土多少立方米？
花坛的底面积：3.14×(3÷2)
＝3.14×1.5
＝3.14×2.25
＝7.065 (m2 )
2
谢谢观看
