北师大版七年级数学下册 第四章 三角形 单元测试训练卷（word版 含解析）

北师大版七年级数学下册
第四章 三角形
单元测试训练卷
一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各组数为边，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，4，8 D．3，5，9
2．如图，，，则（ ）
A．65° B．60° C．45° D．110°
3．如图，，要使，还需添加一个条件，那么在以下条件中不能选择的是（ ）
A． B． C． D．
4．若△ABC的一个外角等于其中一个内角，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
5．如果一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）．
A．3 B．4 C．7 D．10
6．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事．
A．① B．② C．③ D．①③
7．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD=6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，点P以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒（ ）秒时．△ABP和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
8．如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．∠1＝∠2 C．∠C＝∠D D．AD＝BC
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE=10，BD＝4，则DE的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．8
10．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．用木棒钉成一个三角架，两根小棒长分别是7cm和10cm，第三根小棒长为xcm，则x的取值范围是___．
12．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带________去玻璃店．
13．如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，添加一个条件能判断△ABE≌△ACD的是____．
14．如图，，，，，，则_______．
15．在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC＝4cm2，则S△ABE＝_____．
16．如图，和均为等边三角形，，分别在边，上，连接，，若，则__________．
三、解答题（共6小题， 56分）
17．如图，在中，，垂足为，，垂足为，，与相交于点．
(1)请说明的理由．
(2)如果，试说明平分的理由．
18．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C=∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
(1)求证：∠AEF=∠AFE；
(2)G为BC上一点且FE平分∠AFG．求证：AB=GB
19．如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．求证：
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF．
20．探索归纳：
(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则________．
(2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则__________．
(3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想与的关系是___________．
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系并说明理由．
21．在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E．
(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝　 　；
(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；
(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
22．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动；设点P的运动时间为t秒．
(1) PB=________ cm．（用含t的代数式表示）
(2)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1秒时，△ACP与△BPQ是否全等？并说明理由．
(3)如图2，将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其余条件不变；设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐项分析判断即可．
【详解】
解：A. 1+2=3 ，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
B. 2+3＞4，能构成三角形，故该选项符合题意；
C. 4+4=8，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
D. 3+5<9，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了构成三角形的条件，掌握三角形三边关系是解题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
由∠1=∠2，可得∠BAC=∠EAD，又AC=AD，可知在△ABC和△AED中，已知一角及其临边对应相等，要证两三角形全等，任意再找一对角对应相等，或者找已知角的另一边对应相等，由此可得答案．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠EAD，
当AB=AE时，根据SAS可得；
当时，根据ASA可得；
当时，根据AAS可得；
当BC=ED时，SSA不能判定两个三角形全等，
故答案为：B
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，角的和差是常考的判定已知角相等的方法，熟知三角形全等的判定定理是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质、邻补角的概念计算即可．
【详解】
解：∵三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，
∴△ABC的一个外角等于其中一个内角时，这个外角等于它的邻补角，
∴这个三角形必有一个内角等于90°，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据三角形三边之间的关系即可判定．
【详解】
解：设第三边长为x，则4故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．
6．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去．
【详解】
解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，正确理解“角边角”的内容是解题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
分P点在线段BC上和P点在线段AD上两种情况讨论，当P点在线段BC上时得到∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2进而求解；当P点在线段AD上时得到∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2进而求解．
【详解】
解：由题意可知：AB=CD，
当P点在线段BC上时：∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，此时△ABP≌△DCE(SAS)，
由题意得：BP=2t=2，
∴t=1；
当P点在线段AD上时：∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，此时△BAP≌△DCE(SAS)，
由题意得：AP=16-2t=2，
∴t=7．
∴当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，注意要分类讨论，熟练掌握三角形全等判定方法是解题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．
【详解】
解答：解：A.∵AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，
∴根据SAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
B.∵∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，∠1＝∠2，
∴根据ASA能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
C.∵∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，
∴根据AAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
D.根据AD＝BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
9．A
【解析】
【分析】
根据∠BAC＝90°得到∠BAD+∠CAD＝90°，由于CE⊥AD于E，于是得到∠ACE+∠CAE＝90°，根据余角的性质得到∠BAD＝∠ACE，推出△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AD于E，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE＝BD＝4，AD＝CE＝10，
∴DE＝AD﹣AE＝6．
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用余角的性质得到∠BAD＝∠ACE．
10．A
【解析】
【分析】
①利用三角形内角和定理即可说明其正确；②利用垂直平分线的性质即可说明其正确；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论；⑤利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论．
【详解】
如图所示，设EH与AD交于点M，
∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，
故①正确；
∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∴∠AFE＝∠BFD＝45°，
∵BE⊥AC，
∴∠FAE＝∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∵EM是∠AEF的平分线，
∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH为AF的垂直平分线，
∴AH＝HF，
∴②正确；
∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同理，BD＝DF，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）,
∴③正确；
∵△ABD≌△CFD，
∴CF＝AB，
∵CH＝CF+HF，
由②知：HF＝AH，
∴CH＝AB+AH，
∴④正确；
∵BD＝DF，CD＝AD，
又∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF，
∴⑤正确，
综上，正确结论的个数为5个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
11．3＜x＜17
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定出第三边的取值范围即可得出答案．
【详解】
解：设第三根小棒的长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
10-7＜x＜10+7，
即3＜x＜17，
故答案为3＜x＜17．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．
12．③
【解析】
【分析】
观察每块玻璃形状特征，利用ASA判定三角形全等可得出答案．
【详解】
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
【点睛】
本题属于利用ASA判定三角形全等的实际应用，难度不大，但形式较颖，要善于将所学知识与实际问题相结合．
13．AD＝AE（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理添加条件可以，添加AD＝AE，根据SAS证明△ABE≌△ACD即可．
【详解】
解：添加的条件是AD＝AE，
理由是：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
故答案为：AD＝AE（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．17
【解析】
【分析】
由“”可证，可得，，即可求解．
【详解】
解：，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等．
15．1cm2
【解析】
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵D是BC的中点，S△ABC＝4cm2
∴S△ABD＝S△ABC＝×4＝2cm2
∵E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD＝×2＝1cm2
故答案为：1cm2．
【点睛】
本题考查了三角形中线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质，从而完成求解．
16．##45度
【解析】
【分析】
根据题意利用全等三角形的判定与性质得出和，进而依据进行计算即可.
【详解】
解：∵和均为等边三角形，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
17．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）由余角的性质可证，根据“ASA”可证结论成立；
（2）由可得，结合可知，然后根据“SAS”证明△ABD≌△ACD可证结论成立．
(1)
证明：，，
，∠AEB=∠CEB=90°，
，∠EBC+∠C=90°，
，
在与中，
，
．
(2)
解：由（1）知，，
，，
是的中点，
，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，
∴，
平分．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，再由三角形外角的性质得到∠AEF=∠2+∠C，∠AFE=∠1+∠BAD，由∠C=∠BAD，即可推出∠AEF=∠AFE；
（2）根据角平分线的定义得到∠AFE=∠GFE，再由∠AFB＋∠AFE=180°，∠BFG+∠GFE=180°，得到∠AFB=∠BFG，然后证明△ABF≌△GBF即可得到AB=GB．
(1)
解：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠AEF、∠AFE分别是△BCE、△ABF的外角，
∴∠AEF=∠2+∠C，∠AFE=∠1+∠BAD，
又∵∠C=∠BAD，
∴∠AEF=∠AFE；
(2)
解：∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE=∠GFE，
∵∠AFB＋∠AFE=180°，∠BFG+∠GFE=180°，
∴∠AFB=∠BFG，
在△ABF和△GBF中
，
∴△ABF≌△GBF(ASA)
∴AB=GB．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证．
(1)
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
(2)
如图，设AB交CE于D
根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
所以EC⊥BF．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用“8字型”证明角相等．
20．(1)270
(2)220
(3)
(4)，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解；
(2)利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
(3)根据(1)、(2)中思路即可求解；
(4)根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，，最后利用即可求解．
(1)
解：如下图所示：
在△AEF中，由外角性质可知：∠1=∠A+∠EFA=90°+∠EFA，∠2=∠A+∠AEF=90°+∠AEF，
∴∠1+∠2=(90°+∠EFA)+( 90°+∠AEF)=180°+∠EFA+∠AEF，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠A=90°，∠EFA+∠AEF=180°-∠A=90°，
∴∠1+∠2=180°+90°=270°．
(2)
解：如下图所示：
在△AEF中，由外角性质可知：∠1=∠A+∠EFA，∠2=∠A+∠AEF，
∴∠1+∠2=(∠A+∠EFA)+( ∠A+∠AEF)=(∠A +∠EFA+∠AEF)+∠A=180°+40°=220°．
(3)
解：由(1)、(2)中思路，由三角形外角性质可知：
∠1=∠A+∠EFA，∠2=∠A+∠AEF，
∴∠1+∠2=(∠A+∠EFA)+( ∠A+∠AEF)=(∠A +∠EFA+∠AEF)+∠A=180°+∠A，
∴与的关系是：∠1+∠2=180°+∠A．
(4)
解：与的关系为：，理由如下：
如图，
∵是由折叠得到的，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴与的关系．
【点睛】
主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
21．(1)BD﹣EC
(2)BD＝DE﹣CE．见解析
(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
【解析】
【分析】
（1）通过互余关系可得∠ABD＝∠CAE，进而证明△ABD≌△ACE（AAS），即可求得BD＝AE，AD＝EC，进而即可求得关系式；
（2）方法同（1）证明△ABD≌△CAE（AAS），进而得出结论；
（3）综合（1）（2）结论，分当B，C在AE的同侧或异侧时，写出结论即可．
(1)
结论：DE＝BD﹣EC．
理由：如图1中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE+CE，
即DE＝BD﹣EC．
故答案为：BD﹣EC；
(2)
结论：BD＝DE﹣CE．
理由：如图2中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE﹣CE；
(3)
归纳：由（1）（2）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；
当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22．(1)（12-3t）
(2)△CAP≌△PBQ，理由见解析
(3)满足条件的点Q的速度为3或cm/s．
【解析】
【分析】
（1）求出AP，再根据题意写出PB的值即可；
（2）求出AP，PB，BQ的值，根据SAS证明△CAP≌△PBQ（SAS）即可；
（3）分两种情形分别求解：①由（1）可知，Q的速度为3cm/s时，△ACP≌△BPQ，这种情形符合题意．②当PA=PB，AC=BQ时，△APC≌△BPQ（SAS），首先确定运动时间，再求出点Q的运动速度即可．
(1)
解：由题意：PA=3t（cm），
∵AB=12cm，
∴PB=AB-AP=12-3t（cm），
故答案为：（12-3t）；
(2)
解：△CAP≌△PBQ，理由如下：
由题意：t=1（s）时，PA=BQ=3（cm），
∵AB=12cm，
∴PB=AB-AP=12-3=9（cm），
∵AC=9cm，
∴AC=BP，
∵∠CAP=∠PBQ=90°，PA=BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS）；
(3)
解：①由（2）可知，Q的速度为3cm/s时，△ACP≌△BPQ，这种情形符合题意．
②当PA=PB，AC=BQ时，△APC≌△BPQ（SAS），
∵t==2（s），
∴点Q的运动速度为cm/s．
∴满足条件的点Q的速度为3或cm/s．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页