人教版八年级数学下册 18-2特殊平行四边形 解答题训练（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册 18-2特殊平行四边形 解答题训练（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 383.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-15 11:33:09 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学下册《18-2特殊平行四边形》
解答题优生辅导训练（附答案）
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，菱形BNDM的面积为120，求菱形BNDM的周长．
2．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝3，BC＝5，求EF的长．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：△NED≌△MEA．
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．
5．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G为EF中点，连接BD、DG．
（1）试判断△ECF的形状，并说明理由；
（2）求∠BDG的度数．
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝6，BD＝8，求CE的长．
7．如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AB，BC上，△DEF是等边三角形，连接BD交EF于点G．
（1）求证：BE＝BF；
（2）若DE＝2，求BD的长．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，则∠AEC＝ ；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
10．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
11．在△ABC中，过A作BC的平行线，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上一点，连接DE，交AB于点F，∠CAD+∠BED＝180°．
（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；
（2）如图2，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，点G、H分别是AD、AC边中点，连接CG、EG、EH，不添加字母和辅助线，直接写出图中与△CEH所有的全等的三角形．
12．如图，四边形ABCD为正方形，E为AD上一点，连接BE，∠AEB＝60°，M为BE的中点，过点M的直线交AB、CD于P、Q．
（1）如图1，当PQ⊥BE时，求证：BP＝2AP；
（2）如图2，若∠APQ为锐角，且PQ＝BE，延长BE、CD交于点N，请你猜想QM与QN的数量关系，并说明理由．
13．如图，点G在正方形ABCD的边CD上，且四边形CEFG也是正方形，连接BG，DE，AF，取AF的中点M，连接CM．
求证：（1）BG＝DE；
（2）CM＝AF．
14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数．
15．如图，点O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于F，在BF的延长线上取FG＝OD，连接AG，OF．
（1）求证：四边形AOFG为菱形；
（2）若AD＝5，DF＝8，求BG的长．
16．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
17．如图， ABCD，BE⊥AD于E，交AC于M，DF⊥BC于F，交AC于N，连接DM、BN．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）当 ABCD是菱形时，判断四边形MBND的形状，并说明理由．
18．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD的垂直平分线分别交边AD、BC于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BOC＝120°，AB＝6，求FC的长．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，∠BAC＝30°，求DE的长．
20．如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．
参考答案
1．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵菱形BNDM的面积为120＝×BD×MN，
∴MN＝10，
∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．
2．证明：（1）∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝BC＝CE，
又∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形．
∴四边形AECD是菱形．
（2）过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝，
∵，
∴，
∴AG＝，
又∵S菱形AECD＝CD EF＝CE AG，
∵CD＝CE，
∴EF＝AG＝．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝．
4．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥AB，
∴∠DNE＝∠AME，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
在△NED和△MEA中
，
∴△NDE≌△MAE（AAS）；
（2）当AM＝2时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
由（1）知△NED≌△MEA，
∴NE＝ME，
又∵DE＝AE，
∴四边形AMDN是平行四边形，
∵菱形ABCD，AB＝4，E为AD中点，
∴AE＝2＝AM，
又∵∠DAB＝60°，
∴△MEA为等边三角形，
∴AE＝ME，
∴AD＝MN，
∴平行四边形AMDN为矩形．
5．（1）解：△ECF是等腰直角三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴∠CEF＝45°，AB＝BE，
∴∠F＝90°﹣45°＝45°，
∴EC＝FC，
又∵∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵AB＝BE，
∴BE＝CD，
∵EC＝FC，∠ECF＝90°，
∴CG＝EF＝EG，∠ECG＝∠ECF＝45°，
∴∠DCG＝90°+45°＝135°，
∵∠BEG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DCG＝∠BEG，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS），
∴DG＝BG，∠DGC＝∠BGE，
∴∠BGD＝∠EGC＝90°，
又∵DG＝BG，
∴∠BDG＝45°．
6．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝BD＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝2，
∴AC＝2OA＝4，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×8＝16，
∵CE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝6CE＝16，
∴CE＝．
7．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE＝CF．
又∵AB＝BC，
∴AB﹣AE＝BC﹣CF，
∴BE＝BF；
（2）解：由（1）可知BE＝BF，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD平分∠ABC，
∴点G为EF的中点，BD⊥EF，
∵△DEF为等边三角形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，BG＝EG＝1，
在Rt△EDG中，由勾股定理得，
DG＝
＝
＝，
∴BD＝BG+DG＝1+．
8．证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD，则AF＝DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，
∴AD＝DC，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（3）∵△ABC是直角三角形，AB＝6，BC＝10，BD＝DC，
∴AD＝DC＝5，AC＝，
∵四边形ADCF是菱形，
∴AC⊥DF，
∴DE＝，
∴，
即，
解得：DG＝．
9．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DC＝DE，DA＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°﹣20°）＝80°，∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝80°+55°＝135°，
故答案为：135°；
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．
10．证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②结论：EF＝2CG，理由如下：
∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，
∴∠GCE＝∠GCF，
∴CG＝GE，
∴EF＝2CG；
（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝8，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2；
②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝6，
在Rt△DCE中，CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2
综上所述，BE的长为 6+2或6﹣2．
11．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEB，
∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠DEB+∠CAD＝180°，
∴∠DEC＝∠DAC，
∴∠ADE+∠DAC＝180°，
∴DE∥AC，
∴四边形ACED是菱形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴菱形ACED是正方形，
∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，
AC＝AD＝CE，
∵G是AD的中点，H是AC边中点，
∴AG＝DG＝CE，
∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），
∵BC＝2AC，
∴BE＝CE＝AD，
∵AD∥BE，
∴∠B＝∠DAF，
∵∠AFE＝∠BFE，
∴△BFE≌△AFD（AAS），
∵AD＝CE＝BE，
∴△BEF≌△ECH，
∴图中与△CEH全等的三角形有△ADF，△EDG，△CAG，△EBF．
12．（1）证明：连接PE，如图1，
∵点M是BE的中点，PQ⊥BE，
∴PQ垂直平分BE，
∴PB＝PE，
∴∠PEB＝∠PBE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠APE＝∠PBE+∠PEB＝60°，
∴∠AEP＝90°﹣∠APE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A＝90°，
∴BP＝EP＝2AP；
（2）解：NQ＝2MQ或NQ＝MQ．理由如下：
分两种情况：
如图3所示，过点Q作QF⊥AB于点F，交BN于点G，则FQ＝CB，
∵正方形ABCD中，AB＝BC，
∴FQ＝AB．
在Rt△ABE和Rt△FQP中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△FQP（HL），
∴∠FQP＝∠ABE＝30°，
又∵∠MGQ＝∠BGF＝∠AEB＝60°，
∴∠GMQ＝90°，
∵CD∥AB．
∴∠N＝∠ABE＝30°，
∴NQ＝2MQ；
如图2所示，
过点Q作QF⊥AB于点F，则QF＝CB，
同理可证：△ABE≌△FQP，
此时∠FPQ＝∠AEB＝60°，
又∵∠FPQ＝∠ABE+∠PMB＝60°，∠N＝∠ABE＝30°，
∴∠EMQ＝∠PMB＝30°，
∴∠N＝∠EMQ，
∴NQ＝MQ．
13．（1）证明∵四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形，
∴BC＝CD，CG＝CE，
在Rt△BGC和Rt△DEC中，
∴Rt△BGC≌Rt△DEC（HL），
∴BG＝DE，
（2）连接AC，FC，
∴∠ACD＝∠FCD＝45°，∠ACF＝90°，
∴△ACF为直角三角形，
又∵M是AF的中点，
∴CM＝AF．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
∴AE＝AF，
（2）连接AP，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，∠FAE＝90°，
在Rt△EAF和Rt△ECF中，P是EF中点，
∴PA＝PC＝PE＝PF＝EF，
又∵AE＝AF，∠AEB＝75°，
∴∠AEP＝45°，∠CEP＝∠ECP＝60°，
∴∠DCP＝30°，
在△APD和△CPD中，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠CDP＝45°，
∴∠CPD＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
15．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵DE⊥AC，BF∥AC，
∴OF＝OD＝OA，
∵FG＝OD，
∴FG＝OA，
∵FG∥OA，
∴四边形AOFG为菱形；
（2）∵AD＝5，DF＝8，
∴DE＝EF＝4，AE＝3，
在Rt△DEO中，设OE＝x，由勾股定理得：（x+3）2﹣42＝x2，
解得：x＝，
∴OD＝，OE＝，
∴BF＝2OE＝，FG＝OD＝，
∴BG＝GF+BF＝．
16．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形，
理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
∵D是BC的中点，
∴DB＝DC，
∴AF＝DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴四边形ADCF是正方形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝∠DCB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵BE⊥AD，DF⊥BC，
∴∠DAB+∠ABM＝90°，∠DCB+∠CDN＝90°，
又∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠ABM＝∠CDN，
在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（ASA）；
（2）解：四边形MBND是菱形，理由如下：
∵BE⊥AD，DF⊥BC，AD∥BC，
∴BE∥DF，
由（1）知△ABM≌△CDN，
∴BM＝DN，
∴四边形MBND是平行四边形，
连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即MN⊥BD，
∴平行四边形MBND是菱形．
18．（1）证明：∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，FB＝FD，BO＝DO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OBF＝∠ODE，
∵∠DOE＝∠BOF，
∴△EOD≌△FOB（AAS），
∴DE＝BF，
∴EB＝ED＝FB＝FD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，CD＝AB＝6，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵四边形EBFD为菱形，
∴FB＝FD，
∴∠FBD＝∠FDB＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∴∠FDC＝30°，
设CF＝x，则FD＝2x，
根据勾股定理得：（2x）2﹣x2＝62，
解得：x＝2，
∴FC的长为2．
19．（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（AAS），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝6，
∴OA＝3，
∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝OA＝，
∴AE＝2OE＝2，
∴DE＝＝＝．
20．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∵CE＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝．
解答题优生辅导训练（附答案）
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，菱形BNDM的面积为120，求菱形BNDM的周长．
2．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝3，BC＝5，求EF的长．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：△NED≌△MEA．
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．
5．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G为EF中点，连接BD、DG．
（1）试判断△ECF的形状，并说明理由；
（2）求∠BDG的度数．
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝6，BD＝8，求CE的长．
7．如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AB，BC上，△DEF是等边三角形，连接BD交EF于点G．
（1）求证：BE＝BF；
（2）若DE＝2，求BD的长．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，则∠AEC＝ ；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
10．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
11．在△ABC中，过A作BC的平行线，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上一点，连接DE，交AB于点F，∠CAD+∠BED＝180°．
（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；
（2）如图2，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，点G、H分别是AD、AC边中点，连接CG、EG、EH，不添加字母和辅助线，直接写出图中与△CEH所有的全等的三角形．
12．如图，四边形ABCD为正方形，E为AD上一点，连接BE，∠AEB＝60°，M为BE的中点，过点M的直线交AB、CD于P、Q．
（1）如图1，当PQ⊥BE时，求证：BP＝2AP；
（2）如图2，若∠APQ为锐角，且PQ＝BE，延长BE、CD交于点N，请你猜想QM与QN的数量关系，并说明理由．
13．如图，点G在正方形ABCD的边CD上，且四边形CEFG也是正方形，连接BG，DE，AF，取AF的中点M，连接CM．
求证：（1）BG＝DE；
（2）CM＝AF．
14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数．
15．如图，点O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于F，在BF的延长线上取FG＝OD，连接AG，OF．
（1）求证：四边形AOFG为菱形；
（2）若AD＝5，DF＝8，求BG的长．
16．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
17．如图， ABCD，BE⊥AD于E，交AC于M，DF⊥BC于F，交AC于N，连接DM、BN．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）当 ABCD是菱形时，判断四边形MBND的形状，并说明理由．
18．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD的垂直平分线分别交边AD、BC于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BOC＝120°，AB＝6，求FC的长．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，∠BAC＝30°，求DE的长．
20．如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．
参考答案
1．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵菱形BNDM的面积为120＝×BD×MN，
∴MN＝10，
∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．
2．证明：（1）∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝BC＝CE，
又∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形．
∴四边形AECD是菱形．
（2）过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝，
∵，
∴，
∴AG＝，
又∵S菱形AECD＝CD EF＝CE AG，
∵CD＝CE，
∴EF＝AG＝．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝．
4．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥AB，
∴∠DNE＝∠AME，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
在△NED和△MEA中
，
∴△NDE≌△MAE（AAS）；
（2）当AM＝2时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
由（1）知△NED≌△MEA，
∴NE＝ME，
又∵DE＝AE，
∴四边形AMDN是平行四边形，
∵菱形ABCD，AB＝4，E为AD中点，
∴AE＝2＝AM，
又∵∠DAB＝60°，
∴△MEA为等边三角形，
∴AE＝ME，
∴AD＝MN，
∴平行四边形AMDN为矩形．
5．（1）解：△ECF是等腰直角三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴∠CEF＝45°，AB＝BE，
∴∠F＝90°﹣45°＝45°，
∴EC＝FC，
又∵∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵AB＝BE，
∴BE＝CD，
∵EC＝FC，∠ECF＝90°，
∴CG＝EF＝EG，∠ECG＝∠ECF＝45°，
∴∠DCG＝90°+45°＝135°，
∵∠BEG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DCG＝∠BEG，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS），
∴DG＝BG，∠DGC＝∠BGE，
∴∠BGD＝∠EGC＝90°，
又∵DG＝BG，
∴∠BDG＝45°．
6．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝BD＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝2，
∴AC＝2OA＝4，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×8＝16，
∵CE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝6CE＝16，
∴CE＝．
7．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE＝CF．
又∵AB＝BC，
∴AB﹣AE＝BC﹣CF，
∴BE＝BF；
（2）解：由（1）可知BE＝BF，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD平分∠ABC，
∴点G为EF的中点，BD⊥EF，
∵△DEF为等边三角形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，BG＝EG＝1，
在Rt△EDG中，由勾股定理得，
DG＝
＝
＝，
∴BD＝BG+DG＝1+．
8．证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD，则AF＝DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，
∴AD＝DC，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（3）∵△ABC是直角三角形，AB＝6，BC＝10，BD＝DC，
∴AD＝DC＝5，AC＝，
∵四边形ADCF是菱形，
∴AC⊥DF，
∴DE＝，
∴，
即，
解得：DG＝．
9．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DC＝DE，DA＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°﹣20°）＝80°，∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝80°+55°＝135°，
故答案为：135°；
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．
10．证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②结论：EF＝2CG，理由如下：
∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，
∴∠GCE＝∠GCF，
∴CG＝GE，
∴EF＝2CG；
（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝8，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2；
②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝6，
在Rt△DCE中，CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2
综上所述，BE的长为 6+2或6﹣2．
11．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEB，
∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠DEB+∠CAD＝180°，
∴∠DEC＝∠DAC，
∴∠ADE+∠DAC＝180°，
∴DE∥AC，
∴四边形ACED是菱形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴菱形ACED是正方形，
∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，
AC＝AD＝CE，
∵G是AD的中点，H是AC边中点，
∴AG＝DG＝CE，
∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），
∵BC＝2AC，
∴BE＝CE＝AD，
∵AD∥BE，
∴∠B＝∠DAF，
∵∠AFE＝∠BFE，
∴△BFE≌△AFD（AAS），
∵AD＝CE＝BE，
∴△BEF≌△ECH，
∴图中与△CEH全等的三角形有△ADF，△EDG，△CAG，△EBF．
12．（1）证明：连接PE，如图1，
∵点M是BE的中点，PQ⊥BE，
∴PQ垂直平分BE，
∴PB＝PE，
∴∠PEB＝∠PBE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠APE＝∠PBE+∠PEB＝60°，
∴∠AEP＝90°﹣∠APE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A＝90°，
∴BP＝EP＝2AP；
（2）解：NQ＝2MQ或NQ＝MQ．理由如下：
分两种情况：
如图3所示，过点Q作QF⊥AB于点F，交BN于点G，则FQ＝CB，
∵正方形ABCD中，AB＝BC，
∴FQ＝AB．
在Rt△ABE和Rt△FQP中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△FQP（HL），
∴∠FQP＝∠ABE＝30°，
又∵∠MGQ＝∠BGF＝∠AEB＝60°，
∴∠GMQ＝90°，
∵CD∥AB．
∴∠N＝∠ABE＝30°，
∴NQ＝2MQ；
如图2所示，
过点Q作QF⊥AB于点F，则QF＝CB，
同理可证：△ABE≌△FQP，
此时∠FPQ＝∠AEB＝60°，
又∵∠FPQ＝∠ABE+∠PMB＝60°，∠N＝∠ABE＝30°，
∴∠EMQ＝∠PMB＝30°，
∴∠N＝∠EMQ，
∴NQ＝MQ．
13．（1）证明∵四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形，
∴BC＝CD，CG＝CE，
在Rt△BGC和Rt△DEC中，
∴Rt△BGC≌Rt△DEC（HL），
∴BG＝DE，
（2）连接AC，FC，
∴∠ACD＝∠FCD＝45°，∠ACF＝90°，
∴△ACF为直角三角形，
又∵M是AF的中点，
∴CM＝AF．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
∴AE＝AF，
（2）连接AP，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，∠FAE＝90°，
在Rt△EAF和Rt△ECF中，P是EF中点，
∴PA＝PC＝PE＝PF＝EF，
又∵AE＝AF，∠AEB＝75°，
∴∠AEP＝45°，∠CEP＝∠ECP＝60°，
∴∠DCP＝30°，
在△APD和△CPD中，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠CDP＝45°，
∴∠CPD＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
15．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵DE⊥AC，BF∥AC，
∴OF＝OD＝OA，
∵FG＝OD，
∴FG＝OA，
∵FG∥OA，
∴四边形AOFG为菱形；
（2）∵AD＝5，DF＝8，
∴DE＝EF＝4，AE＝3，
在Rt△DEO中，设OE＝x，由勾股定理得：（x+3）2﹣42＝x2，
解得：x＝，
∴OD＝，OE＝，
∴BF＝2OE＝，FG＝OD＝，
∴BG＝GF+BF＝．
16．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形，
理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
∵D是BC的中点，
∴DB＝DC，
∴AF＝DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴四边形ADCF是正方形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝∠DCB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵BE⊥AD，DF⊥BC，
∴∠DAB+∠ABM＝90°，∠DCB+∠CDN＝90°，
又∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠ABM＝∠CDN，
在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（ASA）；
（2）解：四边形MBND是菱形，理由如下：
∵BE⊥AD，DF⊥BC，AD∥BC，
∴BE∥DF，
由（1）知△ABM≌△CDN，
∴BM＝DN，
∴四边形MBND是平行四边形，
连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即MN⊥BD，
∴平行四边形MBND是菱形．
18．（1）证明：∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，FB＝FD，BO＝DO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OBF＝∠ODE，
∵∠DOE＝∠BOF，
∴△EOD≌△FOB（AAS），
∴DE＝BF，
∴EB＝ED＝FB＝FD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，CD＝AB＝6，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵四边形EBFD为菱形，
∴FB＝FD，
∴∠FBD＝∠FDB＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∴∠FDC＝30°，
设CF＝x，则FD＝2x，
根据勾股定理得：（2x）2﹣x2＝62，
解得：x＝2，
∴FC的长为2．
19．（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（AAS），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝6，
∴OA＝3，
∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝OA＝，
∴AE＝2OE＝2，
∴DE＝＝＝．
20．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∵CE＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝．