人教版八年级数学下册 18.2 特殊平行四边形 同步测试题（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册 18.2 特殊平行四边形 同步测试题（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 416.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-15 12:28:40 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学下册《18-2特殊平行四边形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．两邻边相等的四边形是菱形 B．一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线垂直的四边形是菱形
2．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件不能证明△ABE≌△CDF的是（ ）
A．∠BAE＝∠FCD B．∠BEA＝∠DFC C．AE＝CF D．BE＝DF
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
4．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥BG交CD于点E，CB＝CE，连接CG交BE于点F，则∠ECF的度数为（ ）
A．30° B．22.5° C．25° D．15°
5．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
6．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④
7．如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形； ②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则b的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，下列条件①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC，能判定四边形ABCD是菱形的有 ．（填写序号）
10．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为10和6，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为 ．
11．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出AC的中点E；
（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；
（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是 ．
12．如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF，连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB的中点E恰好关于直线DG对称，若AD＝6，则AB的长为 ．
13．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝3，∠ABC＝60°，点M为BC边上一点且BM＝2CM，过M作MN∥AB交AC，AD于点O，N，连接BN．若点P，Q分别为OC，BN的中点，则PQ的长度为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为 ．
15．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 度．
16．如图，正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝8，DM＝2，则PQ的长为 ．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
18．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．
19．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
20．如图，在矩形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．
（1）如图1，以CD为底向内作等腰△CDE，延长DE恰好交CB延长线于点P，交AB于点F，若AF＝5BF，EC＝6，求EF的长；
（2）如图2，若∠APB＝60°，AB＝AD，以CD为边向外作等边△CDF，连接AF，DE平分∠ADC交AF于点E，连接PE．求证：PA+PC＝PE．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
22．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）写出AF与BE的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段BH的长．
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求CP：PQ的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A、∵两邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线垂直的平行四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，
A、添加∠BAE＝∠FCD，利用ASA能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
B、添加∠BEA＝∠DFC，利用AAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
C、添加AE＝CF，不能得出△ABE≌△CDF，符合题意；
D、添加BE＝DF，利用SAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
故选：C．
3．解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∵∠BAE＝15°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD＝AD＝AB，
∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，
∴AC＝DC＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝×（180°﹣30°）＝75°．
故选：B．
4．解：取BE的中点O，连接OG，OC，
∵O，G为中点，
∴OG为四边形ADEB的中位线，
∴AB∥OG∥DE，
∴∠OGC＝∠ECF，
∵CE＝BC，∠BCE＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝∠BEC＝45°，
∵∠BCE＝90°，O为BE的中点，
∴OC＝OE＝BE，
∴∠OCE＝∠OEC＝45°，
∵GE⊥BG，O为BE的中点，
∴OG＝BE，
∴OG＝OC，
∴∠OGC＝∠OCG，
∴∠OCG＝∠ECF＝∠OCE＝22.5°，
故选：B．
5．解：如图，连接PA．
∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠A＝90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP＝EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵AB AC＝BC AP，即AP＝＝＝4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故选：B．
6．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故②正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝＝＝，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝＝＝2，故③错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故④正确；
∴其中正确的结论为①②④，
故选：A．
7．解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；故①正确；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝CE+CG＝AD，故③错误；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
故选：A．
8．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴BM＝OA，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴BM＝OA＝3，
∴b＝﹣3．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：①∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
又∵∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故①能判定四边形ABCD是菱形；
②∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故②能判定四边形ABCD是菱形；
③∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠BCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形；
④∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故④能判定四边形ABCD是菱形；
故答案为：①②④．
10．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝10，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝10﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（10﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BH＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，
故答案为：．
11．解：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵ED＝BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．
12．解：方法一：
连接EF、FC、EC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AB⊥AD，
∵AF＝BF，点E是AB的中点，
∴EF⊥AB，AB＝2BE，AE＝BE，
∴∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD∥BC，
∴DF＝FG，
在Rt△DCG中，CF为斜边DG上的中线，
∴CF＝DG＝FG，
∵EF∥GC，
∴∠OEF＝∠OCG，∠OFE＝∠OGC，
∵点C与AB的中点E关于直线DG对称，
∴DG垂直平分线段EC，
∴FG⊥CE，EO＝CO，EF＝CF，
在△OEF和△OCG中，
，
∴△OEF≌△OCG（AAS），
∴EF＝CG，
∴CF＝FG＝CG，
∴△CGF是等边三角形，
∴∠GCF＝60°，
∵CO⊥GF，
∴CO平分∠GCF，
∴∠GCO＝GCF＝30°，
在Rt△BCE中，∠EBC＝90°，∠BCE＝30°，BC＝6，
∴CE＝2BE，
∴在Rt△BCE中，AB＝4；
方法二：如图，连接CE，
根据题意可知：GD为CE的垂直平分线，
连接DE，
则有
DE＝CD，
设AE为x，则DE＝2x，
在Rt△AED，根据勾股定理，得
DE2﹣AE2＝AD2，
∴3x2＝36，
∴x＝2，
∴AB＝2x＝4．
故答案为：4．
13．解：连接BD交AC于E，连接QE，过Q作QF⊥AC于F，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝3，BE＝DE，AE＝CE，AD∥BC，AB∥CD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝3，
∴AE＝CE＝AC＝，
∵BM＝2CM，BM+CM＝BC＝3，
∴CM＝1，
∵MN∥AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形MNDC是平行四边形，
∴DN＝CM＝1，
∵Q是BN的中点，BE＝DE，
∴QE是△BDN的中位线，
∴QE＝DN＝，QE∥DN∥BC，
∴∠AEQ＝∠ACB＝60°，
∵QF⊥AC，
∴∠EQF＝90°﹣60°＝30°，
∴EF＝QE＝，
在Rt△QEF中，由勾股定理得：QF＝＝＝，
∵MN∥AB，
∴∠CMN＝∠ABC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴△CMO是等边三角形，
∴OC＝CM＝1，
∵P是OC的中点，
∴PC＝OC＝，
∴PE＝AC﹣AE﹣CP＝3﹣﹣＝1，
∴PF＝PE+EF＝1+＝，
在Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ＝＝＝，
故答案为：．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
∵DE平分∠AEC，
∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝13，
在直角△ABE中，BE＝＝＝12，
∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝13﹣12＝1．
故答案为1．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
16．解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，∠DMA＝∠CND，
∵∠DAM+∠AMD＝90°，
∴∠PDM+∠DMP＝90°，
∴∠DPM＝90°，
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
∴AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
∵DM＝CN＝2，BC＝CD＝AB＝8，
∴BN＝BC﹣CN＝6，
在△ANB中，AN＝＝＝10，
∴PQ＝5．
故答案为：5．．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．证明：
∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
18．（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AD＝AB，
∵EM⊥AC，
∴ME∥BD，
∵点E是AB的中点，
∴点M是AD的中点，AE＝AB，
∴AM＝AD，
∴AM＝AE．
（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，
∴AM＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，
∴△MDF≌△MAE（AAS），
∴AE＝DF，
∵AB＝2AE，DF＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．
②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，
∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，
∴DF＝DM，MF＝ME，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴∠ADC＝2∠DFM，
∵∠ADC＝2∠MCD，
∴∠MCD＝∠DFM，
∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，
∵ME⊥AC，AM＝AE，
∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，
∴MC＝2MG，
∴∠GMC＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴∠DMC＝90°，
∴△DMC为直角三角形，
∵DF＝2，
∴DM＝2，CD＝4，
∴CM＝＝2，
∴ME＝2．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE．
∴四边形CDEF是菱形；
（2）解：如图，连接GF，
∵四边形CDEF是菱形，
∴CF＝CD＝5，
∵BC＝3，
∴BF＝＝＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，
在△CDG和△CFG中，
，
∴△CDG≌△CFG（SAS），
∴FG＝GD，
∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，
在Rt△FGA中，根据勾股定理，得
FG2＝AF2+AG2，
∴（3﹣AG）2＝12+AG2，
解得AG＝．
20．（1）解：∵CE＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∠ECP+∠ECD＝90°，
∴∠EPC＝∠ECP，
∴PE＝CE＝6，
∴PD＝12，
∵PB∥AD，
∴PF＝2，DF＝10，
∴EF＝4；
（2）证明：连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵△CDF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，AD＝DF，
∴∠DAF＝15°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝120°，
又∵DE＝DE，
在△ADE和△CDE中，
，
△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠AED＝∠CED＝∠AEC＝120°，AE＝CE，
∵∠APB＝60°，
∴∠APB+∠AEC＝120°，
∴点A、P、C、E四点共圆，
∴∠APE＝∠EPC＝30°，
∴∠PEC＝∠PCE＝75°，
∴PE＝PC，
设PB＝a，则PA＝2a，AB＝BC＝，
∴PA+PC＝2a+a+＝（）＝（BC+PB）＝PC，
∴PA+PC＝PE．
21．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，得t＝3
故当t＝3时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，
故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，
则周长为：4AQ＝4×＝15cm
面积为：（cm2）．
22．解：（1）AF＝BE，AF⊥BE，
理由：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，
又∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，AF＝BE，
又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE+∠FAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AF⊥BE，
故答案为：AF＝BE，AF⊥BE；
（2）在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵S△ABE＝AB AE＝BE AP，
∴AP＝＝，
在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，
∵∠APB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB，
∵CH⊥BE，
∴∠HCB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS），
∴BH＝AP＝，
∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣；
（3）在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，
∵CH⊥BP，PH＝BH，
∴CP＝BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，
∴∠QPE＝∠QEP，
在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，
∴QE＝QP＝QA，
在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，
则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，
∵DC2+DQ2＝CQ2，
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，
∴b2＝4ab，
即b＝4a，
∴CP：PQ＝4．
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．两邻边相等的四边形是菱形 B．一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线垂直的四边形是菱形
2．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件不能证明△ABE≌△CDF的是（ ）
A．∠BAE＝∠FCD B．∠BEA＝∠DFC C．AE＝CF D．BE＝DF
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
4．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥BG交CD于点E，CB＝CE，连接CG交BE于点F，则∠ECF的度数为（ ）
A．30° B．22.5° C．25° D．15°
5．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
6．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④
7．如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形； ②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则b的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，下列条件①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC，能判定四边形ABCD是菱形的有 ．（填写序号）
10．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为10和6，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为 ．
11．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出AC的中点E；
（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；
（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是 ．
12．如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF，连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB的中点E恰好关于直线DG对称，若AD＝6，则AB的长为 ．
13．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝3，∠ABC＝60°，点M为BC边上一点且BM＝2CM，过M作MN∥AB交AC，AD于点O，N，连接BN．若点P，Q分别为OC，BN的中点，则PQ的长度为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为 ．
15．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 度．
16．如图，正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝8，DM＝2，则PQ的长为 ．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
18．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．
19．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
20．如图，在矩形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．
（1）如图1，以CD为底向内作等腰△CDE，延长DE恰好交CB延长线于点P，交AB于点F，若AF＝5BF，EC＝6，求EF的长；
（2）如图2，若∠APB＝60°，AB＝AD，以CD为边向外作等边△CDF，连接AF，DE平分∠ADC交AF于点E，连接PE．求证：PA+PC＝PE．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
22．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）写出AF与BE的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段BH的长．
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求CP：PQ的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A、∵两邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线垂直的平行四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，
A、添加∠BAE＝∠FCD，利用ASA能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
B、添加∠BEA＝∠DFC，利用AAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
C、添加AE＝CF，不能得出△ABE≌△CDF，符合题意；
D、添加BE＝DF，利用SAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
故选：C．
3．解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∵∠BAE＝15°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD＝AD＝AB，
∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，
∴AC＝DC＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝×（180°﹣30°）＝75°．
故选：B．
4．解：取BE的中点O，连接OG，OC，
∵O，G为中点，
∴OG为四边形ADEB的中位线，
∴AB∥OG∥DE，
∴∠OGC＝∠ECF，
∵CE＝BC，∠BCE＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝∠BEC＝45°，
∵∠BCE＝90°，O为BE的中点，
∴OC＝OE＝BE，
∴∠OCE＝∠OEC＝45°，
∵GE⊥BG，O为BE的中点，
∴OG＝BE，
∴OG＝OC，
∴∠OGC＝∠OCG，
∴∠OCG＝∠ECF＝∠OCE＝22.5°，
故选：B．
5．解：如图，连接PA．
∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠A＝90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP＝EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵AB AC＝BC AP，即AP＝＝＝4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故选：B．
6．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故②正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝＝＝，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝＝＝2，故③错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故④正确；
∴其中正确的结论为①②④，
故选：A．
7．解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；故①正确；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝CE+CG＝AD，故③错误；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
故选：A．
8．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴BM＝OA，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴BM＝OA＝3，
∴b＝﹣3．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：①∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
又∵∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故①能判定四边形ABCD是菱形；
②∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故②能判定四边形ABCD是菱形；
③∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠BCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形；
④∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故④能判定四边形ABCD是菱形；
故答案为：①②④．
10．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝10，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝10﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（10﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BH＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，
故答案为：．
11．解：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵ED＝BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．
12．解：方法一：
连接EF、FC、EC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AB⊥AD，
∵AF＝BF，点E是AB的中点，
∴EF⊥AB，AB＝2BE，AE＝BE，
∴∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD∥BC，
∴DF＝FG，
在Rt△DCG中，CF为斜边DG上的中线，
∴CF＝DG＝FG，
∵EF∥GC，
∴∠OEF＝∠OCG，∠OFE＝∠OGC，
∵点C与AB的中点E关于直线DG对称，
∴DG垂直平分线段EC，
∴FG⊥CE，EO＝CO，EF＝CF，
在△OEF和△OCG中，
，
∴△OEF≌△OCG（AAS），
∴EF＝CG，
∴CF＝FG＝CG，
∴△CGF是等边三角形，
∴∠GCF＝60°，
∵CO⊥GF，
∴CO平分∠GCF，
∴∠GCO＝GCF＝30°，
在Rt△BCE中，∠EBC＝90°，∠BCE＝30°，BC＝6，
∴CE＝2BE，
∴在Rt△BCE中，AB＝4；
方法二：如图，连接CE，
根据题意可知：GD为CE的垂直平分线，
连接DE，
则有
DE＝CD，
设AE为x，则DE＝2x，
在Rt△AED，根据勾股定理，得
DE2﹣AE2＝AD2，
∴3x2＝36，
∴x＝2，
∴AB＝2x＝4．
故答案为：4．
13．解：连接BD交AC于E，连接QE，过Q作QF⊥AC于F，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝3，BE＝DE，AE＝CE，AD∥BC，AB∥CD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝3，
∴AE＝CE＝AC＝，
∵BM＝2CM，BM+CM＝BC＝3，
∴CM＝1，
∵MN∥AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形MNDC是平行四边形，
∴DN＝CM＝1，
∵Q是BN的中点，BE＝DE，
∴QE是△BDN的中位线，
∴QE＝DN＝，QE∥DN∥BC，
∴∠AEQ＝∠ACB＝60°，
∵QF⊥AC，
∴∠EQF＝90°﹣60°＝30°，
∴EF＝QE＝，
在Rt△QEF中，由勾股定理得：QF＝＝＝，
∵MN∥AB，
∴∠CMN＝∠ABC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴△CMO是等边三角形，
∴OC＝CM＝1，
∵P是OC的中点，
∴PC＝OC＝，
∴PE＝AC﹣AE﹣CP＝3﹣﹣＝1，
∴PF＝PE+EF＝1+＝，
在Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ＝＝＝，
故答案为：．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
∵DE平分∠AEC，
∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝13，
在直角△ABE中，BE＝＝＝12，
∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝13﹣12＝1．
故答案为1．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
16．解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，∠DMA＝∠CND，
∵∠DAM+∠AMD＝90°，
∴∠PDM+∠DMP＝90°，
∴∠DPM＝90°，
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
∴AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
∵DM＝CN＝2，BC＝CD＝AB＝8，
∴BN＝BC﹣CN＝6，
在△ANB中，AN＝＝＝10，
∴PQ＝5．
故答案为：5．．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．证明：
∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
18．（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AD＝AB，
∵EM⊥AC，
∴ME∥BD，
∵点E是AB的中点，
∴点M是AD的中点，AE＝AB，
∴AM＝AD，
∴AM＝AE．
（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，
∴AM＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，
∴△MDF≌△MAE（AAS），
∴AE＝DF，
∵AB＝2AE，DF＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．
②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，
∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，
∴DF＝DM，MF＝ME，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴∠ADC＝2∠DFM，
∵∠ADC＝2∠MCD，
∴∠MCD＝∠DFM，
∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，
∵ME⊥AC，AM＝AE，
∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，
∴MC＝2MG，
∴∠GMC＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴∠DMC＝90°，
∴△DMC为直角三角形，
∵DF＝2，
∴DM＝2，CD＝4，
∴CM＝＝2，
∴ME＝2．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE．
∴四边形CDEF是菱形；
（2）解：如图，连接GF，
∵四边形CDEF是菱形，
∴CF＝CD＝5，
∵BC＝3，
∴BF＝＝＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，
在△CDG和△CFG中，
，
∴△CDG≌△CFG（SAS），
∴FG＝GD，
∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，
在Rt△FGA中，根据勾股定理，得
FG2＝AF2+AG2，
∴（3﹣AG）2＝12+AG2，
解得AG＝．
20．（1）解：∵CE＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∠ECP+∠ECD＝90°，
∴∠EPC＝∠ECP，
∴PE＝CE＝6，
∴PD＝12，
∵PB∥AD，
∴PF＝2，DF＝10，
∴EF＝4；
（2）证明：连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵△CDF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，AD＝DF，
∴∠DAF＝15°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝120°，
又∵DE＝DE，
在△ADE和△CDE中，
，
△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠AED＝∠CED＝∠AEC＝120°，AE＝CE，
∵∠APB＝60°，
∴∠APB+∠AEC＝120°，
∴点A、P、C、E四点共圆，
∴∠APE＝∠EPC＝30°，
∴∠PEC＝∠PCE＝75°，
∴PE＝PC，
设PB＝a，则PA＝2a，AB＝BC＝，
∴PA+PC＝2a+a+＝（）＝（BC+PB）＝PC，
∴PA+PC＝PE．
21．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，得t＝3
故当t＝3时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，
故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，
则周长为：4AQ＝4×＝15cm
面积为：（cm2）．
22．解：（1）AF＝BE，AF⊥BE，
理由：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，
又∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，AF＝BE，
又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE+∠FAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AF⊥BE，
故答案为：AF＝BE，AF⊥BE；
（2）在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵S△ABE＝AB AE＝BE AP，
∴AP＝＝，
在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，
∵∠APB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB，
∵CH⊥BE，
∴∠HCB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS），
∴BH＝AP＝，
∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣；
（3）在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，
∵CH⊥BP，PH＝BH，
∴CP＝BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，
∴∠QPE＝∠QEP，
在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，
∴QE＝QP＝QA，
在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，
则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，
∵DC2+DQ2＝CQ2，
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，
∴b2＝4ab，
即b＝4a，
∴CP：PQ＝4．