北师大版八年级数学下册 5.1 认识分式 教案

认识分式
【教学目标】
一、知识与技能
1．分式的基本性质。
2．利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形。
3．了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法。
4．使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式。
二、过程与方法
1．能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质。
2．情感态度与价值观
3．通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣。
4．行为与创新
5．培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力。
【教学重难点】
1．分式的基本性质。
2．利用分式的基本性质约分。
3．将一个分式化简为最简分式。
4．分子、分母是多项式的约分。
【教学准备】
教师：课件
学生：练习本
【教学过程】
一、复习分数的基本性质，推想分式的基本性质。
［师］我们来看如何做不同分母的分数的加法：+ 。
［生］+=+=+=。
［师］这里将异分母化为同分母，==，
==。这是根据什么呢？
［生］根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。
［师］很好！分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？
二、新课讲解
1．分式的基本性质
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（1）=的依据是什么？
（2）你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流。
［生］（1）将的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到。即==。
依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。
（2）分式与相等，在分式中，a≠0，所以==；
分式与也是相等的。在分式中，n≠0，所以==。
［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？
［生］分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
［师］在运用此性质时，应特别注意什么？
［生］应特别强调分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”。
［师］我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形。同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形。
下面我们就来看一个例题
［例2］下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）=（y≠0）；（2）=。
［生］在（1）中，因为y≠0，利用分式的基本性质，在的分子、分母中同乘以y，即可得到右边，即==；
［师］很好！在（1）中，题目告诉你y≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得。
可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？
［生］在（2）中，可以分子、分母同除以x得到，即 ==。
［生］“x”如果等于“0”，就不行。
在中，x不会为“0”，如果是“0”，中分母就为“0”，分式将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x≠0，但要由得到，必须有意义，即bx≠0由此可得b≠0且x≠0.
［师］这位同学分析得很精辟！
2．分式的约分。
［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简。利用分式的基本性质也可以对分式化简。
我们不妨先来回忆如何对分数化简。
［生］化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简。例如，3和12的最大公约数是3，所以==。
［师］我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简。
［例3］化简下列各式：
（1）；（2）。
［师］在分数化简中，我们约去了分子、分母的公约数，那么在分式化简中，我们应如何办？
［生］约去分子、分母中的公因式。例如（1）中a2bc可分解为ac·（ab）。分母中也含有因式ab，因此利用分式的基本性质：
===ac．
［师］我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可。这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组讨论。
［生］如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂。
［师］回答得很好。可（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简？
［生］通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式。
［师］这个主意很好。现在同学们自己动手把第（2）题试着完成一下。
［生］解：（2）==。
［生］老师，我明白了，遇到分子、分母是多项式的分式，应先将它们分解因式，然后约去公有的因式。
［师］在例3中，=ac，即分子、分母同时约去了整式ab； =，即分子、分母同时约去了整式x－1．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分。
下面我们亲自动手，再来化简几个分式。
做一做
化简下列分式：
（1）；（2）。
［生］解：（1）==；
（2）=。
［师］在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的
议一议
在化简时，小颖是这样做的：=
你对上述做法有何看法？与同伴交流。
［生］我认为小颖的做法中，中还有公因式5x，没有化简完，也就是说没有化成最简结果。
［师］很好！如果化简成，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最简分式。因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式。
三、巩固、提高
1．填空：
（1）=；
（2）
2．化简下列分式：
（1）；
（2）。
解：1．（1）因为=
=
所以括号里应填2x2+2xy；
（2）因为==。
所以括号里应填y－2．
2．（1）==；
（2）==。
四、课时小结
［师］通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）
［生］数学知识之间是有内在联系的。利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质。
［生］分式的约分和化简可联系分数的约分和化简。
［生］化简分式时，结果一定要求最简。
……
【作业布置】
1．下列约分正确的是( )
A． B．
C． D．
2．下列变形不正确的是( )
A． B．(x≠1)
C．= D．
3．等式成立的条件是( )
A．a≠0且b≠0 B．a≠1且b≠1
C．a≠－1且b≠－1 D．a、b 为任意数
4．如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值( )
A．扩大10倍 B．缩小10倍
C．是原来的 D．不变
5．不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为( )
A． B．
C． D．
答案：1．D 2．C 3．C 4．D 5． D
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