2021-2022学年河南省南阳市内乡县九年级（上）期末数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年河南省南阳市内乡县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．二次根式中x的取值范围是（　　）
A．x≤0 B．x≥0 C．x≤3 D．x≥3
2．一元二次方程x（x﹣2）＝1根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
3．下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．三角形中任意两边之和大于第三边
B．太阳从东方升起
C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯
D．一个有理数的绝对值为负数
4．关于二次函数y＝（x﹣3）2+5的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．顶点坐标（3，5）
C．对称轴x＝﹣3 D．有最大值5
5．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　）
A．2 B． C． D．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABO＝43°，则∠ACB＝（　　）
A．43° B．45° C．47° D．50°
8．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
9．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　）
A．25 B．25 C． D．
10．根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：×＝　 　．
12．已知＝，则＝　 　．
13．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 　 　米．
14．如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC＝3米，则坡面AB的长度是 　 　米．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是 　 　．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（1）计算：（+）2﹣+；
（2）解方程：x2﹣4x﹣8＝0．
17．如图，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，E为AD上一点，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若BC＝6，求线段AC的长．
18．游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于3，则游戏者获胜．
（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
（2）求游戏者获胜的概率．
19．图①、图②分别是一把水平放置的椅子的效果图与椅子侧面的示意图，椅子高为AC，椅面宽BE为60cm，椅脚高ED为35cm，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED，从点A测得点E的俯角为53°，求椅子的高AC（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．
21．某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．教材呈现：华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：．证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：
如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F，过点F作FG⊥BC，垂足为点G，则BG：BC＝　 　．
23．如图，已知二次函数y＝ax2﹣2x+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，直线y＝kx﹣与抛物线交于点B、E，与y轴交于点D．
（1）求二次函数解析式和一次函数解析式；
（2）已知点C与点F关于抛物线的对称轴对称，求点F的坐标．
（3）记抛物线点A与点C之间的图象为U（不包括点A和点C），若将直线BE向上平移h（h＞0）个单位，与图象U恰有一个公共点，求h的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．二次根式中x的取值范围是（　　）
A．x≤0 B．x≥0 C．x≤3 D．x≥3
【分析】二次根式有意义的条件是：二次根式中的被开方数必须是非负数．
解：由题可得，x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：D．
2．一元二次方程x（x﹣2）＝1根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：C．
3．下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．三角形中任意两边之和大于第三边
B．太阳从东方升起
C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯
D．一个有理数的绝对值为负数
【分析】根据已知条件，结合随机事件，不可能事件和必然事件的定义，即可求解．
解：A、三角形中任意两边之和大于第三边是必然事件，故本选项不符合题意；
B、太阳从东方升起是必然事件，故本选项不符合题意；
C、车辆随机到达一个路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项符合题意；
D、一个有理数的绝对值为负数是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．关于二次函数y＝（x﹣3）2+5的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．顶点坐标（3，5）
C．对称轴x＝﹣3 D．有最大值5
【分析】根据函数图象和性质逐个判断即可．
解：对于y＝（x﹣3）2+5，则该函数的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，5），
A．∵a＝1＞0，故抛物线开口向上，故A不符合题意；
B．对于y＝（x﹣3）2+5，则该函数的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，5），故B符合题意，而C不符合题意；
D．∵开口向上，故二次函数y＝（x﹣3）2+5有最小值5，故D错误，不符合题意；
故选：B．
5．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】根据直角三角形解决问题即可．
解：作AE⊥BC．∵∠AEC＝90°，AE＝4，BE＝2，
∴tan∠ABC＝＝＝2，
故选：A．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意不难证得△ADE∽△ABC，再由，可得，则有，则S△ACE＝S△ABC，再利用S四边形BCDE＝S△ABC﹣S△ACE，从而可求解．
解：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
则S△ACE＝S△ABC，
∵S四边形BCDE＝S△ABC﹣S△ACE＝S△ABC，
∴＝＝．
故选：D．
7．如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABO＝43°，则∠ACB＝（　　）
A．43° B．45° C．47° D．50°
【分析】利用圆周角定理，求出∠AOB即可解决问题．
解：∵OA＝OB，
∴ABO＝∠OAB＝43°，
∴∠AOB＝180°﹣43°﹣43°＝94°，
∴∠ACB＝∠AOB＝47°，
故选：C．
8．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．
解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率是＞0.16，故此选项不符合要求；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率＝＝0.5＞0.16，故此选项不符合要求；
C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是≈0.67＞0.16，故此选项不符合要求；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率＝≈0.16，故此选项符合要求，
故选：D．
9．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　）
A．25 B．25 C． D．
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC＝2×＝．
故选：D．
10．根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：×＝　3　．
【分析】根据二次根式的乘法法则：＝（a≥0，b≥0）计算．
解：原式＝＝3；
故答案为：3．
12．已知＝，则＝　　．
【分析】根据比例的合比性质可得答案．
解：∵＝，
∴﹣1＝﹣1，
即＝，
∴．
故答案为：．
13．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 　1　米．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
解：设道路的宽为x m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
14．如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC＝3米，则坡面AB的长度是 　3　米．
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案．
解：∵河坝的横断面AB的坡比是1：2，
∴＝，
∵BC＝3米，
∴AC＝6米，
由勾股定理得：AB＝＝＝3（米），
故答案为：3．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是 　0≤x≤3　．
【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线不在直线下方部分的x的取值范围即可．
解：两函数图象交于点A（0，4），B（3，1），
由图象可知，当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．
故答案为：0≤x≤3．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（1）计算：（+）2﹣+；
（2）解方程：x2﹣4x﹣8＝0．
【分析】（1）先计算乘方、化简二次根式、分母有理化，再计算加减即可；
（2）利用配方法求解即可．
解：（1）原式＝3+2+2﹣2+
＝5+；
（2）∵x2﹣4x﹣8＝0，
∴x2﹣4x＝8，
则x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，
∴x﹣2＝±2，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
17．如图，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，E为AD上一点，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若BC＝6，求线段AC的长．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质，由CD＝CE得∠CDE＝∠CED，则可根据等角的补角相等得到∠AEC＝∠BDA，又根据∠DAC＝∠B，即可证得△ACE∽△BAD；
（2）由∠DAC＝∠B及公共角相等证明△ACD∽△BCA，利用相似比求AC即可．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠AEC＝∠BDA，
又∵∠DAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD；
（2）解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD＝CE＝BC＝3，
∵∠DAC＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
即，
解得：AC＝3．
18．游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于3，则游戏者获胜．
（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
（2）求游戏者获胜的概率．
【分析】（1）画树状图即可；
（2）共有6种等可能的结果，两次数字之积大于3的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果；
（2）共有6种等可能的结果，两次数字之积大于3的结果有2种，
∴游戏者获胜的概率为＝．
19．图①、图②分别是一把水平放置的椅子的效果图与椅子侧面的示意图，椅子高为AC，椅面宽BE为60cm，椅脚高ED为35cm，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED，从点A测得点E的俯角为53°，求椅子的高AC（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）．
【分析】要求AC的长，只要求出AB和BC的长即可，根据题意可知BC与DE的长相等，根据∠AEB＝53°和BE的长可以求得AB的长，从而可以求得AC的长，本题得以解决．
解：∵AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED，
∴四边形BCDE是矩形，∠AEB＝53°，
∴BC＝DE＝35（cm），
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，tan∠AEB＝，BE＝60cm，
∴AB＝BE tan∠AEB＝60×tan53°≈60×1.3＝78，
∴AC＝AB+BC＝78+35＝113（cm），
即椅子的高约为113cm．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一即可解决问题；
（2）只要证明△BED∽△BAC，可得＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
而AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）解：连接DE，如图，
∵BE＝CE＝4，
∴BC＝8，
∵∠BED＝∠BAC，
而∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴BA＝，
∴AC＝BA＝．
21．某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．
解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
22．教材呈现：华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：．证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：
如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F，过点F作FG⊥BC，垂足为点G，则BG：BC＝　1：3　．
【分析】（1）连接ED，根据三角形中位线定理得到DE∥AC，DE＝AC，证明△DEG∽△ACG，根据相似三角形的性质证明结论；
（2）易证点F是△ABC的重心，由①得，由AB∥FG，得＝2，即可求解．
【解答】（1）证明：如图①，连接ED，
∵D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴＝，
∴．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，对角线AC、BD交于点O，
∴O为边AC的中点，
∵E为边BC的中点，
∴点F是△ABC的重心，
由①得，
∵AB∥FG，
∴＝2，
∵点E是BC中点，
∴BG：BC＝2：6＝1：3，
故答案为：BG：BC＝1：3．
23．如图，已知二次函数y＝ax2﹣2x+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，直线y＝kx﹣与抛物线交于点B、E，与y轴交于点D．
（1）求二次函数解析式和一次函数解析式；
（2）已知点C与点F关于抛物线的对称轴对称，求点F的坐标．
（3）记抛物线点A与点C之间的图象为U（不包括点A和点C），若将直线BE向上平移h（h＞0）个单位，与图象U恰有一个公共点，求h的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，进而可以求出点B的坐标，代入点B求一次函数解析式；
（2）利用二次函数，可求出对称轴，根据函数的对称性即可求出点F的坐标；
（3）直线BE向上平移，当经过点A时为最小平移情况；当经过C时为最大平移情况，进而求出h的取值范围．
解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2x+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），
则，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴点B的坐标为（1，0），
代入一次函数y＝kx﹣，
可得k＝，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣；
（2）由题意得：二次函数的对称轴为x＝﹣1，
∵点C与点F关于对称轴对称，
∴点F的坐标为（﹣2，3）；
（3）由题知，由函数平移规律可得：
①当直线BE不与抛物线相切时，
当函教y＝x﹣向上平移h个单位后，新函数为y＝x﹣+h，
当新函数经过点A时，为最小平移情况，
代入A（﹣3，0）得，
0＝×（﹣3）﹣+h，
解得：h＝2
当新函数经过点C时，为最大平移情况，
代入C（0，3）得，
3＝﹣+h，
解得：h＝，
∴h的取值范围为2＜x≤；
②当直线BE与抛物线相切时，
方程﹣x2﹣2x+3＝x﹣+h有两个相等的实数根，
故Δ＝0，
∴h＝，
综上所述：h的取值范围为2＜h≤，h＝．