高二·上学期椭圆教学课件（复习课）

课件43张PPT。 椭圆 星火教育大良校区数学组： 汤振国一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之 等于常数
( )的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2
叫作椭圆的 ，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的
．
大于|F1F2|焦点 焦距和在椭圆的定义中，若2a=|F1F2|或2a＜|F1F2|动点P的轨迹如何？?提示：当2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时动点的轨迹是不存在的.?
二、椭圆的标准方程及其几何意义
|x|≤a；|y|≤b
|x|≤b；|y|≤a
x轴y 轴、原点x轴、y轴、原点±a,0±b,0±c,00，±a0，±b0，±c2ca2－b2(0,1)
解析：分两种情况可得
1．若椭圆 的离心率为 ，则实数m (　　)
或或
答案：A
2．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|
＋|PF2|＝a(a＞0)，则动点P的轨迹是 (　　)
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段或不存在 D．不存在
解析：当a＜6时，轨迹不存在；
当a＝6时，轨迹为线段；
当a＞6时，轨迹为椭圆．
答案：C
4．椭圆 的焦点坐标为________．解析：由方程知焦点在y轴上，故a2＝9，b2＝4，
∴c2＝5，∴焦点为(0，± )．
答案：(0，± )
5．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实
数k的取值范围是________．
解析：椭圆方程化为 焦点在y轴上，则
即k＜1.又k＞0，∴0＜k＜1.
答案：(0,1)
3．已知椭圆 上一点P到椭圆一个焦点的距离为
3，则P到另一个焦点的距离为 (　　)
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：

答案：D
?
求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法．用特定系数法求椭圆方程的一般步骤是：
(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y
轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程 (a＞b＞0)
或 ＋ ＝1(a＞b＞0)．
(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的
方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
【注意】　当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设 (m＞0，n＞0，m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)，在已知椭圆上两点时，这种形式在解题时更简便．
已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．
?利用定义可得2a，焦点位置不确定要注意讨论.【解】　设所求的椭圆方程为
＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得解得 a＝4，c＝2，b2＝12，
故所求方程为1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过
两点 ，求椭圆的方程．
解：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．
∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，
则
两式联立，解得m＝
∴所求椭圆方程为
1．椭圆性质的挖掘
(1)设椭圆 (a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当
x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当
x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．
(2)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)
构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角
形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
(4)过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
2．离心率 在求法中要有整体求值思想或变形为 (2011·重庆高考)已知椭圆
a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在点P使 则该椭圆的离心率的取值范围为________．
?
利用正弦定理得|PF1|、|PF2|的关系，结合定义可得PF2，再根据焦点弦长的最大最小值建立不等关系.?
【解析】　在△PF1F2中，由正弦定理知

①
又∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，将①代入得|PF2|＝
∈(a－c，a＋c)，同除以a得，1－e＜ ＜1＋e，【答案】　( －1,1)
即|PF1|=e |PF2|.2．(2010·茂名一模)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且
与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三有形，则这个椭圆的离心率是 ( 　　)
解析：∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AF1|＝|F1F2|，将x＝－c代入椭圆方程 得A(－c，± )，从而 ＝2c，即a2－c2＝2ac，整理得e2＋2e－1＝0，
解得e＝－1± ，由e∈(0,1)得e＝ －1.
答案：C
3．(2010·枣庄一模)设椭圆 (m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的标准方程为________．
解析：抛物线y2＝8x的焦点是(2,0)，∴椭圆的半焦距c＝2，
即m2－n2＝4，又e＝ ∴m＝4，
n2＝12.
从而椭圆的方程为
答案：
1．直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，
然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离．
2．消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐
标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这
是进一步解题的基础．
3．直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，
y2)两点，则
|AB|=|x1-x2|=|y1-y2| (2010·厦门模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点，一个长轴端点为(0,1)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形．若直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于不同的两点A、B，且
(1)求椭圆C的方程；
(2)求实数m的取值范围．
?
(1)待定系数法易求．
(2)利用 建立k、m关系，根据Δ建立不等式可求m范围．
【解】　(1)依题意a=1，b=c，
∴b2= ，
∴所求椭圆C的方程为2x2＋y2＝1.
(2)设直线l：y＝kx＋m，消去y得
(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，
Δ＝4k2m2－4(k2＋2)(m2－1)
＝－4(2m2－k2－2)＞0，
∴2m2－k2－2＜0，x1＋x2＝
∵ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴x1＝－3x2，消去x1得 消去x2得
3k2m2＝(k2＋2)(1－m2)，∴k2＝
∴2m2－2－ ＜0?(m2－1)(4m2－1)＜0，
∴m∈
4．(2010·广州模拟)已知椭圆C： ＝1(a＞b＞0)的 离心率为 ，且经过P(1， )．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭 圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
解：(1)∵椭圆 (a＞b＞0)的离心率为 ，且
经过点P(1, ),
∴椭圆C的方程为
(2)∵a2＝4，b2＝3，∴c＝
∴椭圆C的左焦点F的坐标为(－1,0)．
以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2.
以PF为直径的圆的方程为x2＋ 圆心坐标是 ，半径为
∵两圆心之间的距离为 =2- , 故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．
椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是各地高考考查的重点，多在选择、填空中出现，主要考查学生结合定义，几何性质，分析问题解决问题的能力以及运算能力.2009年江苏综合考查了直线方程的求法、两直线的交点求法及离心率的求法.属中档题.(2009·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2为椭圆 (a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．
?
[解析]　A1(-a,0)，B2(0，b)．
故A1B2的方程为：
B1(0，-b)，F(c,0)．故B1F的方程为：
y= -b.
交点T的坐标满足：解之得T
∴OT中点 在椭圆 上．
故有整理得：3a2-10ac-c2=0.
∴e2+10e-3=0，∴e=2 - 5.
[答案]　2 -5
建立a、b、c的关系是解决离心率问题的关键，要充分利用图形及其性质．