2021—2022学年北师大版数学九年级下册2.3用待定系数法求二次函数的解析式课时对应练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年北师大版数学九年级下册2.3用待定系数法求二次函数的解析式课时对应练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 120.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-15 17:17:32 | ||
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文档简介
第08课时 用待定系数法求二次函数的解析式
1．已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2 C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
2．一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝﹣2（x﹣2）2+4
C．y＝2（x+2）2﹣4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 …
y … ﹣2 ﹣2 0 …
则该二次函数的解析式为 __________ ．
4．已知二次函数y＝x2+2x+c的最小值为3，则这个二次函数的解析式为 ____________ ．
5．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为 ______．
6．如图，一个二次函数的图象经过点A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB＝OC．则这个二次函数的解析式是____________ ．
7．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y＝﹣x2+6x上．设OA＝m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为__________________ ．
8．已知二次函数的图象经过点（0，﹣2），且当x＝1时函数有最小值﹣3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点（﹣2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．
9．直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C点，且CD∥x轴，求抛物线解析式．
10．已知抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（1，0），B（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y＜0，直接写出自变量x的取值范围；
（3）抛物线与y轴交于点D，P是x轴上一点，且△PAD是以AD为腰的等腰三角形，试求P点坐标．
11．若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x﹣5 B．y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a＞0）
C．y＝﹣2x2﹣4x﹣5 D．y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）
12．对于任意实数m、n，定义m﹡n＝m﹣3n，则函数y＝x2﹡x+（﹣1）﹡1，当0＜x＜3时，y的范围为（ ）
A．﹣1＜y＜4 B．﹣6y＜4 C．﹣1≤y≤4 D．﹣6y＜﹣4
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：
①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c＝ ____________ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y于点B、C，则BC的长为______．
16．抛物线y＝2x2+bx+c与y轴交于点C（0，1），过点C的直线MN∥x轴，且与抛物线的另一交点为D（﹣2，n），则此抛物线的解析式为____________ ．
17．如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（1）抛物线的解析式__________________；
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止．若使点M在整个运动中用时最少，则点E的坐标 ．
18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ______ ．
19．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；
（2）求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；
（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y＝a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．
【参考答案】
1．D．
2．B．
3．y＝x2+x﹣2．
4．y＝x2+2x+4．
5．
6．yx2x+5．
7．l＝﹣2m2+8m+12．
8．（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点（0，﹣2），则有：
a（0﹣1）2﹣3＝﹣2，解得a＝1；
因此抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣3．
（2）∵a＝1＞0，
∴故抛物线的开口向上；
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，
∴y2最小．
由于（﹣2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．
于是y2＜y3＜y1．
9．如图，∵直线y＝﹣x﹣1交于x轴上A点，
∴A（﹣1，0），
∵抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点，
∴a﹣4a+b＝0，
∴b＝3a，
由抛物线y＝ax2+4ax+b可知C（0，b），
∵CD∥x轴，
∴C、D是对称点，且D的纵坐标为b，
∵抛物线的对称轴是：x＝﹣2，
∴D（﹣4，b），
∵点D在直线y＝﹣x﹣1上，
∴b＝4﹣1＝3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3．
10．（1）根据题意得，
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+7x﹣6；
（2）当y＝0时，﹣x2+7x﹣6＝0，解得x1＝1，x2＝6，
所以当x＜1或x＞6时，y＞0；
（3）设P（t，0）
当x＝0时，y＝﹣x2+7x﹣6＝﹣6，则D（0，﹣6），
所以AD，
当DP＝DA时，点P与点A关于x轴对称，此时P点坐标为（﹣1，0）；
当AP＝AD时，即AP，则此时P点坐标为（1，0）或（1，0）．
11．D．提示：抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，﹣3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣4），故选项错误；
B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，﹣3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（﹣1，﹣3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣3），故选项正确．
12．D．提示：∵任意实数m、n，定义m﹡n＝m﹣3n，
∴y＝x2﹡x+（﹣1）﹡1＝x2﹣3x﹣4，
∵0＜x＜3
当x时候有最小值﹣6，当x＝0时有最大值﹣4
∴﹣6y＜﹣4。
13．B．提示：∵对称轴为x＝1，
∴x1，
∴﹣b＝2a，
∴①2a+b＝0，故此选项正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故此选项正确；
∵图象开口向下，∴a＜0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＜0，故ac＞0错误；
∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．，
故④错误。
14．﹣2．
15．6．
16．y＝2x2+4x+1．提示：∵CD∥x轴，
而C（0，1），
∴D（﹣2，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即1，解得b＝4，
把C（0，1）代入y＝2x2+bx+c得c＝1，
∴抛物线解析式为y＝2x2+4x+1．
17．（1）yx2x+3；（2）（2，1）．提示：
（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入yx2+mx+n，得．
解得．
∴抛物线的解析式为yx2x+3，
故答案为yx2x+3；
（2）∵A（0，3），C（3，0），
∴OA＝OC＝3，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
过点E作EN⊥y轴于N，如图2．
在Rt△ANE中，EN＝AE sin45°AE，即AEEN，
∴点M在整个运动中所用的时间为DE+EN．
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，
则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，
∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．
根据两点之间线段最短可得：
当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．
此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，
∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．
对于yx2x+3，当y＝0时，有x2x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
∴D（2，0），OD＝2，
∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，
∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，
∴点E的坐标为（2，1），
故答案为（2，1）．
18．（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．
由韦达定理，得
1+3＝﹣b，1×3＝c，
∴b＝﹣4，c＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．
由（1）知抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3），
∴BC3，AC．
∵点A、B关于对称轴x＝2对称，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC．
此时，PB+PC＝BC．
∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．
∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3；
（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标，即（2，﹣1），
当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE＝AB＝BD＝DE＝2，此时不合题意，
故点D的坐标为：（2，﹣1）．
故答案是：（2，﹣1）．
19．（1）∵y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为：x1，
∴抛物线过（1，4）和（，）两点，
代入解析式得：，
解得：a＝﹣1，c＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；
由三角形两边之差小于第三边可知：
|PC﹣PD|≤|CD|，
∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为，
|CD|，
由于CD所在的直线解析式为y＝x+3，
将P（t，0）代入得t＝﹣3，
∴此时对应的点P为（﹣3，0）；
（3）y＝a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化为：
y，
设线段PQ所在的直线解析式为y＝kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：
线段PQ所在的直线解析式：y＝﹣2x+2t，
∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数
y有一个公共点，此时t，
当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t＝3，此时线段PQ与
y有两个公共点，所以当t＜3时，
线段PQ与y有一个公共点，
②将y＝﹣2x+2t代入y＝﹣x2+2x+3（x≥0）得：
﹣x2+2x+3＝﹣2x+2t，
﹣x2+4x+3﹣2t＝0，
令△＝16﹣4（﹣1）（3﹣2t）＝0，
t0，
所以当t时，线段PQ与y也有一个公共点，
③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ只与
y＝﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t＝﹣3，
所以当t≤﹣3时，线段PQ与y也有一个公共点，
综上所述，t的取值是t＜3或t或t≤﹣3．
第11页（共11页）
1．已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2 C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
2．一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝﹣2（x﹣2）2+4
C．y＝2（x+2）2﹣4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 …
y … ﹣2 ﹣2 0 …
则该二次函数的解析式为 __________ ．
4．已知二次函数y＝x2+2x+c的最小值为3，则这个二次函数的解析式为 ____________ ．
5．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为 ______．
6．如图，一个二次函数的图象经过点A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB＝OC．则这个二次函数的解析式是____________ ．
7．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y＝﹣x2+6x上．设OA＝m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为__________________ ．
8．已知二次函数的图象经过点（0，﹣2），且当x＝1时函数有最小值﹣3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点（﹣2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．
9．直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C点，且CD∥x轴，求抛物线解析式．
10．已知抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（1，0），B（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y＜0，直接写出自变量x的取值范围；
（3）抛物线与y轴交于点D，P是x轴上一点，且△PAD是以AD为腰的等腰三角形，试求P点坐标．
11．若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x﹣5 B．y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a＞0）
C．y＝﹣2x2﹣4x﹣5 D．y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）
12．对于任意实数m、n，定义m﹡n＝m﹣3n，则函数y＝x2﹡x+（﹣1）﹡1，当0＜x＜3时，y的范围为（ ）
A．﹣1＜y＜4 B．﹣6y＜4 C．﹣1≤y≤4 D．﹣6y＜﹣4
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：
①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c＝ ____________ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y于点B、C，则BC的长为______．
16．抛物线y＝2x2+bx+c与y轴交于点C（0，1），过点C的直线MN∥x轴，且与抛物线的另一交点为D（﹣2，n），则此抛物线的解析式为____________ ．
17．如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（1）抛物线的解析式__________________；
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止．若使点M在整个运动中用时最少，则点E的坐标 ．
18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ______ ．
19．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；
（2）求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；
（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y＝a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．
【参考答案】
1．D．
2．B．
3．y＝x2+x﹣2．
4．y＝x2+2x+4．
5．
6．yx2x+5．
7．l＝﹣2m2+8m+12．
8．（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点（0，﹣2），则有：
a（0﹣1）2﹣3＝﹣2，解得a＝1；
因此抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣3．
（2）∵a＝1＞0，
∴故抛物线的开口向上；
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，
∴y2最小．
由于（﹣2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．
于是y2＜y3＜y1．
9．如图，∵直线y＝﹣x﹣1交于x轴上A点，
∴A（﹣1，0），
∵抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点，
∴a﹣4a+b＝0，
∴b＝3a，
由抛物线y＝ax2+4ax+b可知C（0，b），
∵CD∥x轴，
∴C、D是对称点，且D的纵坐标为b，
∵抛物线的对称轴是：x＝﹣2，
∴D（﹣4，b），
∵点D在直线y＝﹣x﹣1上，
∴b＝4﹣1＝3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3．
10．（1）根据题意得，
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+7x﹣6；
（2）当y＝0时，﹣x2+7x﹣6＝0，解得x1＝1，x2＝6，
所以当x＜1或x＞6时，y＞0；
（3）设P（t，0）
当x＝0时，y＝﹣x2+7x﹣6＝﹣6，则D（0，﹣6），
所以AD，
当DP＝DA时，点P与点A关于x轴对称，此时P点坐标为（﹣1，0）；
当AP＝AD时，即AP，则此时P点坐标为（1，0）或（1，0）．
11．D．提示：抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，﹣3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣4），故选项错误；
B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，﹣3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（﹣1，﹣3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣3），故选项正确．
12．D．提示：∵任意实数m、n，定义m﹡n＝m﹣3n，
∴y＝x2﹡x+（﹣1）﹡1＝x2﹣3x﹣4，
∵0＜x＜3
当x时候有最小值﹣6，当x＝0时有最大值﹣4
∴﹣6y＜﹣4。
13．B．提示：∵对称轴为x＝1，
∴x1，
∴﹣b＝2a，
∴①2a+b＝0，故此选项正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故此选项正确；
∵图象开口向下，∴a＜0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＜0，故ac＞0错误；
∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．，
故④错误。
14．﹣2．
15．6．
16．y＝2x2+4x+1．提示：∵CD∥x轴，
而C（0，1），
∴D（﹣2，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即1，解得b＝4，
把C（0，1）代入y＝2x2+bx+c得c＝1，
∴抛物线解析式为y＝2x2+4x+1．
17．（1）yx2x+3；（2）（2，1）．提示：
（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入yx2+mx+n，得．
解得．
∴抛物线的解析式为yx2x+3，
故答案为yx2x+3；
（2）∵A（0，3），C（3，0），
∴OA＝OC＝3，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
过点E作EN⊥y轴于N，如图2．
在Rt△ANE中，EN＝AE sin45°AE，即AEEN，
∴点M在整个运动中所用的时间为DE+EN．
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，
则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，
∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．
根据两点之间线段最短可得：
当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．
此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，
∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．
对于yx2x+3，当y＝0时，有x2x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
∴D（2，0），OD＝2，
∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，
∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，
∴点E的坐标为（2，1），
故答案为（2，1）．
18．（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．
由韦达定理，得
1+3＝﹣b，1×3＝c，
∴b＝﹣4，c＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．
由（1）知抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3），
∴BC3，AC．
∵点A、B关于对称轴x＝2对称，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC．
此时，PB+PC＝BC．
∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．
∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3；
（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标，即（2，﹣1），
当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE＝AB＝BD＝DE＝2，此时不合题意，
故点D的坐标为：（2，﹣1）．
故答案是：（2，﹣1）．
19．（1）∵y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为：x1，
∴抛物线过（1，4）和（，）两点，
代入解析式得：，
解得：a＝﹣1，c＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；
由三角形两边之差小于第三边可知：
|PC﹣PD|≤|CD|，
∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为，
|CD|，
由于CD所在的直线解析式为y＝x+3，
将P（t，0）代入得t＝﹣3，
∴此时对应的点P为（﹣3，0）；
（3）y＝a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化为：
y，
设线段PQ所在的直线解析式为y＝kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：
线段PQ所在的直线解析式：y＝﹣2x+2t，
∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数
y有一个公共点，此时t，
当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t＝3，此时线段PQ与
y有两个公共点，所以当t＜3时，
线段PQ与y有一个公共点，
②将y＝﹣2x+2t代入y＝﹣x2+2x+3（x≥0）得：
﹣x2+2x+3＝﹣2x+2t，
﹣x2+4x+3﹣2t＝0，
令△＝16﹣4（﹣1）（3﹣2t）＝0，
t0，
所以当t时，线段PQ与y也有一个公共点，
③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ只与
y＝﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t＝﹣3，
所以当t≤﹣3时，线段PQ与y也有一个公共点，
综上所述，t的取值是t＜3或t或t≤﹣3．
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