抛物线及其标准方程活页规范训练（北师大版选修1-1）

抛物线及其标准方程
1．平面上到定点A(1，1)和到直线l：x＋2y＝3距离相等的点的轨迹为(　　)．
A．直线 B．抛物线 C．圆 D．椭圆
2．抛物线y2＝ax的准线方程是x＝－2，则a的值是(　　)．
A.　　　　B．－　　　　C．8　　　　D．－8
3．若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是(　　)．
A．圆　　　　　　　　　　 B．椭圆
C．圆的一部分 D．抛物线
4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝________．
6．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过A(－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．
7．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 (　　)．
A．2 B. C. D.
8．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是 (　　)．
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．以上都不对
9．抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽________米．
10．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则·的值是________．
11．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？
12．(创新拓展)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
参考答案
1．平面上到定点A(1，1)和到直线l：x＋2y＝3距离相等的点的轨迹为(　　)．
A．直线 B．抛物线 C．圆 D．椭圆
解析　定点A(1，1)在直线l：x＋2y＝3上，因此满足条件的点的轨迹是过A且与直线l垂直的直线．
答案　A
2．抛物线y2＝ax的准线方程是x＝－2，则a的值是(　　)．
A.　　　　B．－　　　　C．8　　　　D．－8
解析　由题意知a>0，即2p＝a，∴＝
∴－＝－2，p＝4，∴a＝8.
答案　C
3．若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是(　　)．
A．圆　　　　　　　　　　 B．椭圆
C．圆的一部分 D．抛物线
解析　如图所示，以直线l为y轴，以过点A且与l垂直的直线为x轴建立直角坐标系，设动圆的圆心为P，则|PA|＝|PB|.
即动点P到定点A和到定直线l的距离相等，依定义可知，动圆圆心的轨迹为抛物线．
答案　D
4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．
解析　由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，
得m2＝16.∴m＝±4.
答案　±4
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝________．
解析　由抛物线定义，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案　8
6．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过A(－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．
解　由已知设抛物线的标准方程是x2＝－2py(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，
把A(－2，－4)代入x2＝－2py或y2＝－2px，得p＝或p＝4，故所求的抛物线的标准方程是x2＝－y或y2＝－8x.
当抛物线方程是x2＝－y时，焦点坐标是F，准线方程是y＝；当抛物线方程是y2＝－8x时，焦点坐标是F(－2，0)，准线方程是x＝2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 (　　)．
A．2 B. C. D.
解析　椭圆方程4x2＋y2＝1的焦点为，对于抛物线，顶点与焦点的距离为，∴＝，p＝.故焦点到准线的距离为.
答案　B
8．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是
(　　)．
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．以上都不对
解析　把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
∴动点M到原点的距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．
∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
答案　C
9．抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽________米．
解析　以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为x2＝－2py，
则点(－2，－2)在抛物线上，则有4＝4p.∴p＝1，
∴抛物线方程为x2＝－2y，当y＝－3时，x＝±.
∴水面宽为2米．
答案　2
10．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则·的值是________．
解析　当直线过焦点且垂直于x轴时，直线方程为x＝1，代入y2＝4x，y＝±2.A，B点的坐标分别为(1，2)，(1，－2)．
∴·＝1－4＝－3.
当直线过焦点不垂直于x轴时，则直线的方程可设为y＝k(x－1)，
设A，B坐标分别为(x1，y1)(x2，y2)．则y·y＝16x1x2.
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1x2＝1，∵y1y2＜0，
∴y1y2＝－4，·＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3.
答案　－3
11．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？
解　取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示．
因灯口直径|AB|＝24 cm.灯深|OP|＝10 cm，所以点A的坐标是(10，12)．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
由点A(10，12)在抛物线上，得122＝2p×10，∴p＝7.2.
抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0)．
因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.
12．(创新拓展)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解　法一　设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，
准线方程为y＝2.
法二　如图所示：
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，∴3＋＝5，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.