抛物线的简单性质活页规范训练（北师大版选修1-1）

抛物线的简单性质
1．以x轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是 (　　)．
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
2．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1，2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为(　　)．
A. B. C. D.
3．已知点A(－2，0)、B(3，0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是(　　)．
A．圆　 　 　 B．椭圆 　 　 C．直线　 　D．抛物线
4．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝ ________.
5．设点M与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则当d1＋d2取最小值时，P点坐标为________．
6．求经过点A(t2，t)(t≠0)的抛物线的标准方程．
7．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是(　　)．
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
8．在抛物线y＝x2上有三点A、B、C，其横坐标为－1，2，3，在y轴上有一点D的纵坐标为6，那么以A、B、C、D为顶点的四边形是(　　)．
A．正方形 B．平行四边形
C．菱形 D．任意四边形
9．若点(3，1)是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________．
10．如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点恰好是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且两条曲线交点的连线过F，则该椭圆的离心率是________．　
11．过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB.求证：直线AB过抛物线对称轴上的一定点．
12．(创新拓展)过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
参考答案
1．以x轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是
(　　)．
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
解析　∵通径长为8，∴2p＝8.∵抛物线的对称轴为x轴，
∴抛物线的方程为y2＝±8x.
答案　C
2．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1，2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为(　　)．
A. B. C. D.
解析　由已知得抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x＋y－4＝0，抛物线y2＝4x的焦点坐标是F(1，0)，到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝.
答案　B
3．已知点A(－2，0)、B(3，0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是(　　)．
A．圆　 　 　 B．椭圆 　 　 C．直线　 　D．抛物线
解析　依题意，PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)．又PA·PB＝x2，∴(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，即y2＝x＋6.∴点P的轨迹是抛物线．
答案　D
4．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝ ________.
解析　圆x2＋y2－6x－7＝0的圆心为(3，0)，与x轴的交点为(－1，0)或(7，0)，∴抛物线的准线方程为x＝－1.∴p＝2.
答案　2
5．设点M与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则当d1＋d2取最小值时，P点坐标为________．
解析　当P点是M与焦点F连线与抛物线交点时，d1＋d2最小，MF的方程为y＝x－，与抛物线y2＝2x联立得P(2，2)．
答案　(2，2)
6．求经过点A(t2，t)(t≠0)的抛物线的标准方程．
解　(1)当t＞0时，A(t2，t)在第一象限，所以抛物线的开口可能向上，也可能向右．
①抛物线的开口向上时，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，代入得抛物线的标准方程x2＝t3y；
②抛物线的开口向右时，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，代入得抛物线的标准方程y2＝x；
(2)当t＜0时，A(t2，t)在第四象限，所以抛物线的开口可能向下，也可能向右．
①抛物线的开口向下时，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，代入得抛物线的标准方程x2＝t3y；
②抛物线的开口向右时，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，代入得抛物线的标准方程y2＝x；
综上所述经过点A(t2，t)(t≠0)的抛物线的标准方程为x2＝t3y或y2＝x.
7．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是(　　)．
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
解析　设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，
因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.
答案　A
8．在抛物线y＝x2上有三点A、B、C，其横坐标为－1，2，3，在y轴上有一点D的纵坐标为6，那么以A、B、C、D为顶点的四边形是(　　)．
A．正方形 B．平行四边形
C．菱形 D．任意四边形
解析　A(－1，1)，B(2，4)，C(3，9)，D(0，6)，AB＝(3，3)，CD＝(－3，－3)，
∴AB∥CD，|AB|＝|CD|＝3.
∴四边形ABCD是平行四边形．
答案　B
9．若点(3，1)是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________．
解析　设弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则作差整理得，＝＝2，又因为＝1，所以y1＋y2＝2，p＝2.
答案　2
10．如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点恰好是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且两条曲线交点的连线过F，则该椭圆的离心率是________．　
解析　如图所示，设椭圆的左焦点为F′，两条曲线在x轴上方的交点为M，连结MF′，2c＝p，MF′＋MF＝p＋p＝2a，
所以e＝＝＝－1.
答案　－1
11．过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB.求证：直线AB过抛物线对称轴上的一定点．
证明　法一　依题意，设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，且t1≠0，t2≠0.
∵OA⊥OB，∴·＝－1，即t1t2＝－1，
∴t2＝－.
∴直线AB的斜率k＝＝＝.
∴直线AB方程为y－2pt1＝(x－2pt)，
可化为(x－2p)－y＝0.
∴直线AB过定点(2p，0)．
法二　设直线OA方程为y＝kx(x≠0)，
则由OA⊥OB，得OB方程为y＝－x.
由得A，
由得B(2pk2，－2pk)．
设直线AB与对称轴的交点为M(m，0)，则A、M、B三点共线．
∴＝，
∴即(1＋k2)m＝(1＋k2)2p，∴m＝2p.
即AB交x轴于定点(2p，0)．
12．(创新拓展)过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
证明　法一　如图
∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，
∴经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，
∴y1y2＝－p2.
∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，
∴点C的坐标为，故直线CO的斜率k＝＝＝，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.
法二　如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过点A作
AD⊥l，D是垂足，则AD∥FE∥BC.
连接AC，与EF相交于点N，则＝＝，＝，
根据抛物线的几何性质有|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，
∴|EN|＝＝＝|NF|.
即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.
法三　设OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，
则FA＝，FB＝.
∵FA∥FB，∴y2－y1＝0.
整理得y1y2＝－p2.
又∵BC∥x轴，
∴OC＝.
∴x1y2－y1＝y2＋y1
＝＝·＝0.
∴OA∥OC，又O是OA，OC的公共点．
∴A、O、C三点共线即直线AC经过原点O.