辽宁省凌源市2021-2022学年高一下学期3月开学考试数学试题（Word版含解析）

凌源市2021-2022学年高一下学期开学考试
数学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷。草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：必修第一册占40%，必修第二册占60%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，且，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设函数，若，则实数a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
6．规定投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环及以上为优秀，现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖在8环以下；用1表示该次投镖在8环及以上；再以每三个随机数作为一组，代表3次投掷的结果，经随机模拟实验产生了如下20组随机数：
101 100 011 101 010 100 100 011 111 110
000 011 010 001 111 011 100 000 101 101
据此估计，该选手投掷飞镖一轮成绩为
A． B． C． D．
7．如图所示，在中，，，CD交BE于F，设，，，则x，y分别为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为 C．众数为2和3 D．第85%分位数为4.5
10．已知、为两个单位向量，下列四个命题中错误的是（ ）
A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C． D．
11．设正实数m、n满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“”的否定为______．
14．已知函数，且，则______．
15．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在2200名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图推测这2200名学生在该次数学考试中成绩不小于80分的学生有______人．
16．设函数，定义在R上的偶函数满足，当时，，则与的图象所有交点的横坐标之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知二次函数的最大值为2，且．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数m的取值范围．
19．（12分）如图，设矩形ABCD（）的周长为，将沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，设，求面积的最大值及相应x的值．
20．（12分）设函数．
（1）证明：在区间上单调递增；
（2）若，使得，求实数m的取值范围．
21．（12分）近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，导致猪肉的市场零售均价一直居高不下，在一个高价区域范围内上下波动．政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况，在2021年5月份的某一天，某市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了100家超市了解情况，得到这些超市在当天的猪肉零售均价（单位：元/公斤）x的频数分布表如下：
x的分组
超市家数 9 24 52 9 6
（1）请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例和零售均价小于50元/公斤的超市比例；
（2）用分层抽样的方法在样本均价位于分组区间和（单位：元/公斤）的超市中抽取5家超市，再从这5家超市中任选2家超市进行市场零售均价调控约谈，问选出的2家超市的均价都在区间内的概率？
22．（12分）已知函数．
（1）若函数只有一个零点，求实数a的值；
（2）若，对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围．
参考答案、提示及评分细则
1．D ，，．
2．A ，
3．A
4．B 由题意知，，当时，有，解得，（不满足条件，舍去）；当时，有，解得（不满足条件，舍去）或．所以实数a的值是：．
5．C 由函数为幂函数知，，解得或．
在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，
当时，，符合题意，
，．
6．B 总的事件有20个，其中3次至少两次投中的事件有：101，011，101，011，111，110，011，111，011，101，101共11个，故投掷飞镖一轮成绩为优秀的概率为．
7．A 延长AF与BC交于M，
8．A 函数在R上单调递减，解得，实数a的取值范围是．
9．ABC 将数据从小到大排序为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，故中位数为，故A正确；众数为2，3，故C正确；平均数是，方差是
，故B正确；第85%百分位数为第9个数字5，故D错误．
10．ABC
11．ABD 因为，可得，当且仅当时，等号成立，A正确；，，，B正确；由基本不等式可得，因为，故，当且仅当时，等号成立，C错误；因为正实数m、n满足，则，，故，D正确．
12．AD 显然是R上的增函数．由得，所以，故A成立；取，，，故B不成立；取，，，故C不成立；
由得，所以，故D成立．
13．
14．11
15．616 ．
16．4 由题知，函数的图象关于直线对称；由函数满足知，函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数与的图象如图所示：
设图中四个交点的横坐标为，由图可知，，
与的图象所有交点的横坐标之和为4．
17．解：由“”是“”的充分不必要条件得集合A是B的真子集
实数a的取值范围为．
18．解：（1）二次函数的最大值为2，且，
对称轴方程为，
设，，，
；
（2）要使在区间上不单调，则，解得
故实数m的取值范围为．
19．解：由题意，矩形ABCD（）的周长为，且，
，则，，
又由，
在中，解得，
当且仅当时，即时，等号成立，
面积的最大值为，此时．
20．（1）证明：
设，则
，，，，
，
，在区间上单调递增；
（2）解：设，
使得等价于使得，即
设，则，
由（1）可知，在上单调递增，
当，即时，y取得最小值为，，
实数m的取值范围为
21．解：（1）根据各超市的猪肉零售均价的频数分布表，得所调查的100家超市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市频率为；零售均价小于50元/公斤的超市频率为；
用样本频率分布估计总体分布，得该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例为6%，零售均价小于50元/公斤的超市比例为33%．
（2）由题知，抽取的5家超市中，有三家均价在，即为a，b，c，有两家均价在区间，即为A，B，则从中任取两家，共有ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB共有10种，其中均价都在区间内有ab，ac，bc共3种，故所求的概率为．
22．解：（1）由，得，整理得
当时，可得，满足函数只有一个零点；
当时，函数的对称轴，，
结合函数图象，令，解得，满足函数只有一个零点；
当时，函数的对称轴，，
结合函数图象，函数在上只有一个零点，
综上所述，a的值为或
（2）由题知函数，
任取，则，
，，，
，，
函数在上单调递减，函数在区间上最大值与最小值分别为，，
整理得对任意恒成立，
令，
函数在区间上单调递增，，即，解得
故实数a的取值范围为