北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线 教案

角平分线
【预习提示】
1．如何用折纸方法得到角平分线？
2．角平分线的定理和逆定理分别是什么？
3．怎样用尺规作一个角的平分线？
【教学目标】
1．能力目标：
（1）培养学生将文字语言转化为符号语言，图示语言的能力。
（2）了解和掌握角平分线性质和判定定理的证明，会用尺规作已知角的平分线，并说明理由。
2．情感目标：
积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，在学习中体验成功，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重难点】
重点：
1．角平分线的性质和判定定理的证明
2．用尺规法作已知角平分线，并说明理由。
难点：
1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题。
2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明
【教学方法】
先学后教，探索引导
【教学准备】
一张纸、直尺、圆规、多媒体演示
【教学过程】
一、提出问题，构建活动空间
我们曾用折纸的方法探索出角平分线上的点的性质；即角平分线上的点到角的两边的距离相等，你能证明它吗？
[提问学生]：已知，如图OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB垂足分别为D、E，求证：PD=PE
证明：∵∠1=∠2 OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴△PDO≌△PEO）（AAS）
∴PD=PE（全等三角形对应边相等）
[师]：我们用公理证明了我们在折纸过程中得到的结论。我们把它叫做角平分线的性质定理：（用多媒体展示出定理的内容）
[师]：我们经常用逆向思维得到一个命题的逆命题，你能写出这个定理的逆命题吗？
适当提问后展示下列两个结果，（学生讨论后得出正确结果）
（1）到角的两边距离相等的点在角平分线上。
（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点，在角的平分线上。
教师作适当说明，以确定（2）是正确的。
[师]：事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而角的内部通常是指小于180°的角的内部，其余部分为外部。如图到∠AOB两边的距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但只有射线OC才是∠AOB的平分线，所以，逆命题中应加上“在角的内部”这一条件。
多媒体展示：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
师生共同完成其证明
[提问学生]：已知，在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足，且PD=PE
求证：P在∠AOB的平分线上
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△ODP和Rt△OEP中，
OP=OP PD=PE
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）
∴∠1=∠2 ∴P在∠AOB的平分线上。
[师]：通过证明我们知道角平分线定理的逆命题是真命题，我们把它叫做角平分线的判定定理。
[师]：我们证明了角平分线的性质定理和判定定理。你能用什么方法平分已知角吗？（小组讨论）提问
[师]：今天，我们用尺规作图的方法平分已知角（提问学生回答已知和求作）
[提问学生]：已知，如图∠AOB
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC
作法：
1．在OA 和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
2．分别经D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
3．作射线OC，OC即为∠AOB的平分线
师生一起分析作图过程，提问学生回答OC为什么平分∠AOB随后多媒体展示，作图及证明过程。
二、随堂练习
1．如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角和外角平分线，它们有什么关系？
2．课本习题
三、畅谈收获
1．证明了角平分线的性质定理和判定定理
2．用尺规法平分已知角
四、拓展延伸
如图：在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和OS相交于点C
求证：OC 平分∠AOB
证明过程师生共同分析后多媒体展示：
【板书设计】
角平分线（一）
1．角平分线性质定理 证明1
2．角平分线判定定理 证明2
3．用尺规平分已知角
【作业布置】
练习巩固
1．在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，已知BC=4，BD=3，则D到AB的距离是 1 ，若BC=40，BD：CD=5：3，则D到AB的距离是 15 ，若BD：DC=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是 15 。
2．在△ABC的内部有一点P，点P到三边距离相等，则P 一定（是角平分线）的交点。
3．如图： ∠FAC=∠BAC， DF⊥AD， CE⊥AB， CD=CB，
则线段BE和DF的大小关系是相等。
4．如图，求作一点P使PC=PD并且使点P到∠AOB的两边距离相等，若线段CD与∠AOB的平分线垂直，你能找到适合条件的点P吗？为什么？
作法：
（1）连接CD
（2）作线段CD的垂直平分线MN
（3）作∠AOB的平分线OE交MN于P，则点P即为所求
若线段CD与∠AOB的平分线垂直，则CD的垂直平分线与∠AOB的平分线平行，所以此时不能找到适合条件的点P。
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