16.3分式方程及应用学案（共3课时）
文档属性
| 名称 | 16.3分式方程及应用学案（共3课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 45.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-12-29 19:12:38 | ||
图片预览
文档简介
解分式方程 第一课时
——可化为一元一次方程的分式方程解法
【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；2.了解分式方程验根的必要性；3.进一步强化数学的“转化”思想。
【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤，明确解分式方程验根的必要性。
一、学习准备
1.当x= 时，分式无意义。
2.当x= 时分式的值为__________。
3.的公分母 ；的公分母 。
二、教材解读与挖掘
1.阅读教材26—29页。
2.例一：回忆一元一次方程的解法，解方程
解：
第一步，去分母：方程两边同时乘以分母的最小倍数6得：
第二步，去括号得：
第三步，移项，合并得：
第四步，化x的系数为1得：
【解后反思】本题的易错点：
例二：模仿例一的解法及步骤，解方程
第一步，去分母：
第二步，去括号：
第三步，移项，合并：
第四步，化x的系数为1：
【解后反思】这样解出的x是方程的解吗？你怎样检验？
【试一试】解分式方程
例三：解分式方程
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步，检验：
【解后反思】解出来的x是方程的解吗，为什么？
【小结】你能根据以上几个例题总结出解分式方程的一般步骤？
解一元一次方程的步骤
解分式方程的步骤
每步的注意事项
备注
请比较它们的相同点和不同点：
你检验的方式：
三、【达标测试】
方程的解是x=
若关于x的分式方程有增根，则增根可能是
解方程：①： ②：
③：
四、【巩固提高】
1、解方程
2、若关于x的方程有增根，求m的值。
五、【资源链接】等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是不能保证原来的条件完全成立，往往要对结论进行必要的修；正如分式方程方程化一元一次方程要求验根。等价转化思想它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
如例三，方程：转化为2-x=-1-2（x-3）,这个过程就是一个非等价转化。
解分式方程 第二课时
【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；2.掌握解分式方程中的一些常见技巧。
【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤。
一、学习准备
1、若关于x的方程有增根，则k= 。
2、已知关于x的方程的根相同，则a= .
二、例一：解方程：
第一步，去分母：
第二步，去括号：
第三步，移项，合并：
第四步，化x的系数为1：
第五步，检验：
【练习】解下列分式方程
1、 2、 3、
4、
5、若分式方程有增根则m的值为多少？
6、a为何值时，关于x的方程会产生增根？
三、【达标测试】
1、（2008，黑龙江）关于x的分式方程，下列说法正确的是（ ）
A.方程的解是x=m+5 B.m>-5时，方程的解是正数
C.m<-5时，方程的解是负数 D.无法确定
2、用换元法解方程时，如果设y=,那么原方程可化为 。
3、当m= 时，关于x的方程有增根。
4、（2007，天津）如果，试求A,B的值。
5、若关于x的方程的解为正数，a的取值范围。
6、解方程①的根是x= .②的根是
x= .
③ 的根是x= . ④的根是x=
……
请你根据规律直接写出第⑤、⑥两个方程及它们的根；
请你用一个正整数n的式子表示出上述规律，并求出它的根。
列分式方程解应用题
【学习目标】1. 能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤。
【学习重点】列分式方程解应用题.。
一、学习准备
1、阅读教材29—30页。
2、解方程：①： ②：
二、教材解读与挖掘
例3．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式：
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：甲、乙两个工程总量＝总工程量
第三步：（设）设x，并把相关量用x表示出来：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队半个月完成总工程的＋。
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：则有＋＋＝1
第五步：（解）解方程得：x=1
第六步：（检验）
例：一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：
路程：骑车行进路程=队伍行进路程= (千米)
速度：骑车的速度= 倍步行速度
时间：骑车所用的时间=步行的时间－ 小时.
第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为x，并把相关量用x表示出来：
设这名学生骑车追上队伍需x小时，则队伍所走时间(x+0.5)小时。
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：
第五步：（解）解方程得：x=
第六步：（检验）经检验x=是方程的解，∴这名学生追到队伍用了x=
【解后反思】解本题的关键点：
解本题的易错点：
你能用另一种方法解本题吗？
【试一试】已知甲、乙两站相距828千米，一列普通快车与一列直达快车都由甲站开往乙站，直达快车平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2个小时，结果比普通快车早4个小时到达乙站，分别求出两车的平均速度。
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：
第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为x，并把相关量用x表示出来
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：
第五步：（解）解方程得：
第六步：（检验） ∴
【解后反思】解本题的关键点：
解本题的易错点：
【小结】你能根据以上几题总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？
三、【达标测试】
1、填空：
(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；
(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;
(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.
2、某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
四、【巩固提高】
3、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
列分式方程解应用题
学习目标：
1．会分析题意找出等量关系.
2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
学习重点：利用分式方程组解决实际问题.
学习准备
1．列方程应用题的步骤是什么？
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
2．我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？
(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间
而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
(2)数字问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题
基本公式：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题
v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．
【试一试】已知甲、乙两站相距828千米，一列普通快车与一列直达快车都由甲站开往乙站，直达快车平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2个小时，结果比普通快车早4个小时到达乙站，分别求出两车的平均速度。
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：
第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为x，并把相关量用x表示出来
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：
第五步：（解）解方程得：
第六步：（检验） ∴
二、教材解读与挖掘
例4：从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时。用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前的平均速度为x千米/时，则
提速前列车行驶s千米所用的时间为小时，提速后列车的平均速度为（x＋v）千米/时，提速后列车行驶（s＋50）千米所用 的时间为小时。
等量关系：提速前行驶50千米所用的时间＝提速后行驶（s＋50）千米所用的时间
列方程得：
＝
例.甲、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．
根据题意，得
解得? x=4.5．
经检验，x=4.5是这方程的解．
答：甲速度为5千米/小时，乙速度为4.5千米/小时．
三、【达标测试】
1、某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）
A、─ B、 C、 D、=5
2、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A、 B、 C、 D、
3、某公司招聘打字员，要求每分钟至少打字120个，有甲、乙二人前来应聘，已知乙的工作效率比甲高25%，甲打1800个字的时间比乙打2000个字所用的时间多2分钟，问甲、乙二人是否被录用？
4、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的，求步行和骑自行车的速度各是多少？
5、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？
四、【巩固提高】
6、（成都市08年中考题） 金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.
——可化为一元一次方程的分式方程解法
【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；2.了解分式方程验根的必要性；3.进一步强化数学的“转化”思想。
【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤，明确解分式方程验根的必要性。
一、学习准备
1.当x= 时，分式无意义。
2.当x= 时分式的值为__________。
3.的公分母 ；的公分母 。
二、教材解读与挖掘
1.阅读教材26—29页。
2.例一：回忆一元一次方程的解法，解方程
解：
第一步，去分母：方程两边同时乘以分母的最小倍数6得：
第二步，去括号得：
第三步，移项，合并得：
第四步，化x的系数为1得：
【解后反思】本题的易错点：
例二：模仿例一的解法及步骤，解方程
第一步，去分母：
第二步，去括号：
第三步，移项，合并：
第四步，化x的系数为1：
【解后反思】这样解出的x是方程的解吗？你怎样检验？
【试一试】解分式方程
例三：解分式方程
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步，检验：
【解后反思】解出来的x是方程的解吗，为什么？
【小结】你能根据以上几个例题总结出解分式方程的一般步骤？
解一元一次方程的步骤
解分式方程的步骤
每步的注意事项
备注
请比较它们的相同点和不同点：
你检验的方式：
三、【达标测试】
方程的解是x=
若关于x的分式方程有增根，则增根可能是
解方程：①： ②：
③：
四、【巩固提高】
1、解方程
2、若关于x的方程有增根，求m的值。
五、【资源链接】等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是不能保证原来的条件完全成立，往往要对结论进行必要的修；正如分式方程方程化一元一次方程要求验根。等价转化思想它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
如例三，方程：转化为2-x=-1-2（x-3）,这个过程就是一个非等价转化。
解分式方程 第二课时
【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；2.掌握解分式方程中的一些常见技巧。
【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤。
一、学习准备
1、若关于x的方程有增根，则k= 。
2、已知关于x的方程的根相同，则a= .
二、例一：解方程：
第一步，去分母：
第二步，去括号：
第三步，移项，合并：
第四步，化x的系数为1：
第五步，检验：
【练习】解下列分式方程
1、 2、 3、
4、
5、若分式方程有增根则m的值为多少？
6、a为何值时，关于x的方程会产生增根？
三、【达标测试】
1、（2008，黑龙江）关于x的分式方程，下列说法正确的是（ ）
A.方程的解是x=m+5 B.m>-5时，方程的解是正数
C.m<-5时，方程的解是负数 D.无法确定
2、用换元法解方程时，如果设y=,那么原方程可化为 。
3、当m= 时，关于x的方程有增根。
4、（2007，天津）如果，试求A,B的值。
5、若关于x的方程的解为正数，a的取值范围。
6、解方程①的根是x= .②的根是
x= .
③ 的根是x= . ④的根是x=
……
请你根据规律直接写出第⑤、⑥两个方程及它们的根；
请你用一个正整数n的式子表示出上述规律，并求出它的根。
列分式方程解应用题
【学习目标】1. 能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤。
【学习重点】列分式方程解应用题.。
一、学习准备
1、阅读教材29—30页。
2、解方程：①： ②：
二、教材解读与挖掘
例3．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式：
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：甲、乙两个工程总量＝总工程量
第三步：（设）设x，并把相关量用x表示出来：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队半个月完成总工程的＋。
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：则有＋＋＝1
第五步：（解）解方程得：x=1
第六步：（检验）
例：一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：
路程：骑车行进路程=队伍行进路程= (千米)
速度：骑车的速度= 倍步行速度
时间：骑车所用的时间=步行的时间－ 小时.
第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为x，并把相关量用x表示出来：
设这名学生骑车追上队伍需x小时，则队伍所走时间(x+0.5)小时。
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：
第五步：（解）解方程得：x=
第六步：（检验）经检验x=是方程的解，∴这名学生追到队伍用了x=
【解后反思】解本题的关键点：
解本题的易错点：
你能用另一种方法解本题吗？
【试一试】已知甲、乙两站相距828千米，一列普通快车与一列直达快车都由甲站开往乙站，直达快车平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2个小时，结果比普通快车早4个小时到达乙站，分别求出两车的平均速度。
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：
第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为x，并把相关量用x表示出来
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：
第五步：（解）解方程得：
第六步：（检验） ∴
【解后反思】解本题的关键点：
解本题的易错点：
【小结】你能根据以上几题总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？
三、【达标测试】
1、填空：
(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；
(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;
(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.
2、某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
四、【巩固提高】
3、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
列分式方程解应用题
学习目标：
1．会分析题意找出等量关系.
2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
学习重点：利用分式方程组解决实际问题.
学习准备
1．列方程应用题的步骤是什么？
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
2．我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？
(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间
而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
(2)数字问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题
基本公式：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题
v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．
【试一试】已知甲、乙两站相距828千米，一列普通快车与一列直达快车都由甲站开往乙站，直达快车平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2个小时，结果比普通快车早4个小时到达乙站，分别求出两车的平均速度。
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：
第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为x，并把相关量用x表示出来
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：
第五步：（解）解方程得：
第六步：（检验） ∴
二、教材解读与挖掘
例4：从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时。用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前的平均速度为x千米/时，则
提速前列车行驶s千米所用的时间为小时，提速后列车的平均速度为（x＋v）千米/时，提速后列车行驶（s＋50）千米所用 的时间为小时。
等量关系：提速前行驶50千米所用的时间＝提速后行驶（s＋50）千米所用的时间
列方程得：
＝
例.甲、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．
根据题意，得
解得? x=4.5．
经检验，x=4.5是这方程的解．
答：甲速度为5千米/小时，乙速度为4.5千米/小时．
三、【达标测试】
1、某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）
A、─ B、 C、 D、=5
2、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A、 B、 C、 D、
3、某公司招聘打字员，要求每分钟至少打字120个，有甲、乙二人前来应聘，已知乙的工作效率比甲高25%，甲打1800个字的时间比乙打2000个字所用的时间多2分钟，问甲、乙二人是否被录用？
4、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的，求步行和骑自行车的速度各是多少？
5、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？
四、【巩固提高】
6、（成都市08年中考题） 金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.