北师大版七下数学第四章全等三角形典型证明题专练（Word版，附答案解析）

全等三角形典型证明题专练
1．（2021八上·南充期末）如图， 是 的中线，F为 上一点，E为 延长线上一点，且 .求证： .
2．（2021八上·营口期末）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：PC＝AN．
3．（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，AB//DC，ADCD，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，试探求AB、CD与BC的数量关系，并说明你的理由．
4．（2021八上·盖州月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E,且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD
5．（2021八上·台安月考）如图，四边形 中， ， ， ，M、N分别为AB、AD上的动点，且 ．求证： ．
6．（2019八上·海淀期中）已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明
7．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
8．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.
（1）求∠EFD的度数；
（2）判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．
9．（2021八上·彭水期末）如图， 中， ， 是 上一点，满足 ，连接 交 于点 ， ，交 于点 ，连结 .
（1）求证： .
（2）请你判断 与 的大小关系，并证明你的结论.
10．（2021八上·台安月考）
（1）如图所示，BD，CE是 的高，点P在BD的延长线上， ，点Q在CE上， ，探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的 改为钝角三角形， ， 是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
11．（2021八上·淮北月考）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正确的一个是　 　（请写序号），并给出证明过程．
12．（2021八上·肥城期中）如图，四边形 中， ， 平分 ， ， ，垂足分别为 试说明：
（1） ；
（2） ．
13．（2021八上·萧山期中）已知：如图，AB//CD，PB，PC分别平分∠ABC和∠DCB，过P点作直线FG分别相交于AB与CD点F，G．
（1）求证：PF＝PG；
（2）若BF＝2，CG＝7，求BC的长.
14．（2021七上·广饶期中）如图，已知 为等边三角形（三条边相等三个角为 的三角形），点D、E分别在BC、AC边上，且 ，AD与BE相交于点F．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
15．（2021七上·济宁期末）如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点 E 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点F，且 AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若 DB＝12，求 AC 的长．
16．（2021八上·二道月考）感知：如图①，点E在正方形ABCD的BC边上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．可知△ADG≌△BAF.（不要求证明）
拓展：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E, F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF.
应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边B上．CD=2BD．点E, F在线段AD上．∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为 ▲ .
17．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
18．（2021八上·思南月考）
（1）如图1，已知中，90°，，直线m经过点直线m，直线m，垂足分别为点.求证：.
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线m上，并且有.请写出三条线段的数量关系，并说明理由.
19．（2021八上·柯桥月考）在 中， ，点 是 上一点（不与 ， 重合），以 为一边
在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
（1）如图1，若 ，
①求证； ；
②求 的度数．
（2）设 ， ．如图2，则 ， 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
20．（2021七下·汉台期末）已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点A作AD⊥AE，且AE＝AD.
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE.求证：EH＝AC：
（2）如图2，当点D在CB延长线上时，连接BE交AC的延长线于点M.求证：BM＝EM：
21．（2021八上·东莞期末）如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是　 　；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
22．（2021八上·五常期末）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
23．（2021七下·寿阳期末）综合与探究：问题情景：如图1所示，已知，在△ABC中，AC＝BA，∠ACB＝90°，AD是△ABC的中线，过点C作CE⊥AD，垂足为M，且交AB于点E．
（1）（探究一）小虎通过度量发现∠BCE＝∠CAD，请你帮他说明理由；
（2）（探究二）小明在图中添加了一条线段CN，且CN平分∠ACB交AD于点N，如图2所示，即可得CN＝BE，符合题意吗？请说明理由；
（3）（探究三）小刚在（2）的基础上，连接DE，如图3所示，又发现了一组全等三角形，你能发现吗？请找出来，并说明理由．
24．（2021九下·庆云月考）
（1）问题背景
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD， BAD＝120°， B＝ ADC＝90°．E，F 分别是 BC，CD上的点．且 EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG．先证明ΔABE≌ΔADG；再证明ΔAEF≌ΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ；
请你帮他完成证明过程
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD， B＋ D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且 EAF＝ BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】证明： 是 边上的中线，
.
在 和 中，
，
.
.
.
2．【答案】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
3．【答案】证明：∵AB//DC，ADCD，
∴∠A=∠D=90°，
过点E作EF⊥BC于点F，则∠EFB=∠A=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（AAS），
∴AE=EF，AB=BF，
又点E是AD的中点，
∴AE=ED=EF，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CD=CF，
∴BC=CF+BF=AB+CD．
4．【答案】证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∵ ，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
即CE＝ CF，
∴CE＝ BD．
5．【答案】证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ，
四边形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
6．【答案】解：猜想：EF=2AD，EF⊥AD．
证明：如图，延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，
∴AD=DM，AM=2AD，
∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
在△ABD和△MCD中，
， ∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴AB=MC，∠BAD=∠M，
∵AB=AE，∴AE=MC，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°，
∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，∴∠BAC+∠EAF=180°，
∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，
即∠BAC+∠MCA=180°，∴∠EAF=∠MCA．
在△AEF和△CMA中，
，∴△AEF≌△CMA（SAS），
∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD；
∵∠CAF=90°，∴∠CAM+∠FAN=90°，
∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠FAN=90°，
∴∠ANF=90°，∴EF⊥AD．
7．【答案】证明：在AB上截取AF=AD，
∵AE平分∠PAB，
∴∠DAE=∠FAE，
在△DAE和△FAE中，
∵ ，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴∠AFE=∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠C=180°，
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠EFB=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
在△BEF和△BEC中，
∵ ，
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴BC=BF，
∴AD+BC=AF+BF=AB．
8．【答案】（1）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°
∴∠BAC=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线
∴∠FAC=∠BAC=15°，∠FCA=∠ACB=45°
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°；
（2）解：FE与FD之间的数量关系为FE=FD；
证明：在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD
又∵AF为公共边
在△EAF和△GAF中
∵AE＝AG，∠EAF＝∠FAG，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF
∴FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°，
∴∠CFG=60°，
又∵FC为公共边，∠DCF=∠FCG=45°
在△FDC和△FGC中
∵∠DFC＝∠GFC，FC＝FC，∠FCG＝∠FCD，
∴△CFG≌△CFD，
∴FG=FD
∴FE=FD．
9．【答案】（1）证明：∵ ，
∴
在 和 中，
∴
∴
（2）解：
理由如下：
∵
∴
又∵
∴
在 和 中
∴
∴在 中， 即 .
10．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，
∴
∴
即 ．
∴ ．
即 ， ．
（2）解：上述结论仍然成立．如图所示
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，
即 ， ．
11．【答案】（1）解：∠ABC＝∠DBE＝90°，
，
即，
，
（SAS），
（2）解：
，BE＝BD，
（3）②
12．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD
∴CE=CF
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠EBC=180°
∴∠EBC=∠D
在△CBE与△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF；
（2）在Rt△ACE与Rt△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF
∴AE=AF
∴AB+DF=AB+BE=AE=AF．
13．【答案】（1）证明： 延长BP交CD于点M
∵AB//CD
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∠FBP＝∠GMP
∵BP平分∠ABC
∴∠CBP＝ ∠ABC
同理，∠BCP＝ ∠BCD
∴∠CBP＋∠BCP＝ （∠ABC＋∠BCD）＝90°
∴∠BPC＝180°－（∠CBP＋∠BCP）＝90°
∴∠CPM＝180°－∠BPC＝90°＝∠BPC
∵CP平分∠DCB
∴∠BCP＝∠MCP
∴∠CBP＝∠CMP
∴BC＝MC
∴BP＝MP
∵∠BPF＝∠MPG
∴△BPF≌△MPG（ASA）
∴PF＝PG
（2）解：∵△BPF≌△MPG
∴GM＝BF＝2
∴MC＝CG＋GM＝7+2＝9
∴BC＝MC=9
14．【答案】（1）解：∵ 为等边三角形，
∴ ， ．
在 和 中，
，
∴ （SAS）；
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
15．【答案】（1）解：，，
，
，
在和中，，
；
（2）解：由（1）已证：，
，
点是的中点，
，
．
16．【答案】解：拓展：证明：如图②
∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC．
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3．∴∠4=∠ABE．
∵∠AEB=∠AFC，∠ABE=∠4，AB=AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS）；应用：6
17．【答案】解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AE= BE，CF= BF；
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF为等边三角形；
∴AE+CF= BE+ BF=BE=EF；
图2成立，图3不成立．
证明图2．
延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，
在△BAE和△BCK中，
则△BAE≌△BCK，
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠ABE=60°，
∴∠FBC+∠KBC=60°，
∴∠KBF=∠FBE=60°，
在△KBF和△EBF中，
∴△KBF≌△EBF，
∴KF=EF，
∴KC+CF=EF，
即AE+CF=EF．
图3不成立，
AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．
18．【答案】（1）证明：如图1，∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）解：，理由如下：
如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
19．【答案】（1）解：① ，
．即 ．
在 与 中，
，
；
② ，
．即 ．
在 与 中，
，
，
．
，
，
又
；
（2）解： ，
20．【答案】（1）证明：∵AD⊥AE，EH⊥AC，
∴∠AHE=∠EAD=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAH=90°，
∴∠EAH=∠ADC，
又∵AD=AE，∠ACD=∠AHE=90°，
∴△AHE≌△DCA（AAS），
∴EH=AC；
（2）解：如图2，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，
∵AD⊥AE，EN⊥AM，
∴∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°，
∴∠EAN=∠ADC，
又∵AD=AE，∠ACD=∠ANE=90°，
∴△ANE≌△DCA（AAS），
∴EN=AC，
∵BC=AC，
∴BC=NE，
又∵∠BMC=∠EMN，∠BCM=∠ENM=90°，
∴△BCM≌△ENM（AAS），
∴BM=EM.
21．【答案】（1）EF＝BE+FD
（2）解：（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）解：（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，
同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
22．【答案】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB，
∴AE=CG
（2）BE=CM，
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，
∴△BCE≌△CAM，
∴BE=CM．
23．【答案】（1）证明：如图1中，
，
，
，
， ，
．
（2）结论： 符合题意．
理由：如图2中，
平分 ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
（3）结论： ．
理由： 是 的中点，
，
在 和 中，
，
．
24．【答案】（1）解：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE=DG，EF=GF，
∴EF=FG=DF+DG=BE+FD．
故答案为：EF=BE+FD．
（2）解：EF=BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
又∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF，
=∠BAD- ∠BAD= ∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
又∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+FD．
（3）解：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
在四边形AOBC中，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°= ∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+FB成立．
即，EF=AE+FB=2×（70+90）=320（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．