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一次函数的图像和性质
人教版八年级数学下册
提问复习,引入新课
1.什么叫正比例函数、一次函数?它们之间有什么关系?
2.正比例函数的图象是什么形状?
一般地,形如 的函数,叫做正比例函数;
一般地,形如 的函数,叫做一次函数。
当b=0时,y=kx+b就变成了 ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
正比例函数的图象是
y=kx(k是常数,k≠0)
y=kx+b(k,b是常数,k≠0)
y=kx
经过原点的一条直线
y
x
y=kx 图 象 性 质
K>0 y x
K<0
经过一、三象限y随x增大而增大一、三增
经过二、四象限y随x增大而减小二、四减
3.正比例函数 y=kx(k是常数,k≠0)中,
k的正负对函数图象有什么影响
y
x
图像必经过(0,0)和(1,k)这两个点
二新课精讲
x -2 -1 0 1 2
y=-6x
y=-6x+5
6
0
-6
-12
12
17
11
5
-1
-7
例2.画出函数y =-6x与 y =-6x +5的图象。
解:函数y =-6x与 y =-6x +5中,自变量x 可以是任意的实数,列表表示几组对应值:
17
11
5
-7
y=-6x
y=-6x+5
两个函数图象有什么关系?
0
X
y
x
y
0
1
5
y=-6x+5
y=-6x
2.函数y=6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点 .
1.这两个函数的图象形状都是 , 并且倾斜程度 .
联系:
3.函数y=-6x+5可以看作由直线y=-6x向 平移 个单位长度而得到.
请大家观察这两个函数图象的形状,倾斜程度你有什么发现?
合作探究(一)
x
y
2
0
.
.
.
.
.
.
.
请比较下列函数y=x, y=x+2,y=x-2的图象有什么异同点?
.
.
.
.
y=x
.
.
.
.
y=x+2
y=x-2
这几个函数的图象形状都是 ,并且倾斜程度__ _
函数y=x的图象经过原点,函数y=x+2的图象与y轴交于点____ ,即它可以看作由直线y=x向__平移 个单位长度而得到.函数y=x-2的图象与y轴交于点_ __,即它可以看作由直线y=x向 平移___个单位长度而得到.
直线
相同
(0,2)
上
2
(0,-2)
下
2
猜 想
联系上面的问题,考虑一次函数y=kx+b(k≠0)与y=kx (k≠0)图像有什么关系?
2、如果两直线y=k1x+b1,y=k2x+b2平行,则k1=k2 ,且b1≠b2 ;反之也成立。
1、直线y=kx+b可以看作直线y=kx平移|b|个单位而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)。
(1)直线y=2x-3可以由直线y=2x经过____________ 而得到;
直线y=-3x+2可以由直线y=-3x经过_______________ 而得到;
直线y=x+2可以由直线y=x-3经过_________________ 而得到.
向下平移3个单位
向上平移2个单位
向下平移5个单位
试一试
(2)直线y=2x+5与直线y=-3x+5都经过轴上的同一点(___,___).
(3)将直线y=-2x-1向上平移3个单位,得到的直线是______.
0 5
y=-2x+2
(4)直线y=3x-2可由直线y=3x向 平移 单位得到。
下
2
(5)直线y=x+2可由直线y=x-1向 平移 单位得到。
上
3
(6)函数y=2x - 4与y轴的交点为 ( ),与x轴交于( )
0,-4
2, 0
画出一次函数 的图象
3
1
y
3
0
X
观察分析:
自变量x由___到___
函数y的值从___到___
大
小
小
大
函数y=3x-2的图象是否也有这种现象
y随x的增大而增大,
这时函数的图象从左到右上升;
结论
的图象
观察分析:
自变量x由___到___
函数y的值从___到___
大
小
小
大
y随x的增大而减小,
这时函数的图象从左到右下降;
结论
一次函数y=kx+b有下列性质:
(1) 当k>0时,y随x的增大而_____ ,这时函数的图象从左到右_____ ;
(2) 当k<0时,y随x的增大而_____,这时函数的图象从左到右_____.
减小
下降
增大
上升
一次函数 y=kx+b
k 决定直线的倾斜程度和方向
当k>0时,y随x的增大而增大
x
y
0
x
y
0
2.当k<0时,y随x的增大而减少
3.当 k 相等时,直线平行
4.当 |k| 越大时,图象越靠近y轴
体验:在同一坐标系中用两点法画出函数
y=x+1,
y=-x+1,
y=2x+1
y=-2x+1的图象.
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
o
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+1
学习一次函数性质
一次函数 y=kx+b
b 决定直线与y轴交点位置
当b>0时,直线交于y正半轴
x
y
0
x
y
0
4.当 b相等时,直线交于y轴上同一点
2.当b<0时,直线交于y负半轴
3.当b = 0时,直线交于坐标原点
x
y
0
x
x
-5
-4
-3
-2
-1
5
4
3
2
1
-1 0
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
x
y
1.看图象,确定一次函数y=kx+b(k≠0)中k,b的符号。
o
x
y
o
x
y
o
x
y
k<0
b<0
k>0
b>0
k<0
b=0
我是最棒的
2.列函数草图是否正确,如果错误,应如何画?为什么?
y=1.5x
y
x
0
y=-2x+3
y
x
0
y=kx+b﹙k>0,b<0﹚
y
x
0
x
y
0
正确为:
x
y
0
正确为:
y=kx+b﹙k>0,b<0﹚
正确为:
y=1.5x
x
y
0
3.下列一次函数中,y的值随x的增大
而减小的有________。
(3)
(4)
(2) (4)
(1) y=10x-9
(2) y=-0.3x+2
4.下列哪个图像是一次函数y=-3x+5
和y=2x-4的大致图像( )
(A)
(B)
(C)
(D)
B
y
x
0
(D)
y
x
0
A )
y
x
0
(C)
y
x
0
(B)
5.已知函数 y = kx的图象在二、四象限,那么函数
y = kx-k的图象可能是( )
B
(6)下列函数中,y的值随x值的增大而增大的函数是________.
A.y=-2x B.y=-2x+1
C.y=x-2 D.y=-x-2
C
(7)对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______。
(8)函数y=2x-1经过 象限
减少
一、三、四
这节课你收获了什么?
课后巩固
1.如图所示,不可能是关于x的一次函数y=mx-(m-3)的图像是( )
C
2.对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______。
3.对于函数y=-5+6x,y的值随x的值增大而______。
4.函数y=2x-1经过 象限。
5.函数y=-9+10x的图象经过第___象限,y的值随着x值的增大而___.
6.函数y=-0.3x+4的图象经过第___象限,y的值随着x值的增大而 _____.
7.直线y=-x-2的图象不经过第____象限.
8.一次函数 y=-2x+4 的图象经过 象限,y随x的增大而 ,它的图象与x轴、y轴的坐标分别为_______。