2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
教学目标
一、基本目标
1．了解幂的乘方的运算法则，并能解决一些实际问题．
2．经历探索幂的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．
二、重难点目标
【教学重点】
会进行幂的乘方的运算．
【教学难点】
幂的乘方法则的总结及其运用．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P5～P6的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)乘方的意义：
32中，底数是3，指数是2，表示2个3相乘.
(32)3的意义：3个32相乘；
(2)根据幂的意义填空：
(32)3＝32×32×32(根据幂的意义)
＝32＋2＋2(根据同底数幂的乘法法则)
＝32×3，
(am)2＝am·am＝a2m(根据am·an＝am＋n)，
(am)n＝am·am·…·am(幂的意义)
＝am＋m＋…＋m(同底数幂相乘的法则)
＝amn(乘法的意义)；
(3)幂的乘方法则：
(am)n＝amn(m、n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．已知球体的体积公式为V＝πR3.
(1)若乙球的半径为3 cm，则乙球的体积V乙＝36π cm3.甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的体积V甲＝36_000π cm3，V甲是V乙的103倍；
(2)地球、木星、太阳可以近似地看作球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍、100倍，它们的体积分别约是地球的103倍、106倍．
3．(教材P6例1)计算：
(1)(102)3; (2)(b5)5；
(3)(an)3; (4)－(x2)m；
(5)(y2)3·y; (6)2(a2)6－(a3)4.
解：(1)原式＝106. (2)原式＝b25.
(3)原式＝a3n. (4)原式＝－x2m.
(5)原式＝y7. (6)原式＝a12.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)(－24)3； (2)(xm－1)2；
(3)[(24)3]3； (4)(－a5)2＋(－a2)5.
【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算．
【解答】(1)原式＝－212.
(2)原式＝x2(m－1)＝x2m－2.
(3)原式＝24×3×3＝236.
(4)原式＝a10－a10＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．(2)在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．(3)幂的乘方的推广：((am)n)p＝amnp(m、n、p都是正整数)．
【例2】若92n＝38，求n的值．
【互动探索】(引发学生思考)比较等式两边的底数→将等式转化为(32)2n＝38→建立方程求n值．
【解答】依题意，得(32)2n＝38，即34n＝38，
所以4n＝8，
所以n＝2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．
【例3】已知ax＝3，ay＝4(x、y为整数)，求a3x＋2y的值．
【互动探索】(引发学生思考)将a3x＋2y变形，得a3x·a2y，再利用幂的乘方进行解答．
【解答】因为ax＝3，ay＝4，所以a3x＋2y＝a3x·a2y＝(ax)3·(ay)2＝33×42＝27×16＝432.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用amn＝(am)n＝(an)m，可对式子进行变形，从而使问题得到解决．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．计算(－a3)2的结果是( A )
A．a6 B．－a6
C．－a5 D．a5
2．下列运算正确的是( B )
A．(x3)2＝x5 B．(－x)5＝－x5
C．x3·x2＝x6 D．3x2＋2x3＝5x5
3．当n为奇数时，(－a2)n＋(－an)2＝0.
4．计算：
(1)a2·(－a)2·(－a2)3＋a10；
(2)x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2.
解：(1)原式＝a2·a2·(－a6)＋a10
＝－a10＋a10
＝0.
(2)原式＝x4·x5·(－x7)＋5x16－x16
＝－x16＋5x16－x16
＝3x16.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】请看下面的解题过程：
比较2100与375的大小．
解：因为2100＝(24)25,375＝(33)25，而24＝16,33＝27,16＜27，
所以2100＜375.
请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小．
【互动探索】仔细阅读材料，确定例子的解题方法是将指数化为相同，再比较底数的大小来比较所求两个数的大小．
【解答】因为3100＝(35)20,560＝(53)20，而35＝243,53＝125,243＞125，
所以3100＞560.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了幂的乘方法则的应用，根据题意得到3100＝(35)20,560＝(53)20是解此题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 积的乘方
教学目标
一、基本目标
1．了解积的乘方的运算法则，并能解决一些实际问题．
2．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．
二、重难点目标
【教学重点】
会进行积的乘方的运算．
【教学难点】
明确幂的乘方与积的乘方的异同．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P7～P8的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)(3×5)4＝3(4 )·5(4 )；
(2)(3×5)m＝3(m )·5(m )；
(3)(ab)n＝a(n )·b(n )；
(4)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab＝a·a·…··b·b·…·＝anbn.
2．积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n是正整数)，即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
推广：(abc)n＝anbncn(n是正整数)．
3．(教材P7例2)计算：
(1)(3x)2; (2)(－2b)5；
(3)(－2xy)4; (4)(3a2)n.
解：(1)原式＝9x2. (2)原式＝－32b5.
(3)原式＝16x4y4. (4)原式＝3na2n.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)(x4·y2)3；
(2)(anb3n)2＋(a2b6)n；
(3)[(3a2)3＋(3a3)2]2；
(4)2018×2019；
(5)0.12515×(23)15.
【互动探索】(引发学生思考)先确定运算顺序，再根据积的乘方法则计算．
【解答】(1)原式＝x12y6.
(2)原式＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n.
(3)原式＝(27a6＋9a6)2＝(36a6)2＝1296a12.
(4)原式＝2018×＝1×＝.
(5)原式＝15×815＝15＝1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)～(3)题按先乘方再乘除后加减的运算顺序计算；(4)、(5)题逆用(ab)n＝anbn可使计算简便．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．计算(x2y)2的结果是( B )
A．x6y B．x4y2
C．x5y D．x5y2
2．(am)m·(am)2不等于( C )
A．(am＋2)m B．(am·a2)m
C．am2＋am2 D．(am)3·(am－1)m
3．已知am＝2，an＝3，则a2m＋3n＝108.
4．计算：
(1)－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3；
(3)2018×2019.
解：(1)原式＝－4xy2·x2y4·(－8x6)
＝32x9y6.
(2)原式＝a6b12－a6b12
＝0.
(3)原式＝2018×
＝.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3)
【互动探索】已知球的体积公式和其半径，代入数据直接计算．
【解答】因为R＝6×105千米，
所以V＝πR3＝×3×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．
即它的体积大约是8.64×1017立方千米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！1 同底数幂的乘法
教学目标
一、基本目标
1．使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握同底数幂的乘法法则，并能正确计算同底数幂的乘法．
2．在推导同底数幂的乘法法则的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握同底数幂的乘法法则．
【教学难点】
运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．把下列式子化成同底数幂．
(1)(－a)2＝a2，(－a)3＝－a3；
(2)(x－y)2＝(y－x)2，(x－y)3＝－(y－x)3.
2．根据乘法的意义填空．
(1)102×103＝105；
(2)105×108＝＝1013；
(3)10m·10n＝10m＋n；
(4)2m·2n＝2m＋n；
(5)m×n＝m＋n；
(6)(－3)m·(－3)n＝(－3)m＋n；
(7)同底数幂的乘法法则：am·an＝am＋n(m、n都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)－a3·(－a)2·(－a)3；
(2)10 000×10m×10m＋3；
(3)mn＋1·mn·m2·m；
(4)(x－y)2·(y－x)5.
【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用同底数幂的乘法法则计算．
【解答】(1)原式＝－a3·a2·(－a3)
＝a3·a2·a3
＝a8.
(2)原式＝104×10m×10m＋3
＝104＋m＋m＋3
＝107＋2m.
(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1
＝m2n＋4.
(4)原式＝(y－x)2·(y－x)5
＝(y－x)7.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.(2)底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．一般地，(a－b)n＝(3)推广：am·an·ap＝am＋n＋p(m、n、p都是正整数)．
【例2】(教材P3例2)光在真空中的速度约为3×108 m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102 s．地球与太阳大约有多远？
【互动探索】(引发学生思考)地球距离太阳的距离＝光的速度×太阳光照射到地球上大约需要的时间．
【解答】 3×108×5×102
＝15×1010
＝1.5×1011(m)．
即地球距离太阳大约有1.5×1011 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)实际应用型问题应先转化为数学问题，再运用结合律及同底数幂的运算性质进行计算，注意最后一步用科学记数法表示，不要漏掉单位．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列算式中，结果等于x6的是( A )
A．x2·x2·x2 B．x2＋x2＋x2
C．x2·x3 D．x4＋x2
2．如果32×27＝3n，则n的值为( C )
A．6 B．1
C．5 D．8
3．若am＝3，an＝4，则am＋n＝12.
4．计算：
(1)－a3·a4；
(2)100·10m＋1·10m－3；
(3)(－x)4·(－x2)·(－x)3.
解：(1)原式＝－a3＋4
＝－a7.
(2)原式＝102·10m＋1·10m－3
＝102＋(m＋1)＋(m－3)
＝102m.
(3)原式＝x4·(－x2)·(－x3)
＝x4·x2·x3
＝x4＋2＋3
＝x9.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
【互动探索】根据同底数幂的乘法法则，等式的左边等于多少？a、b之间有什么关系？
【解答】因为82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，
所以2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同，由此得出代数式的值．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！3 同底数幂的除法
第1课时 同底数幂的除法
教学目标
一、基本目标
1．了解同底数幂的除法的运算法则，并能解决一些实际问题．
2．经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
二、重难点目标
【教学重点】
会进行同底数幂的除法运算．
【教学难点】
同底数幂的除法法则的总结及运用．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P9～P11的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)同底数幂的除法
1．用你熟悉的方法计算：
(1)23·22＝25,25÷22＝23；
(2)104·103＝107,107÷103＝104；
(3)a4·a3＝a7，a7÷a3＝a4；
(4)从(1)～(3)的运算中归纳出同底数幂的除法法则：
am÷an＝am－n(a≠0，m、n都是正整数，且m>n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
2．(教材P10例1)计算：
(1)a7÷a4; (2)(－x)6÷(－x)3；
(3)(xy)4÷(xy); (4)b2m＋2÷b2.
解：(1)原式＝a3. (2)原式＝－x3.
(3)原式＝x3y3. (4)原式＝b2m.
(二)负整数指数幂
1．a0＝1(a≠0)；a－n＝(n是正整数，a≠0)．
2．(教材P10例2)用小数或分数表示下列各数：
(1)10－3; (2)70×8－2；
(3)1.6×10－4.
解：(1)原式＝0.001. (2)原式＝. (3)原式＝0.000 16.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)x12÷x3；
(2)(x3)2÷x2÷x；
(3)(a2＋1)8÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
【互动探索】(引发学生思考)根据同底数幂的除法法则计算．
【解答】(1)x12÷x3＝x12－3＝x9.
(2)(x3)2÷x2÷x＝x6÷x2÷x＝x6－2－1＝x3.
(3)(a2＋1)8÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2＝(a2＋1)8－4－2＝(a2＋1)2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)同底数幂的除法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列各式计算正确的是( C )
A．a4÷(－a)2＝－a2
B．a3÷a3＝0
C．(－a)4÷(－a)2＝a2
D．a6÷a4＝a
2．下列各式计算的结果为x8的是( A )
A．x·x7 B．x16－x2
C．x16÷x2 D．(x4)4
3．m5÷m2＝m3；(－4)4÷(－4)2＝16；a3·am·am＋1＝a2m＋4.
4．若3x＝10,3y＝5，则32x－y＝20.
5．计算：
(1)x3÷x2；
(2)(－x)7÷(－x)；
(3)62m＋1÷6m；
(4)(x－y)9÷(y－x)4÷(x－y)2.
解：(1)原式＝x. (2)原式＝x6.
(3)原式＝6m＋1. (4)原式＝(x－y)3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
【互动探索】要求am－n－1的值，观察已知式子，看它们之间有什么联系？
【解答】因为am＝4，an＝2，a＝3，
所以am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 用科学记数法表示较小的数
教学目标
一、基本目标
1．理解科学记数法的意义和特征，能够用科学记数法表示小于1的正数．
2．用科学记数法表示较小的数，让学生感受数学与现实生活的联系，同时增强活动性和趣味性．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握用科学记数法表示小于1的正数的方法．
【教学难点】
会用科学记数法解决相应的实际问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．科学记数法：绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数．
例如：864 000可以写成8.64×105.
2．因为0.1＝＝10－1；0.01＝＝10－2；0.001＝＝10－3……
所以0.000 086 4＝8.64×0.000 01＝8.64×10－5.
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10－n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10.n等于原数第一个非零数字前所有0的个数(特别注意：包括小数点前面的零)．
3．算一算．
10－2＝0.01；10－4＝0.0001；10－8＝0.000_000_01.
一般地，10的－n次幂，在1前面有n个0.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】一种花粉颗粒直径约为0.000 006 5米，数字0.000 006 5用科学记数法表示为( )
A．0.65×10－5 B．65×10－7
C．6.5×10－6 D．6.5×10－5
【互动探索】(引发学生思考)利用10的负整数次幂，把一个小于1的正数表示成a×10－n的形式，与较大数的科学记数法表示有什么不同之处？指数由什么决定？
【分析】0.000 006 5＝6.5×10－6.
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，其中1≤|a|<10，n为正整数．与较大数的科学记数法表示不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．用科学记数法把0.000 009 405表示成9.405×10n，那么n＝－6.
2．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 03； (2)0.000 506；
(3)－0.000 063.
解：(1)0.000 03＝3×10－5. (2)0.000 506＝5.06×10－4. (3)－0.000 063＝－6.3×10－5.
3．下面是用科学记数法表示的数，写出原来的数．
(1)2×10－8; (2)7.001×10－6.
解：(1)0.000 000 02. (2)0.000 007 001.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】比较下列两个数的大小．
(1)－3.65×10－5与－1.02×10－6；
(2)1.45×10－2018与9.8×10－2019.
【互动探索】根据有理数的大小比较方法对比比较用科学记数法表示的数的大小．
【解答】(1)|－3.65×10－5|＝3.65×10－5，|－1.02×10－6|＝1.02×10－6.
因为1.02×10－6＜3.65×10－5，
所以－3.65×10－5＜－1.02×10－6.
(2)因为9.8×10－2019＝0.98×10－2018,0.98<1.45，
所以1.45×10－2018>9.8×10－2019.
【互动总结】(学生总结，老师点评)比较用科学记数法表示的数的大小时，利用乘方的意义，把10的指数转化成相同的，然后比较a的大小，若a大，则原数就大；若a小，则原数就小．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数．
练习设计
请完成本课时对应练习！6 完全平方公式
第1课时 完全平方公式的认识
教学目标
一、基本目标
1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算．
2．了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观性．
二、重难点目标
【教学重点】
弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点．
【教学难点】
会用完全平方公式进行运算．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P23～P24的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．按要求列代数式：
(1)a、b两数和的平方可以表示为(a＋b)2；
(2)a、b两数平方的和可以表示为a2＋b2.
2．计算下列各式：
(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；
(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；
(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9.
3．(1)两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍；
(2)两数差的平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．如图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
图1
图2
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】运用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2; (2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2; (4)(a＋b＋c)2.
【互动探索】(引发学生思考)怎样运用完全平方公式进行计算？
【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2.
(2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
(3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.
(4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)两数和(差)的平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方”．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．运算结果是x4y2－2x2y＋1的是( C )
A．(－1＋x2y2)2 B．(1＋x2y2)2
C．(－1＋x2y)2 D．(－1－x2y)2
2．若a－b＝－，则a2－b(2a－b)＝( D )
A．－1 B．1
C．2 D．3
3．已知m＋n＝4，则m2－n2＋8n＝16.
4．运用完全平方公式计算：
(1)(－3a＋2b)2； (2)(a＋2b－1)2.
解：(1)原式＝(－3a)2＋2·(－3a)·2b＋(2b)2
＝9a2－12ab＋4b2.
(2)原式＝(a＋2b)2－2(a＋2b)＋1
＝a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数．
请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．
(a＋b)1＝a＋b；
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.
【互动探索】由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，则(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，因此(a＋b)6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.
【答案】20
【互动总结】(学生总结，老师点评)对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．
字母表示：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 完全平方公式的应用
教学目标
一、基本目标
1．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算．
2．提高学生综合运用公式进行整式的简便运算．
二、重难点目标
【教学重点】
运用完全平方公式进行一些数的简便运算．
【教学难点】
灵活运用平方差公式和完全平方公式进行整式的简便运算．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．知识回顾．
(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．利用完全平方公式计算：
(1)982; (2)2032.
解：(1)982＝(100－2)2＝1002－2×2×100＋22＝10 000－400＋4＝9604.
(2)2032＝(200＋3)2＝2002＋2×3×200＋32＝40 000＋1200＋9＝41 209.
3．化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y)．
解：原式＝(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)
＝(x2－4y2)2
＝x4－8x2y2＋16y4.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
【互动探索】(引发学生思考)先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值，求m的值的过程中还有什么需要注意的地方吗？
【解答】因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2是一个完全平方式，
所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
所以m＋1＝±60，
所以m＝59或－61.
【互动总结】(学生总结，老师点评)两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列关于962的计算方法正确的是( D )
A．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984
B．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024
C．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136
D．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216
2．若|a－b|＝1，则b2－2ab＋a2的值为( A )
A．1 B．－1
C．±1 D．无法确定
3．若x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值是±4.
4．已知a＋b＝4，ab＝－5，求下列各式的值．
(1)a2＋b2; (2)(a－b)2.
解：(1)因为a＋b＝4，ab＝－5，
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×(－5)＝26.
(2)因为a＋b＝4，ab＝－5，
所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝42－4×(－5)＝36.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】计算：
(1)9982； (2)20192－2019×4036＋20182.
【互动探索】(1)直接计算9982比较复杂，考虑将998转化为1000－2，再利用完全平方公式计算；(2)4036＝2×2018，由此可直接利用完全平方公式计算．
【解答】(1)原式＝(1000－2)2
＝1 000 000－4000＋4
＝996 004.
(2)原式＝20192－2×2019×2018＋20182
＝(2019－2018)2
＝1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，观察式子特点，考虑利用公式计算比较简便．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！7 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式
教学目标
一、基本目标
1．单项式除以单项式法则的探索与应用．
2．理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力．
二、重难点目标
【教学重点】
弄清单项式除法的含义，能正确计算单项式除以单项式．
【教学难点】
正确计算单项式除以单项式．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．计算：
(1)a·4a2＝4a3,4a3÷4a2＝a；
(2)3xy·2x2＝6x3y,6x3y÷3xy＝2x2；
(3)3ax2·4ax3＝12a2x5,12a2x5÷3ax2＝4ax3；
(4)从(1)～(3)运算中归纳出单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
2．(教材P28例1)计算：
(1)－x2y3÷3x2y；
(2)10a4b3c2÷5a3bc；
(3)(2x2y)3·(－7xy2)÷14x4y3；
(4)(2a＋b)4÷(2a＋b)2.
解：(1)原式＝－y2.
(2)原式＝2ab2c.
(3)原式＝－4x3y2.
(4)原式＝4a2＋4ab＋b2.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例题】计算：
(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；
(2)81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z；
【互动探索】(引发学生思考)运用单项式除以单项式的运算法则计算．
【解答】(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z.
(2)81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝·x12－6－2·y12－4－6·z4－2－1＝18x4y2z.
【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式除以单项式，其依据是将其转化为同底数幂的除法．计算时特别注意系数的符号和只在被除式里出现的字母．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．计算8x8÷(－2x2)的结果是( C )
A．－4x2 B．－4x4
C．－4x6 D．4x6
2．已知28a2bm÷4anb2＝7b2，那么m、n的值为( A )
A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝1
C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2
3．一个长方形的面积为a2bc，它的长为ac，则它的宽为5ab.
4．若a2m＋nbn÷a2b2＝a5b，则m－n＝－1.
5．计算：
(1)(8×109)÷(4×104)；
(2)÷÷(－10ab)；
(3)(4x4y3)2÷(－2x2y)2.
解：(1)原式＝(8÷4)×109－4＝2×105.
(2)原式＝·a2－1－1·b4－2－1＝－b.
(3)原式＝16x8y6÷4x4y2＝(16÷4)·x8－4·y6－2＝4x4y4.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
单项式相乘 单项式相除
第一步 系数相乘 系数相除
第二步 同底数幂相乘 同底数幂相除
第三步 其余字母不变连同其指数作为积的因式 只在被除式里含有的字母连同其指数一起作为商的因式
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 多项式除以单项式
教学目标
一、基本目标
1．类比单项式除以单项式，得到多项式除以单项式的运算法则，并能正确计算．
2．经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算．
二、重难点目标
【教学重点】
理解多项式除以单项式的运算法则，并能用法则进行计算．
【教学难点】
灵活运用整式的除法法则进行有理数运算．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P30～P31的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．计算：
(1)m·(a＋b)＝am＋bm，(am＋bm)÷m＝a＋b；
(2)a·(a＋b)＝a2＋ab，(a2＋ab)÷a＝a＋b；
(3)2xy·(3x2＋y)＝6x3y＋2xy2，(6x3y＋2xy2)÷2xy＝3x2＋y；
(4)从上述运算中归纳出多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
2．(教材P30例2)计算：
(1)(6ab＋8b)÷2b；
(2)(27a3－15a2＋6a)÷3a；
(3)(9x2y－6xy2)÷3xy；
(4)÷.
解：(1)原式＝3a＋4.
(2)原式＝9a2－5a＋2.
(3)原式＝3x－2y.
(4)原式＝－6x＋2y－1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)[(－a2)3－3a2(－a2)]÷(－a)2；
(2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)；
(3)[(m＋n)6＋(m＋n)4]÷(m＋n)4.
【互动探索】(引发学生思考)用多项式除以单项式的运算法则进行计算．
【解答】(1)[(－a2)3－3a2(－a2)]÷(－a)2
＝(－a6＋3a4)÷a2
＝－a4＋3a2.
(2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)
＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)
＝－8x2y2＋4xy－1.
(3)[(m＋n)6＋(m＋n)4]÷(m＋n)4
＝(m＋n)6÷(m＋n)4＋(m＋n)4÷(m＋n)4
＝(m＋n)2＋1
＝m2＋2mn＋n2＋1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)多项式除以单项式的关键是用多项式的每一项去除以单项式，结果的项数应与多项式的项数相同，这样可以检验是否漏项．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列各式，计算结果错误的是( C )
A．(3a2＋2a－6ab)÷2a＝a－3b＋1
B．(－4a3＋12a2b－7a3b2)÷(－4a2)＝a－3b＋ab2
C．(4xm＋2－5xm－1)÷3xm－2＝x4－
D．(3an＋1＋an＋2－12an)÷(－24an)＝－a－a2＋
2．已知长方形的面积为18x3y4＋9xy2－27x2y2，长为9xy，则宽为( D )
A．2x2y3＋y＋3xy B．2x2y2－2y＋3xy
C．2x2y3＋2y－3xy D．2x2y3＋y－3xy
3．(－15a3b2＋8a2b)÷( )＝5a2b－a，括号内应填( B )
A．3ab B．－3ab
C．3a2b D．－3a2b
4．若等式(6a3＋3a2)÷6a＝(a＋1)(a＋2)成立，则a的值为－.
5．计算：
(1)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷3x2y；
(2)(6a3b－9a2b2－12ab3)÷(－3ab)；
(3)[2(a＋b)5－3(a＋b)4－(－a－b)3]÷2(a＋b)3.
解：(1)原式＝(x3y2－x2y－x2y＋x3y2)÷3x2y
＝(2x3y2－2x2y)÷3x2y
＝xy－.
(2)原式＝6a3b÷(－3ab)－9a2b2÷(－3ab)－12ab3÷(－3ab)
＝－2a2＋3ab＋4b2.
(3)原式＝(a＋b)2－(a＋b)＋.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2019，y＝2018.
【互动探索】确定运算顺序→原式化简→代值计算．
【解答】[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y
＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y
＝[x3y－x2y2]÷x2y
＝x－y.
把x＝2019，y＝2018代入上式，
得原式＝2019－2018＝1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的方法是先化简，再把对应的数值代入化简后的式子进行计算．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！第一章 整式的乘除
教材简析
本章的主要内容有：(1)幂的有关运算性质(同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法)；(2)整式的乘法；(3)乘法公式(平方差公式、完全平方公式)；(4)整式的除法．
本章是继七年级上册第三章整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，也是八年级下册第四章因式分解和第五章分式学习的基础，因此，本章内容的地位至关重要．本章内容是中考的必考内容，主要考查幂的运算性质，与整式运算有关的计算、化简求值，用科学记数法表示一个绝对值小于1的数，题型多以选择题、填空题为主，难度不大．
教学指导
【本章重点】
幂的运算，整式的乘除运算，乘法公式．
【本章难点】
幂的运算法则及平方差公式和完全平方公式的灵活运用．
【本章思想方法】
1．体会和掌握类比的思想方法，如通过数的运算，类比归纳得出整式的运算性质．
2．体会和掌握转化的思想方法，如将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式进行计算．
3．体会和掌握数形结合的思想方法．在学习本章内容时，要注意代数与几何之间的联系，如在整式乘法和乘法公式部分，借助几何图形对运算法则及公式作了直观解释，体现了数形结合的思想方法．
课时计划
1 同底数幂的乘法 1课时
2 幂的乘方与积的乘方 2课时
3 同底数幂的除法 2课时
4 整式的乘法 3课时
5 平方差公式 2课时
6 完全平方公式 2课时
7 整式的除法 2课时4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握单项式乘单项式的法则，能够熟练计算单项式乘单项式．
2．经历探索单项式乘单项式的运算法则的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．
3．培养学生推理能力、计算能力，并通过小组合作与交流，增强协作精神．
二、重难点目标
【教学重点】
单项式乘单项式的法则．
【教学难点】
单项式乘单项式的法则的推导及应用．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)(ab)c＝(ac)b；
(2)am·an＝am＋n(m、n都是正整数)；
(3)(am)n＝amn(m、n都是正整数)；
(4)(ab)n＝anbn(n是正整数)．
2．(1)2a2－a2＝a2，a2·a2＝a4，(－2a2)2＝4a4；
(2)ac5·bc2＝(a·b)·(c5·c2)·＝abc5＋2＝abc7；
(3)单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
3．(教材P14例1)计算：
(1)2xy2·xy；
(2)－2a2b3·(－3a)；
(3)7xy2z·(2xyz)2.
解：(1)原式＝x2y3. (2)原式＝6a3b3.
(3)原式＝28x3y4z3.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)3·3xy2·(2xy2)2；
(2)－6m2n·(x－y)3·mn2·(y－x)2.
【互动探索】(引发学生思考)计算单项式乘单项式时应该注意些什么？
【解答】(1)3·3xy2·(2xy2)2＝－x6y3·3xy2·4x2y4
＝－x9y9.
(2)－6m2n·(x－y)3·mn2·(y－x)2
＝－6×m3n3·(x－y)5
＝－2m3n3(x－y)5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式乘单项式的注意事项：(1)计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)单项式乘单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立；(5)将(x－y)看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列计算正确的是( D )
A．(－3x3)·(－2x2)2＝－12x12 B．(－3ab)·(－2ab)2＝12a3b3
C．(－0.1x)·(－10x2)2＝x5 D．(2×10n)·＝102n
2．3x2可以表示为( A )
A．x2＋x2＋x2 B．x2·x2·x2
C．3x·3x D．9x
3．如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7，那么mn＝12.
4．计算：
(1)(－2x2y)3·3(xy2)2；
(2)(－3x2y)2··xz2.
解：(1)原式＝－8x6y3·3x2y4＝－24x8y7.
(2)原式＝9x4y2··xz2＝－x6y3z3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
【互动探索】根据－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，可以得到什么？怎样求m2＋n的值？
【解答】因为－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，
所以解得
所以m2＋n＝7.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据单项式乘单项式的法则，结合同类项，列出关于m、n的二元一次方程组，进而求得代数式的值．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 单项式与多项式相乘
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握单项式乘多项式的法则，并能正确计算单项式乘多项式．
2．理解单项式乘多项式运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力．
二、重难点目标
【教学重点】
单项式乘多项式的法则．
【教学难点】
单项式乘多项式的法则的推导及应用．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P16～P17的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．乘法分配律：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.
2．填空：
－x(x2－3x＋2)＝－x·x2＋(－x)·－3x＋(－x)·2＝－x3＋3x2－2x.
3．单项式乘多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
4．(教材P16例2)计算：
(1)2ab(5ab2＋3a2b)；
(2)·ab；
(3)5m2n(2n＋3m－n2)；
(4)2(x＋y2z＋xy2z3)·xyz.
解：(1)原式＝2ab·5ab2＋2ab·3a2b
＝10a2b3＋6a3b2.
(2)原式＝ab2·ab－2ab·ab
＝a2b3－a2b2.
(3)原式＝5m2n·2n＋5m2n·3m－5m2n·n2
＝10m2n2＋15m3n－5m2n3.
(4)原式＝(2x＋2y2z＋2xy2z3)·xyz
＝2x·xyz＋2y2z·xyz＋2xy2z3·xyz
＝2x2yz＋2xy3z2＋2x2y3z4.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.
【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简式子→将a＝－2代入化简后的式子求值．
【解答】原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a.
当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据单项式与多项式相乘的法则化简式子，再代入已知的数值计算即可．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一个长方体的长、宽、高分别3a－4、2a、a，它的体积等于( C )
A．3a3－4a2 B．a2
C．6a3－8a2 D．6a2－8a
2．已知M、N分别表示不同的单项式，且3x(M－5x)＝6x2y3＋N，下列正确的是( C )
A．M＝2xy3，N＝－15x B．M＝3xy3，N＝－15x2
C．M＝2xy3，N＝－15x2 D．M＝2xy3，N＝15x2
3．图中的四边形均为矩形，根据图形，仅用图中出现的字母写出一个正确的等式：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.
4．计算：
(1)2ab2·(3a2b－2ab－1)；
(2)(－2xy2)2·.
解：(1)原式＝2ab2·3a2b－2ab2·2ab－2ab2
＝6a3b3－4a2b3－2ab2.
(2)原式＝4x2y4·
＝4x2y4·y2－4x2y4·x2－4x2y4·xy
＝x2y6－2x4y4－6x3y5.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如果(－3x)2的展开式中不含x3项，求n的值．
【互动探索】由原式的展开式中不含x3项可以推出什么？由此怎样求出n的值？
【解答】(－3x)2＝9x2·＝9x4－18nx3＋6x2.
因为展开式中不含x3项，
所以n＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 多项式与多项式相乘
教学目标
一、基本目标
1．理解多项式乘多项式的运算法则，能正确计算多项式乘多项式．
2．进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考和语言表达能力．
二、重难点目标
【教学重点】
多项式乘多项式的法则．
【教学难点】
探索多项式乘多项式的法则，注意多项式乘多项式中的“漏项”与“符号”问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P18～P19的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)(－ab)·(－4b2)＝4ab3；
(2)－2x(x－3y)＝－2x2＋6xy；
(3)(2x2y)3·(－4xy2)＝－32x7y5；
(4)－2x(2x2－3x＋1)＝－4x3＋6x2－2x.
2．看图填空：
(1)大长方形的长是a＋b，宽是m＋n，面积等于(a＋b)(m＋n)；
(2)图中四个小长方形的面积分别是am、bm、an、bn，由此可得(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.
3．多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
4．(教材P18例3)计算：
(1)(1－x)(0.6－x)；
(2)(2x＋y)(x－y)．
解：(1)原式＝0.6－x－0.6x＋x2
＝0.6－1.6x＋x2.
(2)原式＝2x2－2xy＋xy－y2
＝2x2－xy－y2.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)(x＋2y)(5a＋3b)；
(2)(2x－3)(x＋4)；
(3)(x＋y)2；
(4)(x＋y)(x2－xy＋y2)．
【互动探索】(引发学生思考)根据多项式乘多项式的法则进行计算．
【解答】(1)原式＝x·5a＋x·3b＋2y·5a＋2y·3b＝5ax＋3bx＋10ay＋6by.
(2)原式＝2x2＋8x－3x－12＝2x2＋5x－12.
(3)原式＝(x＋y)(x＋y)＝x2＋xy＋xy＋y2＝x2＋2xy＋y2.
(4)原式＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)多项式乘多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；所得结果仍是多项式，且在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
【例2】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简代数式→把a＝－1，b＝1代入化简后的代数式求值．
【解答】(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)·(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.
【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n，则m、n的值分别为( B )
A．m＝5，n＝6 B．m＝1，n＝－6
C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝－6
2．下列各式中，计算结果是x2＋7x－18的是( A )
A．(x－2)(x＋9) B．(x＋2)(x＋9)
C．(x－3)(x＋6) D．(x－1)(x＋18)
3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a＋3b)、宽为(2a＋b)的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为( A )
A．2,3,7 B．3,7,2
C．2,5,3 D．2,5,7
4．已知a2－a＋5＝0，则(a－3)(a＋2)的值是－11.
5．计算：
(1)(y＋1)(x－y)－x(y－x)；
(2)(－7x2－8y2)(－x2＋3y2)；
(3)(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．
解：(1)原式＝xy＋x－y2－y－xy＋x2
＝x2＋x－y2－y.
(2)原式＝7x4－21x2y2＋8x2y2－24y4
＝7x4－13x2y2－24y4.
(3)原式＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20
＝22a－23.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
【互动探索】计算(ax2＋bx＋1)(3x－2)→由原式的展开式中不含x2项，也不含x项建立方程→确定a、b的值．
【解答】(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2＝3ax3＋(3b－2a)x2＋(3－2b)x－2.
因为积不含x2的项，也不含x项，
所以3b－2a＝0,3－2b＝0，
解得a＝，b＝.
即系数a、b的值分别是，.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据多项式乘多项式的法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，得出这一项系数等于零，由此列方程解答．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
字母表示：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn
练习设计
请完成本课时对应练习！5 平方差公式
第1课时 平方差公式的认识
教学目标
一、基本目标
1．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算．
2．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．
二、重难点目标
【教学重点】
弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点．
【教学难点】
会用完全平方公式进行运算．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P20～P21的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．根据条件列代数式：
(1)a、b两数的平方差可以表示为a2－b2；
(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2.
2．(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.
(1)观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式.等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差；
(2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.也就是说，两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
3．已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝80.
4．计算(3－x)(3＋x)的结果是9－x2.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例题】运用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
【互动探索】(引发学生思考)(1)直接套用公式计算；(2)把－2a看成一项，把b看成另一项；(3)先计算(x－2)(x＋2)，再计算(x－2)(x＋2)的结果与(x2＋4)的乘积．
【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a－b)(－2a＋b)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列运算中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
2．(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2.
3．如果A2－B2＝8，且A＋B＝4，那么A－B的值是2.
4．计算：(－2018)2＋2017×(－2019)．
解：原式＝20182－(2018－1)×(2018＋1)
＝20182－20182＋1
＝1.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 平方差公式的应用
教学目标
一、基本目标
1．进一步使学生理解并掌握平方差公式的灵活应用．
2．通过小结使学生理解平方差公式的数学表达式与文字表达式在应用上的差异．
二、重难点目标
平方差公式的应用及推广．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P21～P22的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)探索平方差公式的几何背景
如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
(1)请表示图中阴影部分的面积：a2－b2；
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是a＋b，a－b，它的面积是(a＋b)(a－b)；
(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由．
解：能．理由：阴影部分的面积是不变的，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(二)利用平方差公式探索规律
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
解：两个连续奇数的积，等于这两个奇数中间的那个偶数的平方与1的差．
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
解：(n－1)(n＋1)＝n2－1(n为偶数)．证明：根据平方差公式，得(n－1)(n＋1)＝n2－12＝n2－1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】(教材P22例3)用平方差公式进行计算：
(1)103×97; (2)118×122.
【互动探索】(引发学生思考)平方差公式有什么特点？怎样计算？
【解答】(1)原式＝(100＋3)(100－3)
＝1002－32
＝9991.
(2)原式＝(120－2)(120＋2)
＝1202－22
＝14 396.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题目的关键是恰当变形，将其变化为两数和与两数差的积的形式，使复杂的计算简单化，以达到事半功倍的效果．
【例2】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
【互动探索】(引发学生思考)先对代数式进行化简→代入已知值求化简后代数式的值．
【解答】原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2
＝5(x＋y)(x－y)．
当x＝1，y＝2时，原式＝－15.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先将原代数式化简，再代值计算．尽量不要直接代入求值，这样不仅使计算复杂化，还容易出错．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)．利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
图1
图2
2．长方形的长为(2a＋3b)，宽为(2a－3b)，则长方形的面积为4a2－9b2.
3．若(m＋3x)(m－3x)＝16－nx2，则mn的值为±36.
4．运用平方差公式简算：
(1)21×19； (2)13.2×12.8.
解：(1)原式＝(20＋1)×(20－1)
＝400－1
＝399.
(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)
＝169－0.04
＝168.96.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？
【互动探索】要判断整式是否为10的倍数→化简代数式→化简结果是否是10的倍数→作出判断．
【解答】原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10
＝10(n＋1)(n－1)．
因为n为正整数，
所以(n＋1)(n－1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在探究整除性或倍数问题时，要注意平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
