2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判断两直线平行
教学目标
一、基本目标
1．掌握直线平行的条件，会认由三线八角所成的同位角，并能解决一些问题．
2．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”．
【教学难点】
判断两直线平行的说理过程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P44～P45的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如图，装修工人正在向墙上钉木条．如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？
解：当木条a与墙壁边缘所夹角是90°时，木条a与木条b平行．
2．如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b、c，转动木条a.
①当∠1＞∠2时，直线a和b不平行；
②当∠1＝∠2时，直线a和b平行；
③当∠1＜∠2时，直线a和b不平行.
3．认识“三线八角”：两条直线被第三条直线所截，形成“三线八角”，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角．
①∠1和∠2是同位角；
②∠3和∠4是同位角；
③∠5和∠6是同位角；
④∠7和∠8是同位角．
教师点拨：同位角在被截直线的同一侧，在截线的同一方．
4．判定两条直线平行的方法：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角相等，两直线平行．两直线平行，用符号“∥”表示．例如：直线a与直线b平行，记作a∥b.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
【互动探索】(引发学生思考)识别同位角要弄清哪两条直线被哪一条直线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【解答】∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)同位角中的“同”字有两层含义：一是指两角在截线的同旁，二是指它们在被截两直线同方向；(2)在表述“三线八角”中某种位置关系的角时，可用以下方法：“∠×和∠×是直线×和直线×被直线×所截形成的×角”．
【例2】有下列四种说法：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；③直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【互动探索】(引发学生思考)根据平行公理、垂线的性质进行判断．①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；②同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；③直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短，正确；④平行于同一条直线的两条直线平行，正确．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)平行线公理和垂线的性质两者比较相近，特别注意，对于平行公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，过直线上一点不能做已知直线的平行线．但垂线的性质中，无论点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是( C )
2．如图，直线l1、l2被l3所截，则同位角共有( D )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
3．四条直线a、b、c、d互不重合，如果a∥b、b∥c、c∥d，那么直线a、d的位置关系为a∥d.
4．如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．
证明：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，且∠2＝70°，所以∠EHD＝70°.因为∠1＝70°，所以∠EHD＝∠1，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．同位角：“F”型．
2．同位角相等，两直线平行．
3．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
4．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 利用内错角、同旁内角判断两直线平行
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握内错角和同旁内角的概念．
2．能够识别内错角和同旁内角．
二、重难点目标
【教学重点】
弄清内错角和同旁内角的意义．
【教学难点】
能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P47～P48的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)如图，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角；
(2)如图，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角．
2．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称为：内错角相等，两直线平行.
3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称为：同旁内角互补，两直线平行.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图所示，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是______，∠8的同旁内角是______.
【互动探索】(引发学生思考)直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是∠4和∠7，∠8的同旁内角是∠1和∠O.
【答案】∠4和∠7 ∠1和∠O
【互动总结】(学生总结，老师点评)找某角的内错角、同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏解．
【例2】如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC＝90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)在三角形DEC中，得∠EDC＋∠ECD＝90°，结合CE平分∠BCD，DE平分∠ADC→∠ADC＋∠BCD＝180°→AD∥BC．
【解答】AD∥BC．理由如下：因为∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°，∠DEC＝90°，所以∠EDC＋∠ECD＝90°.因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，所以∠ADC＋∠BCD＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，所以AD∥BC．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是平行线的判定，熟知“同旁内角互补，两直线平行”是解答此题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，下列说法错误的是( D )
A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角 D．∠1与∠2是同位角
2．如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝5.其中能判定AB∥CD的条件有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为( D )
A．第一次右拐60°，第二次右拐120°
B．第一次右拐60°，第二次右拐60°
C．第一次右拐60°，第二次左拐120°
D．第一次右拐60°，第二次左拐60°
4．如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF吗？
解：CE∥DF.理由：因为∠ACE＝∠BDF，∠ACE＋∠ECB＝180°，∠BDF＋∠FDA＝180°，所以∠ECB＝∠FDA(等角的补角相等)，所以CE∥DF(内错角相等，两直线平行)．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．内错角：“Z”型；同旁内角：“U”型．
2．利用内错角、同旁内角判定两直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
练习设计
请完成本课时对应练习！第二章 相交线与平行线
教材简析
本章主要内容是：(1)两条直线的位置关系——相交和平行；(2)探索直线平行的条件；(3)平行线的性质；(4)会用尺规作一个角等于已知角．
本章知识是学习线和角的继续，也是学习几何知识的重要基础，以后几乎所有几何图形的学习都会用到本章知识．首先研究了相交的情形，探索了两条直线相交所成角的位置和大小关系，给出了对顶角和补角以及余角的概念，得出了“对顶角相等”“同角和等角的补角相等，同角和等角的余角相等”的结论；并着重研究了相交的特殊情形——垂直，探索了垂直的性质，给出了点到直线的距离的概念．接着研究了平行的情形，教材首先引入了一个基本事实(平行公理)，以此为出发点探讨了两条直线平行的性质和判定，并给出了两条平行线间的距离的概念，最后研究利用圆规和没有刻度的直尺，尝试制作一些简单的图案．本章内容是中考一直关注的内容，主要考查互为余角、互为补角、对顶角等概念，平行线的性质及识别．题目难度较小，题型以选择题、填空题为主．
教学指导
【本章重点】
对顶角、互为补角、互为余角、垂直的概念、两直线平行的条件与平行线的性质．
【本章难点】
灵活运用两直线平行的条件与平行线的性质进行推理和计算．
【本章思想方法】
1．体会和掌握方程的思想方法，如在计算与相交线有关的角度问题时，常利用设未知数列方程的方法解决．
2．体会和掌握分类讨论的思想方法，当被研究问题包含多种可能情况，而又不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．
3．体会和掌握转化的思想方法，如在几何推理中，已知条件和要求结论之间常常需要转化，必要时还需要添加辅助线进行转化．
课时计划
1 两条直线的位置关系 2课时
2 探索直线平行的条件 2课时
3 平行线的性质 2课时
4 用尺规作角 1课时3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
教学目标
一、基本目标
1．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理．
2．使学生了解平行线的性质和判定的区别．
二、重难点目标
【教学重点】
理解平行线的三个性质．
【教学难点】
能运用平行线的性质进行推理证明．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P50～P51的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
如图，直线a与直线b平行．
(1)测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他的同位角吗？它们的大小有什么关系？
(2)图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
(3)图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
(4)换另一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？
解：(1)经测量∠1＝∠5，图中还有同位角为：∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，经测量它们都相等．
(2)图中有2对内错角，它们都相等．
理由：因为∠1＝∠5(已知)，
∠1＝∠4(对顶角相等)，
所以∠4＝∠5(等量代换)．
同理，可知∠3＝∠6.
(3)图中有2对同旁内角，它们都互补．
理由：因为∠1＝∠5(已知)，
∠1＋∠3＝180°(邻补角定义)，
所以∠5＋∠3＝180°(等量代换)．
同理可知∠4＋∠6＝180°.
(4)能得到相同的结论．
归纳总结：(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等；
(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等；
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图所示，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)∠1，∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？
(2)反射光线BC与EF也平行吗？
【互动探索】(引发学生思考)用观察法先判断角与角的数量关系，反射光线BC与EF的位置关系．
【解答】(1)因为AB∥DE，
所以∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
(2)因为∠1＝∠2，
所以∠2＝∠3(等量代换)．
又因为∠3＝∠4(已知)，
所以∠2＝∠4(等量代换)，
所以BC∥EF(同位角相等，两直线平行)．
【例2】如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D的度数．
【互动探索】(引发学生思考)利用“两直线平行，内错角相等，同旁内角互补”的性质可求出结论．
【解答】因为AB∥CD，
所以∠BED＝∠B＝65°.
因为BE∥FD，所以∠BED＋∠D＝180°，
所以∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．再结合已知条件进行转化．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是( D )
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＋∠4＝180°
2．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是( C )
A．44° B．45°
C．46° D．47°
3．如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠CED的度数为60°.
4．如图，AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝105°，求∠D的度数．
解：因为AB∥CD，所以∠A＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．因为∠A＝105°，所以∠C＝180°－105°＝75°.又因为DE⊥AC，所以∠DEC＝90°，所以∠C＋∠D＝90°，所以∠D＝90°－75°＝15°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD的度数．
【互动探索】先利用GF∥CE，易求∠CAG，而∠PAG＝12°，可求得∠PAC＝48°.由AP是∠BAC的平分线，可求得∠BAP＝48°，从而可求得∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°，即可求得∠ABD的度数．
【解答】因为FG∥EC，
所以∠CAG＝∠ACE＝36°，
所以∠PAC＝∠CAG＋∠PAG＝36°＋12°＝48°.
因为AP平分∠BAC，
所以∠BAP＝∠PAC＝48°.
因为DB∥FG，
所以∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)利用平行线的性质可以得出角之间的相等或互补关系，利用角平分线的定义，可以得出角之间的倍分关系；(2)求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 平行线的性质与判定的综合运用
教学目标
一、基本目标
灵活运用平行线的性质与判定解决综合问题．
二、重难点目标
【教学重点】
进一步掌握平行线的性质，运用两条直线平行判断角相等或互补．
【教学难点】
能够根据平行线的性质与判定进行简单的推理与计算．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P52～P53的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如图，直线a、b与直线c、d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是( D )
A．35° B．70°
C．90° D．110°
2．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判断a∥b的是( D )
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠4
C．∠2＋∠3＝180° D．∠3＋∠4＝180°
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图：(1)若∠1＝∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
(2)若∠2＝∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
(3)若∠2＋∠3＝180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
【互动探索】(引发学生思考)判断已知中的两角的位置关系(内错角、同位角、同旁内角)→根据已知两角的数量关系→确定相关直线的位置关系(平行)．
【解答】(1)因为∠1＝∠2，
所以BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．
(2)因为∠2＝∠M，
所以BF∥AM(同位角相等，两直线平行)．
(3)因为∠2＋∠3＝180°，
所以AC∥DM(同旁内角互补，两直线平行)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)明确两角的位置关系，再用平行线的判定解答．
【例2】如图，AB∥CD，如果∠1＝∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．
【互动探索】(引发学生思考)观察法：EF∥AB，结合已知条件∠1＝∠2→EF∥DC，结合AB∥CD→EF∥AB．
【解答】因为∠1＝∠2，
所以EF∥DC(内错角相等，两直线平行)．
又因为AB∥CD，
所以EF∥AB(平行于同一条直线的两直线平行)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)从此题可以归纳出平行线的传递性，若直线a、b、c满足a∥b，b∥c，则a∥c.
【例3】已知直线a∥b，直线c∥d，∠1＝110°，求∠2，∠3的度数．
【互动探索】(引发学生思考)a∥b，∠1＝110°→∠2＝110°，结合c∥d→∠3＝70°.
【解答】因为a∥b，且∠1＝110°(已知)，
所以∠2＝∠1＝110°.
因为c∥d，
所以∠1＋∠3＝180°，
所以∠3＝180°－∠1＝70°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)初学者在解答这类题时，首先应分清已知是什么，目标是什么，其次结合图形分析，拟出叙述计划，最后写出推理过程．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C为( B )
A．40° B．20°
C．60° D．70°
2．如图，已知∠1＝85°，∠2＝95°，∠4＝125°，则∠3的度数为( D )
A．95° B．85°
C．70° D．55°
3．一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝270度．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.
(1)判定∠BAE、∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；
(2)求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．
【互动探索】平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．
【解答】(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE.理由：过点E作EG∥AB．因为AB∥CD，所以AB∥EG∥CD，所以∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE.因为∠AED＝∠AEG＋∠DEG，所以∠AED＝∠BAE＋∠CDE. (2)同(1)可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF.因为∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF，所以∠BAE＋∠CDE＝(∠BAF＋∠CDF)，所以∠AED＝∠AFD．
【互动总结】(学生总结，老师点评)无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、余角和补角
教学目标
一、基本目标
1．知道直线的两种位置关系．
2．能识别对顶角，知道它的性质．
3．理解补角和余角的概念和性质，并能进行简单的角度计算．
二、重难点目标
【教学重点】
理解同一平面内两条直线的位置关系以及对顶角、补角、余角的含义．
【教学难点】
对顶角、补角、余角的性质的探索与应用．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P38～P39的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)相交线与平行线
1．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．
2．若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
3．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
(二)对顶角、余角、补角
1．(1)如图所示是一把剪刀的简易图，那么∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？能试着说明你的理由吗？
解：∠1和∠2是对顶角，∠1＝∠2.理由：因为∠AOB和∠COD都是平角，即∠1＋∠AOD＝180°，∠2＋∠AOD＝180°，等式两边同时都减去∠AOD，则∠1＝180°－∠AOD，∠2＝180°－∠AOD，即∠1＝∠2.
归纳总结：在上图中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2的有一个公共点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫对顶角．对顶角相等．
(2)在图中，∠1和∠AOD有什么数量关系？
解：∠1＋∠AOD＝180°.
归纳总结：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.
类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.
注意：互余和互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关．
2．下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是( C )
3．∠A与∠B互余，如果∠A＝36°，那么∠B的度数为54度．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】(教材P39“做一做”)如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2.
图1
将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON＝∠CON＝90°，∠1＝∠2.在图2中：
图2
(1)哪些角互为补角？哪些角互为余角？
(2)∠3与∠4有什么关系？为什么？
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
【互动探索】(引发学生思考)根据对顶角、余角、补角的定义分析解题．
【解答】(1)互为补角的有：∠1与∠AOC，∠2与∠BOD，∠1与∠BOD，∠2与∠AOC，∠DON与∠CON.互为余角的有：∠1与∠3，∠2与∠4，∠1与∠4，∠2与∠3.
(2)∠3与∠4相等．理由：
因为∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2，
且∠1＝∠2，
所以∠3＝∠4.
(3)∠AOC＝∠BOD．理由：
因为∠AOC＝180°－∠1，∠BOD＝180°－∠2，且∠2＝∠1，
所以∠AOC＝∠BOD．
【互动总结】(学生总结，老师点评)同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．
【互动探索】(引发学生思考)根据对顶角的性质，可得∠AOC与∠BOD的关系，根据OA平分∠COE，可得∠COE与∠AOC的关系，根据邻补角的性质，可得答案．
【解答】由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝42°.
因为OA平分∠COE，
所以∠COE＝2∠AOC＝84°.
由邻补角的性质，得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图所示，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为( D )
A．20° B．60°
C．70° D．160°
2．如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是∠2和∠4.
3．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°.
(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数．
解：(1)∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－36°－90°＝54°.
(2)因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°，所以∠BOD＝30°.因为∠BOD＝∠AOC，所以∠AOC＝30°，所以∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°.
4．若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数．
解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°)，余角是(90°－x°)．根据题意，得180°－x°＝4(90°－x°)，解得x＝60.所以这个角的度数是60°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】我们知道：两直线交于一点，对顶角有2对；三条直线交于一点，对顶角有6对；四条直线交于一点，对顶角有12对……
图1 图2
图3
(1)10条直线交于一点，对顶角有________对；
(2)n(n≥2)条直线交于一点，对顶角有________对．
【互动探索】(1)如图1，两条直线交于一点，图中共有＝2(对)对顶角；如图2，三条直线交于一点，图中共有＝6(对)对顶角；如图3，四条直线交于一点，图中共有＝12(对)对顶角……按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有＝90(对)；(2)由(1)得n(n≥2)条直线交于一点，对顶角的对数为＝n(n－1)．
【答案】(1)90 (2)n(n－1)
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决探索规律的问题，应全面分析所给的数据，发现数据的变化特征．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．对顶角相等．
2．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．
3．同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 垂 线
教学目标
一、基本目标
1．在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线互相垂直．
2．会画垂线，并在操作活动中探索、掌握垂线的性质．从实际中感知“垂线段最短”，并能运用到生活中解决实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
会使用工具按要求画垂线，掌握垂线(段)的性质．
【教学难点】
从生活实际中感知“垂线段最短”．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)垂线
1．观察下列图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
略
2．垂直的概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是90°，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
3．垂直的表示：如图1，如果用AB、CD表示两条互相垂直的直线，可以记作AB⊥CD；如图2，如果用l、m表示两条互相垂直的直线，可以记作l⊥m，其中点O是垂足．
图1
图2
(二)垂线段最短
1．(1)如图1，点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？
图1
(2)如图2，点P是直线l外一点，PO⊥l，O是垂足，A、B、C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
图2
解：(1)无论点A在直线l上，还是直线l外，过点A均只能画1条l的垂线． (2)PO最短．
归纳总结：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各个点连结的所有线段中，垂线段最短．
2．如图，过点A作l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)垂线
【例1】(1)如图1，过点P画AB的垂线；
(2)如图2，过点P分别画OA、OB的垂线；
(3)如图3，过点A画BC的垂线．
图1
图2
图3
【互动探索】(引发学生思考)理解画垂线的步骤，根据画垂线的步骤求解．
【解答】如图所示．
图1 图2 图3
【互动总结】(学生总结，老师点评)垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
(二)垂线段
【例2】如图是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)根据垂线的性质可解，即过点C作CE⊥AB，根据“垂线段最短”可得CE最短．
【解答】如图所示，过点C作AB的垂线段，垂足为E.沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，直线a、b相交于点A，点B在直线a上，过点B作直线b的垂线，垂足为C，若∠1＝50°，则∠2的度数为( A )
A．40° B．50°
C．60° D．140°
2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( C )
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
3．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是( A )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，能表示点到直线的距离的线段有5条．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】根据要求画图，并回答问题．
如图，直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB．
(1)过点O画直线MN⊥CD；
(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．
【互动探索】(1)根据题意画出直线MN即可；
(2)当点F在射线OM上时，根据垂直定义及同角的余角相等求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠EOF＝∠AOC，即可求出答案；当点F在射线ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB＋∠BON即可．
【解答】(1)如图所示．
(2)①当F在射线OM上时．
因为EO⊥AB，MN⊥CD，
所以∠EOB＝∠MOD＝90°，
所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，
所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.
②当F在射线ON上时，如图点F′.
因为MN⊥CD，
所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
所以∠AOM＝90°－∠AOC＝55°，
所以∠BON＝∠AOM＝55°，
所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°＋55°＝145°，
即∠EOF的度数是35°或145°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了垂线的作法，角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠AOM和∠EOM的度数，题目较好，难度不大，注意分类讨论思想的运用．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
垂线
练习设计
请完成本课时对应练习！4 用尺规作角
教学目标
一、基本目标
1．认识尺规作图，会用尺规作一个角等于已知角．
2．经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握尺规作图的相关概念及作法．
【教学难点】
能够运用尺规作角，并运用其解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P55～P56的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．尺规作图的基本步骤：
(1)写出已知；
(2)写出求作；
(3)写出作法并作图．作图时要保留作图痕迹.有时，根据题目要求，可省略作法．
2．尺规作图是指( C )
A．用量角器和刻度尺作图
B．用圆规和有刻度的直尺作图
C．用圆规和无刻度的直尺作图
D．用量角器和无刻度的直尺作图
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
利用尺规，作一个角等于已知角
讨论：已知一个角∠AOB，你能利用直尺和圆规准确地作出与这个角相等的另一个角∠A′O′B′吗？
作图步骤：(1)作射线O′A′；(2)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；(3)以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于点C′；(4)以点C′为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点D′；(5)过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列作图属于尺规作图的是( D )
A．画线段MN＝3 cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
2．画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一边，在角的内部画一条射线OC，使∠AOC＝90°，正确的图形是( D )
3．已知∠AOB，用尺规作图法作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．
解：作法：①作∠DO′B′＝∠AOB；②在∠DO′B′的外部作∠A′O′D＝∠AOB，∠A′O′B′就是所求的角(如下图)．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”，即先画一条射线，再作三次弧．其中前两次弧半径相同，而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径．
练习设计
请完成本课时对应练习！
