2021--2022学年苏科版九年级数学下册6.7利用相似三角形解决问题同步练习题（Word版含答案）

6.7 利用相似三角形解决问题 同步测试题
一、 选择题
1. 在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
2.一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
3.如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（ ）.
A. 3.4m B. 4.7 m C. 5.1m D. 6.8m
4.如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 的方向行走4.5米至点F，此时影子 为1米，则路灯BM的高度为（ ）
A. 3米 B. 3.5米 C. 4.5米 D. 6米

5．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为（　　）
A．8.4米 B．9.6米 C．11.2米 D．12.4米
6．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料．已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为 DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，则 DEFG的面积为（　　）
A．24cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．6cm2
7．如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（　　）
A．18.75米 B．18.8米 C．21.3米 D．19米
8．（2019秋 长安区校级月考）如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，然后，后退至点B，从点A经平面镜刚好看到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（　　）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
9．（2018 丰台区二模）如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图．等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10米．如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（　　）
A．10米 B．11.7米 C．米 D．米
10．（2018春 南票区期末）某公司在布置联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图所示：在Rt△ABC中，AC＝30cm，BC＝40cm．依此裁下宽度为1cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5cm，则能裁得的纸条的条数（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
二、 填空题
11. 台灯将你的手影照射到墙上时，手离墙越________影子越大．

12.如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是________米．
13.如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为________m2 ．
14.相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部，则中间两根钢索相交处点P离地面________米
如图，、两点被池塘隔开，在外取一点，连接和，并在、上各取一点、，使得，且，若米时，则、两点间的距离为________．
三、 解答题
16某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路.上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是6m/s，假设AB PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.
17在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高.
18如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得 ，边DF离地面的高度 ，求树高AB.

19. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点在同一直线上，已知米，米，目测点到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度．

20. 如图，直立在点处的标杆长，站立在点处的观察者从点处看到标杆顶、旗杆顶在一条直线上．已知＝，＝，＝，求旗杆高．

21. 如图，正方形的边长为，、分别是边、上的两个动点，当点在上运动时，始终保持和垂直．
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，梯形的面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，？
参考答案
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
C
【解答】
解：根据同一时刻，列方程
即，
解方程得，大树高米
故选．
2.【答案】 B
解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则 ，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则 ，
解得：x＝37.5，y＝50.
答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段.
故答案为：B.
3.【答案】 C
解：由题意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD，
故△ABC∽△AED，
由相似三角形的性质，设树高x米，
则 ，
∴x=5.1m．
故答案为：C．
4.【答案】 D
解：由图可知：CD⊥AB，MB⊥AB
∴CD∥MB
∴△ACD∽△AMB，
∴
同理可得：
由题意知：CD＝EF＝1.5，AD＝2.5，DF＝4.5，NF＝1
∴
设BF＝x，则
解得：
∴
∴BM＝6
故答案为：D
5．解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，
∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6，
∵FG∥EH，
∴，＝
解得：EH＝9.6，
∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m）
答：电视塔的高ED是11.2米，
故选：C．
6．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝10cm，
∴AM＝＝4.8（cm），
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝FG＝5cm，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AN＝MN＝2.4cm，
∴ DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．
故选：B．
7．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C＝∠MNA＝90°，
∵∠BAC＝∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴＝，
即，
∴MN＝1.6×20÷15≈21.3（m），
答：楼房MN的高度为21.3m．
故选：C．
8．（2019秋 长安区校级月考）如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，然后，后退至点B，从点A经平面镜刚好看到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（　　）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【分析】根据题意得出△ABP∽△CDP，进而利用相似三角形的性质得出DC的长．
【解析】由题意可得：∠APB＝∠CPD，
又∵∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴，
∴，
解得：DC＝8．
故选：B．
9．（2018 丰台区二模）如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图．等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10米．如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（　　）
A．10米 B．11.7米 C．米 D．米
【分析】延长BD交EF于H，如图，利用四边形ABHF为矩形得到AF＝BH＝10，HF＝AB＝1.7，再利用△BCD为等腰直角三角形，可判断△BHE为等腰直角三角形，所以EH＝BH＝10，
然后计算EH+HF即可．
【解析】延长BD交EF于H，如图，
∵BD∥AF，EF⊥AF，
∴BH⊥EF，
易得四边形ABHF为矩形，
∴AF＝BH＝10，HF＝AB＝1.7，
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CBD＝45°，
∴△BHE为等腰直角三角形，
∴EH＝BH＝10，
∴EF＝EH+HF＝10+1.7＝11.7．
答：旗杆EF的高度为11.7m．
故选：B．
10．（2018春 南票区期末）某公司在布置联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图所示：在Rt△ABC中，AC＝30cm，BC＝40cm．依此裁下宽度为1cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5cm，则能裁得的纸条的条数（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
【分析】根据相似三角形对应边成比例，求出纸条长度是5cm时纸条的上边沿离顶点A的距离，然后再计算纸条的上边沿离BC的距离，便不难得到纸条的张数．
【解析】如图，设EF＝5cm，
∵裁出的是矩形纸条，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴，即，
解得：AE＝3.75（cm），
∴CE＝AC﹣AE＝30﹣3.75＝26.25（cm），
∵裁得的纸条的长都不小于5cm，
∴CE≤26.25cm，
∵纸条宽度为1cm，
∴CE最大是26cm，
∴最多可以裁得的纸条的张数为26．
故选：C．
11.
【答案】
远
【解答】
解：灯将你的手影照射到墙上时，手离墙越远影子越大．
12.【答案】 18
解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，
∴ = ，
解得：CD=18．
故答案为：18
13.【答案】 0.81π
解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD， ∴△OBC∽△OAD
∴而OD=3，CD=1， ∴OC=OD-CD=3-1=2，BC= ×1.2=0.6， ∴
∴AD=0.9 ， S=π×0.92=0.81πm2 ， 这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2 ．
14.【答案】
解：过点P作PE⊥BC于点E，
∵CD∥AB
∴△CPD∽△APB
∴
∴
∵CD∥PE
∴△BPE∽△BDC
∴即
解之：PE=.
15.
【答案】
米
【解答】
解：∵ ，，
∴ ，，
∴ ，即，．
故答案为：米．
16.【答案】 解：如图，过点C作 于点D，交AB于点E，
根据题意， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，解得 ，
∴CE=CD+DE=30m，
答：小芳所在C处到公路南侧PQ的距离是30m .
17【答案】 解：设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）.
因为CE∥AB
所以△AGF∽△EHF.
因为，FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3，
所以，EH=3.5-1.5=2，AG=x-1.5.
由△AGF∽△EHF，
得 ,
即 ，
所以，x-1.5=20，
解得，x=21.5（米）
答：旗杆的高为21.5米.
18.【答案】 解： ， .
由题意得 ， .
∵ ， ，
∴ .
∴ .
∴ ，
∴ .
∴ .
19【答案】
解：由题意可得：，
则，
∵ 米，米，米，米，
∴ ，解得：，
故(米).
答：旗杆的高度为米.
【解答】
解：由题意可得：，
则，
∵ 米，米，米，米，
∴ ，解得：，
故(米).
答：旗杆的高度为米.
20【答案】
旗杆高为．
【解答】
过作交于点，交于点，如下图所示：
由已知得，，，，
∵ ，
∴ 四边形为矩形
∴ ＝＝＝，＝＝，＝＝
∴ ＝＝
∵ ，，
∴ ，
∴
∴ ＝，
∵ ＝＝，
∴ ＝，
∴ ＝＝
21【答案】
（1）证明：在正方形中，，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在中，，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，，
∴ ，即，
整理得：，
∴ ，
则当，即点运动到的中点时，梯形的面积最大，最大值为；
（3）∵ ，
∴ 要使，必须有，即，
由（1）知，即，
∴ ，
则当点运动到的中点时，．
【解答】
（1）证明：在正方形中，，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在中，，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，，
∴ ，即，
整理得：，
∴ ，
则当，即点运动到的中点时，梯形的面积最大，最大值为；
（3）∵ ，
∴ 要使，必须有，即，
由（1）知，即，
∴ ，
则当点运动到的中点时，．